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1、一、选择题（每题5 分， 12 题共 60 分） 1. 已知复数满足( 为虚数单位 ) ，则等于（） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】根据题意，由复数的运算法则得到 , 根据复数的模的概念得到 模长，故 |z|=1 故选： B 2. 有一段演绎推理是这样的：“若一条直线平行于一个平面，则此直线平行于这个平面 内的所有直线”. 已知直线平面，直线平面，则直线直线”你认为这个推理（） A. 结论正确 B. 大前提错误 C. 小前提错误 D. 推理形式错误 【答案】 B 【解析】试题分析：一条直线平行于一个平面时，这条直线与平面内的部分直线平行，并是 不与所有直线平行，所以大前提错误，
2、故选B. 考点： 1. 演绎推理； 2. 直线与平面平行的性质. 3. 若定义在上的函数在处的切线方程是，则f(2)+f (2)= （ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】 A 【解析】因为函数在处的切线方程是， 故得到又因为f (2)= -2 +1=-1 ，故，故答案选A. 4. 函数的单调递减区间为 ( ) A. B. (1，) C. (0，1) D. （0，） 【答案】 C 【解析】函数f （x）= x 2lnx 的定义域为： x|x 0 函数 f （x）= x 2lnx 的导函数为： f （ x）=x ， 令 x 0 并且 x0，解得 0x1 函数 f （x）= x 2lnx
3、的单调递减区间为（ 0，1） 故选： C 5. 若，则、的大小关系是（） A. B. C. D. 由 的取值确定 【答案】 A 【解析】 故0， 不等式等价为x1 时，f （ x）0，此时函数单调递增，原函数图像单调递增，由图象可 知此时解集为：，当 x1 时，f （ x）0，当 0x2 时， g（x）0， 不等式xf （x） 0 的解集等价于g（ x） 0，当 -2x0 或 0x2 时， g（x） 0， 不等式 xf （x） 0 的解集. 故选： B 点睛 ：题重点考查了函数的基本性质，函数的单调性与导数之间的关系等知识点，属于中档 题首先构造函数g（x）=，然后得到该函数的单调区间，再根据
4、0 得到 g（x） 的单调性，由是奇函数得到g（ x）是偶函数，最后结合该函数的取值情形，进行求解 12. 已知函数满足，当x1,3 时，. 若函数在区 间上有三个不同的零点，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】当x，1 时，1 ， 3 ， 故（x）= （ ）=ln=lnx ； 故 g（x） =|lnx|， 作函数（x）=|lnx|与函数 y=ax 的图象如下， ， 设直线 l 与(x)=|lnx|相切，如图，设切点为（x， lnx ） ， 则由导数的几何意义可得，=，可得切点横坐标为x=e；有导数的几何意义得到 kl= ；故实数a的取值范围是， ） ， 故选
5、： A 点睛 ：本题考查了导数的几何意义的应用及数形结合的思想应用，先根据分段函数的解析式 得到 f （x）=|lnx|，将函数的零点个数问题转化成图像交点问题，从而作函数f （x）=|lnx| 与函数 y=ax 的图象，利用导数及数形结合的思想求解 二、填空题（每空4 分，共 20 分） 13. 复数满足：( 为虚数单位 ) ，则复数的共轭复数=_. 【答案】 【解析】 首先根据复数的运算法则得到： , 根据共轭复数的概念 得到 故答案为. 14. 由曲线与直线围成的平面图形的面积为_. 【答案】 【解析】画出两个曲线的图像，记两图像在第一象限的交点为A （ 3，3）点，则围成的图像的 面积
6、，由积分的定义得到，. 15. 观察下列数表： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 设 2017 是该表第行的第个数， 则_，_. 【答案】 (1). 10 (2). 498 所以 2027 是第 1014 个奇数， 根据上面数表的数的排列规律，1、 3、5、7、9都是连续奇数， 第一行 1 个数， 第二行个数 , 且第 1 个数是1 第三行个数 , 且第 1 个数是 第四行个数 , 且第 1 个数是 前行共有个奇数 . 当时，所以 2027 位于第 10 行， 第 10 行第 1 个数是. ， 所以 所以； 故答案为：. 16. 某同学在研究函数在
7、处的切线问题中， 偶然通过观察上图中的图象发现了一个恒成立的不等式：当时，仿照该同学 的研究过程，请你研究函数的过原点的切线问题，写出一个类似的恒成立的不等式： _. 【答案】 【解析】观察原式子是的切线，且直线恒在曲线的下方；求过原点的 切线即可，设切点为，根据切线的几何意义得到故切点为，直线斜 率为，故过原点的直线为 . 结合图像知道直线恒在曲线上方. 故得到. 点睛 ：这是考查学生知识的迁移能力，用题目中给的结论，类比出相应的结论. 研究出原题目 中的结论，是切线和曲线的位置关系问题，通过求切线和结合图像，得到两者的位置关系. 类 比这种解题思路，解决所给函数的切线问题. 三、解答题（6
8、 题, 其中第 17 题 10 分,18-22每题 12 分, 共 70 分） 17. 已知复数（其中 为虚数单位） . （）当实数取何值时，复数是纯虚数； （）若复数在复平面上对应的点位于第四象限，求实数的取值范围 . 【答案】 (1) ;(2) . 【解析】试题分析： （）将复数整理得，由纯虚数的定义 得， 解方程组即可；（）因为复数对应的点在第四象限，所以， 解不等式组即可. 试题解析：（），由题意得， （）由 解得， 考点： 1. 复数相关的定义；2. 复数的几何意义;3. 复数的运算 . 18. 已知函数。 （）若函数在时有极值0，求常数a,b的值； （）若函数在点处的切线平行于x轴
9、，求实数b的值。 【答案】 (1) ;(2) . 【解析】 试题分析 ： （1）根据函数的极值点的概念得到，极值 点既在切线上又在曲线上，得到参数值 .(2) 根据导数的几何意义得到，从而得到参数 值. （）依题意得解得或 当时， 这时函数无极值，与已知矛盾，故舍去； 当时， 此时，当时，；当时， 故在处有极值，符合题意. （2）， 由已知得 所以. 19. 设函数 （1）证明：； （2）若对任意都有，求的取值范围 . 【答案】 (1) 见解析 ;(2) x的范围是. 【解析】 试题分析 ： （1）根据均值不等式，乘积是定值，可以证得问题. (2) 首先要根据根据函数特殊值，再由函数的单调性直
10、接比较函数自变量的大小 关系即可 . （1）（当且仅当即时取“ =”） （2）由（ 1）可知，对任意，均有，所以函数在上单调递 增 从而， 故当对任意都有时，的取值范围是. 点睛 ：这道题目是考查不等式与函数最值集合的问题，第一问因为乘积是定值， 故就想 到了均值不等式求最值. 第二问，解不等式，根据抽象函数的单调性，直接去掉f ，直接比较 括号内的大小关系即可. 20. 已知数列的前项和 （1）计算，； （2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论 【答案】（1）（2），证明见解析. 【解析】试题分析： （ 1）采用赋值法，令，, 先求，时， 求，然后令和时，分别求和； （2）根据（ 1）
11、的结果，将前4 项写成 ，观察前 4 项的形式， 猜想，最后按数学归纳法证明. 试题解析：（1）依题设可得， （2）猜想： 证明：当n=1 时，猜想显然成立 假设 n=k（）时，猜想成立，即 那么，当n=k+1 时， 即 又， 所以， 从而 即 n=k+1 时，猜想也成立故由和，可知猜想成立 考点： 1. 数列； 2. 数学归纳法 . 21. 为宣传平潭综合试验区的“国际旅游岛”建设，试验区某旅游部门开发了一种旅游纪念 产品，每件产品的成本是12 元，销售价是16 元，月平均销售件。后该旅游部门通过改进工 艺，在保证产品成本不变的基础上，产品的质量和技术含金量提高，于是准备将产品的售价 提高。
12、经市场分析，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少 的百分率为。记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元） . （1）写出与 的函数关系式； （2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使该旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 【答案】（1）； （2）当纪念品的售价为元时，该旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 【解析】 试题分析 ： （I ）由题易知每件产品的销售价为16（1+x） ，则月平均销售量为a（ 1 x 2）件，利润则是二者的积去掉成本即可，故利润等于 . （II ）由（ 1）可知利润表达式，利润函数是一元三次函数关系，可以对其求导在定义域内研 究函数单调性
13、，解出其最值 （1）依题意得 （2）由（ 1）得 令得， 当时，；当时，； 所以当时，取得最大值 . 当纪念品的售价为元时，该旅游部门销售该 纪念品的月平均利润最大. 22. 已知函数（，=2.718）， （I ） 当时，求函数的单调区间； （II ）当时，不等式对任意恒成立， 求实数的最大值 . 【答案】（1）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）符合题意的实数的最大值为. 【解析】 试题分析 ： （1）求函数单调区间，即求导研究导函数的正负，导函数大于零求增区 间，导函数小于零求减区间；（2）这是不等式恒成立求参的问题，转化为 ，对任意恒成立， 再求导研究函数的 单调性，求最值即可. （1） 由可知， 令得或 令得 即此时函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）当时，不等式即 令，对任意恒成立 又 当时，所以在上递增， 且最小值为 （i ）当，即时，对任意恒成立 在上递增，当时，满足题意； （ii ） 当， 即时， 由上可得存在唯一的实数，使得，可得当时， ，在上递减，此时不符合题意；综上得，当时，满 足题意，即符合题意的实数的最大值为. 点睛 ：这道题目考察的是导数在研究函数的极值与最值过程中的应用. 第一问直接求导根据导 函数的正负求得原函数的单调区间. 第二问，是常见的恒成立求参的问题，直接转化为函数最 小值大于零即可，含参讨论.