最新2019届高三三模数学理试卷(A).pdf

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1、第卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ,则 中所含元素的个数为（） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 试题分析：，故选 D. 考点：集合的表示法 2.若函数为纯虚数，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 分析：根据为纯虚数，得到的值；再由，及复数除法的计 算法则计算的值。 详解：为纯虚数 ，解得 又 故选 D 点睛： （1）复数分类： 时为实数；时为虚数，时为纯虚数。 （2）以 4 为周期，即 （3）复数除法运算法则： 3.已知命题

2、，那么命题为（） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】 C 【解析】 特称命题的否定为全称命题，则为，故选 C 4.已知双曲线 的一个焦点为， 且双曲线的离心率为， 则双曲线的 渐近线方程为（） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 依题意，双曲线的一个焦点为，双曲线离心率为， ，渐近线方程为. 故选 D. 5.已知实数， 满足约束条件，则的最小值为（） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知表示可行域内的点到点 的距离的平方，所以故选 A 6.设 ，且，则（） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】

3、分析： （1）方法一、运用同角变换和两角差公式，即和化简，再根据诱 导公式和角的范围，确定正确答案。 （2）方法二、 运用诱导公式和二倍角公式，通过的变换化简， 确定正确答案。 详解：方法一： 即 整理得 ， 整理得 方法二 ： ， 整理得 故选 B 点睛： 本题主要考查三角函数的化简和求值，根据题干和选项所给提示， 确定解题方向， 选 取适当三角函数公式化简求值。 7.给出个数： ， ， ， ，要计算这个数的和 . 如图给出了该问题的程序框 图，那么框图中判断框处和执行框处可以分别填入（） A. ？和 B. ？和 C. ？和 D. ？和 【答案】 D 【解析】 试题分析：由于要计算30 个数

4、的和， 故循环要执行30 次，由于循环变量的初值为1，步长为 1，故终值应为30 即中应填写 i 30 ； 又由第 1 个数是 1； 第 2 个数比第 1 个数大 1 即 1+1=2； 第 3 个数比第 2 个数大 2 即 2+2=4； 第 4 个数比第 3 个数大 3 即 4+3=7； 故 中应填写 p=p+i 考点：程序框图 8.已知函数 ，则满足的 的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 分析： 先确定函数的单调性，单调递减，单调递增； 由题可知当 或时，根据函数的性质解不等式。 详解：令，为单调递增函数 则，单调递减，单调递增， 且当时 复合函数同增异减 时，

5、函数单调递减；时，函数单调递增。 函数最小值 又或时 即 解得 故选 A 点睛： 高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不 等式，分式不等式，指对数不等式等）；一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行 运算。 相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用 条件能力，难度较大。 9.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该 多面体的表面积为（） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 分析： 通过三视图可知，该多面体为棱长为2 的正方体切割而成的四棱锥，为 棱的中点，再计算该四棱锥各面

6、面积之和即可。 详解：根据三视图可知，该几何体为四棱锥，由棱长为2的正方体切割而成。 底面为矩形， 易得 由余弦定理，得 四棱锥的表面积 故选 A。 点睛： （1）当已知三视图去还原成几何体时，首先根据三视图中关键点和视图形 状确定几何体的形状，再根据投影关系和虚线明确内部结构，最后通过三视图验 证几何体的正确性 （2）表面积计算中，三角形的面积要注意正弦定理和余弦定理的运用。 10.的展开式中，的系数为（） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 分 析：题 中为独 立项 ，所以展开 式中 含的为 ， 其 中中的 系 数 为 展开式中与的系数差。最后再将两部分系数相乘即得所求。 详解

7、：由， 得含的项为， 中的项为 系数为 故选 B. 点睛： 本题考查了二项式定理的应用，多项式展开问题要抓住独立项，以此为简化问题的突 破点，从而减少计算和分类讨论的难度. 11.过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点， 若有三条直线满足，则的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 分析： （1）当直线与轴垂直时，满足； （2）当直线不与轴垂直时，直线方程.四点位置分两种情况： 四点顺序为， AB 的中点为（ 1，0） ，这样的直线不存在； 四点顺序为时，得，即焦点弦长等于圆的直径，设， 联立直线与抛物线方程，由韦达定理，则，又， 所以，继而得时有两条满足

8、条件的直线，从而得到答案. 详解： （1）当直线轴时，直线：与抛物线交于，与圆交于 ，满足. （2）当直线不与轴垂直时，设直线方程. 联立方程组化简得 由韦达定理 由抛物线得定义，过焦点F的线段 当四点顺序为时 AB 的中点为焦点F（1，0） ，这样的不与轴垂直的直线不存在； 当四点顺序为时， 又， ，即 当时存在互为相反数的两斜率k，即存在关于对称的两条直线。 综上，当时有三条满足条件的直线. 故选 B. 点睛：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题代入法，考查了分类讨论思想、等价转化思想， 由到的转化是解题关键. 12.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，则对任意， 函数的零点个数至多有（） A

9、. 3 个B. 4 个C. 6 个D. 9 个 【答案】 A 【解析】 当时，由此可知在上单调递减，在上单调递增， ，且, 又在上的奇函数，, 而时， 所以的图象示意图如图所示，令，则时，方程至多有3 个根，当 时，方程没有根，而对任意，方程至多有一个根，从 而函数的零点个数至多有3 个，故选 A. 点睛：复合函数的零点问题的求解步骤一般是： 第一步：现将内层函数换元，将符合函数化为简单函数； 第二步：研究换元后简单函数的零点（一般都是数形结合）； 第三步：根据第二步得到的零点范围转化为内层函数值域，进而确定的个数 . 第卷（共 90 分） 二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答

10、题纸上） 13.某校高一年级3 个学部共有800 名学生，编号为：001,002 ， 800，从 001 到 270 在 第一学部，从271 到 546 在第二学部， 547 到 800 在第三学部采用系统抽样的方法从中抽 取 100 名学生进行成绩调查，且随机抽取的号码为004，则第二学部被抽取的人数为 _ 【答案】 【解析】 因为间隔为，且随机抽的号码为004， 则随机抽取的号码构成一个等差数列，通项公式为， 由，即，即，共有 34 人. 故答案为34. 【点睛】 本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔， 利用等差数列进行求解是解决本题 的关键 14.已知向量 ，则_ 【答案】 【解析】

11、 由可得，即 ，故答案为. 15.已知平面截球的球面得圆 ，过圆心的平面与 的夹角为且平面截球的球面得圆 ，已知球的半径为，圆的面积为，则圆的半径为 _ 【答案】 【解析】 分析：先求出圆M 的半径，然后根据勾股定理求出OM 的长，找出二面角的平面角，从而 求出 ON 长，最后应用勾股定理确定圆N 的半径 . 详解：如图， 过圆心的平面与 的夹角为且平面截球的球面得圆 点睛：本题考查球截面与二面角问题，球半径为，球截面圆的半径为，球心到截面距离为 ，满足. 16.已知的三个内角， ，的对边分别为， ，若， 且，则的取值范围为 _ 【答案】 【解析】 分析：由正弦定理角化边及余弦定理，整理得，则

12、，再根据，得外接圆 半径，所以，整理后化成一个角得三角函数，求得取值范围. 详解：由正弦定理， 得即 由余弦定理得 又 由题可知则 即的范围 点睛： 解三角形问题，需要结合已知条件，根据三角形边角关系、正余弦定理灵活 转化已知条件，从而达到解决问题的目的 解三角形的范围问题常见两类，一类是根据基本不等式求范围，另一类是根据边或角 的范围计算 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 . ） 17.已知单调递增的等比数列满足, 且是的等差中项 . ( ) 求数列的通项公式； ( ) 若, 对任意正数数，恒成立，试求的 取值范围 . 【答案】（1）（

13、2） 【解析】 试题分析： ( ) 通过是的等差中项可知，结合，可 知，进而通过解方程，可知公比，从而可得数列的通项公式； ( ) 通过( )，利用错位相减法求得，对任意正整数恒成立等 价于对任意正整数恒成立，问题转化为求的最小值，从而可得的取值 范围 . 试题解析： ( ) 设等比数列的首项为, 公比为依题意，有, 代入, 得，因此, 即有解得或 又数列单调递增，则故. ( ) - ，得 对任意正整数恒成立 . 对任意正整数恒成立，即恒成立， , 即的取值范围是. 【易错点晴】 本题主要考查等差数列的通项公式以及求和公式、“错位相减法”求数列的和， 以及不等式恒成立问题，属于难题. “错位相

14、减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错 位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一 个等差数列与一个等比数列的积）；相减时注意最后一项的符号； 求和时注意项数别出 错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以. 18.在等腰直角中，分别为，的中点，将沿折起，使得二 面角为. （1）作出平面和平面的交线，并说明理由； （2）二面角的余弦值 . 【答案】（1）见解析（ 2） 【解析】 分析： （1）通过找到解题思路，再根据线面平行的判定、性质以及公理“过平面内 一点，作平面内一条直线的平行线有且只有一条”说明理由. （2）过点作的垂线，垂足为，以 F 为坐标原点，

15、 FB所在方向为轴正方向，建立空间 直角坐标系，应用空间向量，分别求得两平面的法向量，两平面法向量夹角 详解： （1）在面内过点作的平行线即为所求. 证明：因为，而在面外，在面内，所以，面. 同理，面，于是在面上，从而即为平面和平面的交线 . （2）由题意可得为二面角的平面角，所以，. 过点作的垂线，垂足为，则面. 以 为原点，为 轴正方向，为单位长度建立空间直角坐标系； 则， 从而， 设面的一个法向量为, 则由得，所以，不妨取. 由面知平面的法向量不妨设为 于是， 所以二面角的余弦值为. 点睛：用空间向量求二面角问题的解题步骤： 右手定则建立空间直角坐标系，写出关键点坐标 设两平面的法向量，

16、 两法向量夹角为，求法向量及两向量夹角的余弦 ； 当两法向量的方向都向里或向外时，则二面角；当两法向量的方向一个向里 一个向外时，二面角为. 19.某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测 试，将全体运动员的成绩绘制成频率分布直方图. 同时用茎叶图表示甲，乙两队运动员本次 测试的成绩（单位：，且均为整数） ，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但 已知所有运动员中成绩在以上（包括）的只有两个人，且均在甲队. 规定：跳高 成绩在以上（包括）定义为“优秀”. （1）求甲，乙两队运动员的总人数及乙队中成绩在（单位：）内的运动人数； （2） 在甲， 乙两队所有

17、成绩在以上的运动员中随机选取人， 已知至少有人成绩为“优 秀”，求两人成绩均“优秀”的概率； （3）在甲，乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取人参加省中学生运动会正 式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数的分布列及期望. 【答案】（1），（2）（3） 见解析 【解析】 分析：由频率分布直方图可知，成绩在以上的运动员频数为2， 频率为， 由此求出全体运动员总人数，由成绩在内频率求出运动员人数，再减去甲队人数， 即可求出乙队人数； （2）分别求出“至少有人成绩为优秀”和“两人成绩均优秀”的概率；再根据条件概率 即为所求； （3）由题设确定随机变量所有可能值为，分别求三个概率，由此求出的分

18、布列和 数学期望. 详解： （1）由频率直方图可知：成绩在以以上的运动员的频率为， 全体运动馆总人数（人） ， 成绩位于中运动员的频率为，人数为， 由茎叶图可知：甲队成绩在的运动员有名，（人） ； （2）由频率直方图可得：以上运动员总数为：， 由茎叶图可得，甲乙队以上人数恰好人， 所以乙在这部分数据不缺失，且优秀的人数为人， 设事件为“至少有人成绩优秀”，事件为“两人成绩均优秀”， ， ； （3）可取的值为， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 . 点睛：随机变量分布列及数学期望问题要善于灵活运用三个性质：一是pi 0( i1,2，) ； 二是，三是 p1p2pn 1检验分布列的正误 20.

19、已知椭圆 的左右顶点分别为，右焦点的坐标为，点坐 标为，且直线轴，过点作直线与椭圆交于， 两点（，在第一象限且点 在点的上方），直线与交于点，连接. （1）求椭圆的方程； （2）设直线的斜率为，直线的斜率为，问：的斜率乘积是否为定值，若是 求出该定值，若不是，说明理由. 【答案】（1）（2）. 【解析】 分析： （1）由题意可知，则，即可求得椭圆方程. （2）由题意设，设直线的方程为，代入椭圆方程， 写出韦达定理关系式，再根据三点共线，得到，然后计算的值为定 值. 详解： （1）设椭圆方程为，由题意可知：，所以， 所以椭圆的方程为 （2）是定值，定值为. 设，因为直线过点，设直线的方程为：，

20、联立 所以， 因为点在直线上，所以可设， 又在直线上，所以： 所以 点睛：圆锥曲线的定值问题会涉及到曲线上的动点及动直线，常用解题步骤为： 设动点和动直线、即引入参数； 结合已知条件将目标式用参变量表示， （3）通过化简消参求得定值. 设而不求、整体思想和消元思想的运用可有效的简化运算. 21.设函数 ，其中. （1）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （2）若成立，求的取值范围. 【答案】（1）见解析（ 2） 【解析】 分析：（1）求函数的导数，再换元，令，对与分类讨论 ，即可得出函数的极值的情况. （2）由（ 1）可知：当时，函数在为增函数，又所以满足条件；当 时，因换元满足题意需在此区间

21、，即；最后得到的取值范围. 详解： （），设，则， 当时，函数在为增函数，无极值点. 当时， 若时，函数在为增函数，无极值点. 若时，设的两个不相等的正实数根，且， 则 所以当，单调递增；当，单调递减； 当，单调递增 . 因此此时函数有两个极值点； 同理当时的两个不相等的实数根，且， 当，单调递减，当，单调递增； 所以函数只有一个极值点. 综上可知当时的无极值点；当时有一个极值点；当时，的有两个 极值点 . （）对于， 由（）知当时函数在上为增函数，由，所以成立 . 若，设的两个不相等的正实数根， 且，. 则若，成立，则要求， 即解得. 此时在为增函数，成立 若当时 令，显然不恒成立. 综上所

22、述，的取值范围是. 点睛：函数的导数或换元后的导数为二次函数题型，求函数的单调性或极 值点个数的解题步骤为：（ 1）确定定义域； （2）二次项系数； （3）； （4）， 再讨论，两个根的大小关系。 请考生在 22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4 ：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中， 曲线过点，其参数方程为（为参数，） ， 以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）求已知曲线和曲线交于，两点，且，求实数的值. 【答案】（1）,（2）或. 【解析】 【分析】 （1）利用参数方程

23、、普通方程与极坐标方程的转化方法，求曲线的普通方程和曲线的 直角坐标方程 . （2）先将曲线的方程转化为标准参数方程，然后将其代入曲线的直角坐标方程中，因 曲线和曲线有两个交点，所以整理后的关于的二次方程，初步确定的范围，再根 据参数方程的几何意义可知，引入已知，分类讨论，求实数的 值. 【详解】（1）的参数方程，消参得普通方程为， 的极坐标方程化为即； （2）将曲线的参数方程标准化为（为参数，） 代入曲线得，由， 得 设，对应的参数为，由题意得即或， 当时，解得， 当时，解得， 综上：或. 点睛：过点倾斜角为的直线标准参数方程为（为参数），通过如下方 式辨别标准直线参数方程：（1）系数平方和

24、， （ 2）纵坐标系数为正. 23. 选修 4-5 ：不等式选讲 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若对于恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 分析： （1）根据零点分段法去掉函数的绝对值符号，分段化简不等式求解即可. （2）将恒成立问题转化为恒成立，即，再根据三角不等式 和二次函数的最值求解. 详解： （1）， 当时，有，解得，即； 当时，恒成立，即； 当时，有，解得，即. 综上，解集为. （2）由恒成立得恒成立， ，当且仅当，即是等号 成立； 又因为，当且仅当时等号成立， 又因为，所以，所以. 点睛：含有绝对值不等式的解法： （1）定义法； （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如）； （4）图象法或数形结合法；