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1、解三角形 1解三角形中的要素 例 1:ABC的内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若 2c , 6b ,60B o , 则C_ 【答案】30C o 【解析】 (1)由已知B,b,c求C可联想到使用正弦定理: sin sin sinsin bccB C BCb , 代入可解得: 1 sin 2 C由cb可得: 60CB o ,所以30C o 2恒等式背景 例 2:已知 a,b,c分别为 ABC三个内角A,B,C的对边, 且有 cos3 sin0aCaCbc (1)求A; (2)若2a,且ABC的面积为 3 ,求b, c 【答案】(1) 3 ; (2)2,2 【解析】(1) cos3 sin
2、0aCaCbc sincos3sinsinsinsin0ACACBC sincos3sinsinsinsin0ACACACC sincos3sinsinsincossincossin0ACACACCAC, 即 1 3sincos12sin1sin 662 AAAA 66 A 或 5 66 A (舍) , 3 A; (2) 1 sin34 2 ABC SbcAbc , 22222 2cos4abcbcAbcbc , 2222 48 44 bcbcbc bcbc ,可解得 2 2 b c 一、单选题 1在ABC中,1a, 6 A, 4 B,则 c () A 62 2 B 62 2 C 6 2 D
3、2 2 【答案】 A 【解析】 由正弦定理 sinsin ab AB 可得 1 sin sin 4 2 sin sin 6 aB b A , 且 62 coscoscos cossin sin 4 CABABAB, 由余弦定理可得: 226262 2cos12212 42 cababC故选 A 2在ABC中,三边长7AB,5BC,6AC,则 AB BC uu u v uu u v 等于() A19 B19C18 D18 【答案】 B 【解析】 三边长7AB,5BC,6AC, 222222 75619 cos 227535 ABBCAC B AB BC , 19 cos7519 35 AB BC
4、AB BCB uu u v uu u v 故选 B 3在ABC中,角A,B,C所对应的边分别是 a,b,c,若 2 coscaB,则三角形一 定是() A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形 【答案】 C 【解析】 2 coscaB,由正弦定理2sincRC ,2sinaRA, sin2sincosCAB , A,B,C为ABC的内角, sinsinCAB ,A, 0,B , sin 2sin cosABAB, sin coscossin2sincosABABAB ,整理得 sin0AB , 0AB,即AB故ABC一定是等腰三角形故选C 4ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,
5、b,c,若 3 C, 7c,3ba ,则ABC 对点增分集训 的面积为() A 3 3 4 B 23 4 C 2 D 23 4 【答案】 A 【解析】 已知 3 C ,7c ,3ba, 由余弦定理 222 2coscababC ,可得: 222222 7937ababaaaa , 解得:1a,3b, 1133 3 sin13 2224 ABC SabC V 故选 A 5在ABC中,内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 22 abbc,sin2 3sinCB, 则A() A 30B 60C120D150 【答案】 A 【解析】 根据正弦定理由 sin2 3sinCB得:2 3cb, 所以
6、222 33 2 3abbcb ,即 22 7ab , 则 222222 2 1273 cos 22 4 3 bcabbb A bc b , 又 0,A ,所以 6 A故选 A 6 设ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c, 如果3abcbcabc, 且 3a ,那么ABC外接圆的半径为() A1 B2C2 D4 【答案】 A 【解析】 因为 3abcbcabc,所以 2 2 3bcabc,化为 222 bcabc , 所以 222 1 cos 22 bca A bc ,又因为 0,A,所以 3 A, 由正弦定理可得 3 22 sin 3 2 a R A ,所以1R,故选 A 7
7、在ABC中,角A,B,C所对的边分别为 a ,b, c ,且 222 bcabc,若 2 sinsinsinBC A, 则ABC的形状是() A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形 【答案】 C 【解析】 因为 2 sinsinsinBCA,所以 2 222 bca RRR , 也就是 2 abc ,所以 22 2bcbc ,从而 bc, 故 a b c, ABC为等边三角形故选C 8ABC的内角A,B,C的对边分别是 a,b,c且满足coscosaBbAc,则ABC 是() A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形 【答案】 B 【解析】 利用正弦定理 sinsinsi
8、n abc ABC 化简已知的等式得: sincossincossinABBAC ,即 sinsinAB C , A,B,C为三角形的内角,ABC,即 2 ABC, 则ABC为直角三角形,故选B 9在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,已知ABC 的面积为 3 15, 2bc, 1 cos 4 A,则 a的值为( ) A8 B 16 C32 D64 【答案】 A 【解析】 因为0A,所以 215 sin1cos 4 AA, 又 115 sin3 15 28 ABCSbcAbcV ,24bc,解方程组 2 24 bc bc 得6b,4c, 由余弦定理得 222221 2cos64
9、26464 4 abcbcA,所以8a故选 A 10在ABC中, a,b,c 分别为角A,B,C所对的边若 sincos0baCC , 则A() A 4 B 3 C 3 4 D 2 3 【答案】 C 【解析】 sinsinsincoscossinBACACAC, sincos0baCC ,可得: sinsinsincos0BACC , sincos cossinsinsinsincos0ACACACAC, cossinsinsin0ACAC, sin0C, cossinAA,tan1A, 2 A, 3 4 A故答案为C 11 在ABC中,内角A,B,C的对边分别是 a,b,c, 若 c o s
10、c o sc o s abc ABC , 则ABC 是() A直角三角形B钝角三角形C等腰直角三角形D等边三角形 【答案】 D 【解析】 coscoscos abc ABC ,由正弦定理得:2sinaRA,2sinbRB,2sincRC 代入, 得 sinsinsin coscoscos ABC ABC ,进而可得tantantanAB C , ABC,则ABC是等边三角形故选D 12在ABC中,角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,已知 2 3a , 2 2c , tan2 1 tan Ac Bb , 则C() A 6 B 4 C 4 或 3 4 D 3 【答案】 B 【解析】 利用正弦定
11、理,同角三角函数关系,原式可化为: sincos2sin 1 cossinsin ABC ABB , 去分母移项得:sincossincos2sincosBAABC A , 所以sin sin2sincosABCCA, 所以 1 cos 2 A由同角三角函数得 3 sin 2 A, 由正弦定理 sinsin ac AC ,解得 2 sin 2 C所以 4 C或 3 4 (舍) 故选 B 二、填空题 13在ABC中,角A,B,C的对边分别为 a,b,c, 2 2c , 22 16ba,则角C 的最大值为 _; 【答案】 6 【解析】 在ABC中,由角C的余弦定理可知 22 22 22222 33
12、 2 cos 2242 ba ab abcab C ababab , 又因为0C,所以 max 6 C当且仅当 2 2a,2 6b时等号成立 14已知ABC的三边 a,b,c 成等比数列, a,b,c所对的角分别为 A,B,C,则 sincosBB 的取值范围是 _ 【答案】12 , 【解析】 ABC的三边 a,b,c成等比数列, 222 2cos22cosacbacacBacacB ,得 1 cos 2 B, 又0B,0 3 B, 7 44 12 B, 可得sin cos2sin12 4 BBB, ,故答案为12, 15 在ABC中 三 个 内 角A,B,C, 所 对 的 边 分 别 是 a
13、 ,b, c , 若 2 si nc o s2 si nc o sbCAAC ,且 23a ,则ABC面积的最大值是_ 【答案】 3 【解析】 2sincos2sincosbCAAC, cos2 sincossincos2sin2sinbACAACACB, 则 2 sincos b BA ,结合正弦定理得 22 3 cossinsin a AAA ,即 tan3A, 2 3 A 由余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc ,化简得 22 122bcbcbc , 故4bc, 113 sin43 222 ABC SbcA ,故答案为 3 16在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为
14、 a, b,c,且A,B,C成等差数 列, 3b , 则ABC面积的取值范围是_ 【答案】 3 3 3 24 , 【解析】 ABC中A,B,C成等差数列, 3 B 由正弦定理得 3 2 sinsinsin sin 3 acb ACB ,2sinaA,2sincC , 132 sin3sinsin3sinsin 243 ABC SacBacACAA 2 313333 1cos2 3sincossinsincossinsin 2 2222422 A AAAAAAA 33333 sin 2cos2sin 2 444264 AAA, ABC为锐角三角形, 0 2 2 0 32 A A ,解得 62 A
15、 5 2 666 A, 1 sin 21 26 A, 3333 3 sin 2 22644 A,故ABC面积的取值范围是 3 3 3 24 , 三、解答题 17己知 a,b,c分别为 ABC三个内角A,B,C的对边,且 3cos2 sin aA cC (1)求角A的大小; (2)若5bc,且ABC的面积为 3,求 a的值 【答案】(1) 2 3 ; (2) 21 【解析】(1)由正弦定理得, 3sincos2 sinsin AA CC , sin0C, 3sincos2AA ,即 sin1 6 A 0A 666 A, 62 A, 2 3 A (2)由3 ABC S 可得 1 sin3 2 Sb
16、cA4bc, 5bc,由余弦定理得: 2 222 2cos21abcbcAbcbc, 21a 18如图,在ABC中,点D在 BC 边上,60ADC, 2 7AB,4BD (1)求ABD的面积 (2)若120BAC o ,求AC的长 【答案】(1)2 3; (2) 7 【解析】(1)由题意,120BDA 在ABD中,由余弦定理可得 222 2cos120ABBDADBDAD 即 2 281642ADADAD或 6AD(舍), ABD 的面积 113 sin422 3 222 SDB DAADB (2)在 ABD 中,由正弦定理得 sinsin ADAB BBDA , 代入得 21 sin 14 B,由B为锐角,故 5 7 cos 14 B, 所以 21 sinsin 60sin 60 coscos60 sin 7 CBBB, 在ADC中,由正弦定理得 sinsin ADAC CCDA , 2 213 72 AC ,解得 7AC