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1、解三角形 1解三角形中的要素 例 1：ABC的内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 2c ， 6b ，60B o ， 则C_ 【答案】30C o 【解析】 （1）由已知B，b，c求C可联想到使用正弦定理： sin sin sinsin bccB C BCb ， 代入可解得： 1 sin 2 C由cb可得： 60CB o ，所以30C o 2恒等式背景 例 2：已知 a，b，c分别为 ABC三个内角A，B，C的对边， 且有 cos3 sin0aCaCbc （1）求A； （2）若2a，且ABC的面积为 3 ，求b， c 【答案】（1） 3 ； （2）2，2 【解析】（1） cos3 sin
2、0aCaCbc sincos3sinsinsinsin0ACACBC sincos3sinsinsinsin0ACACACC sincos3sinsinsincossincossin0ACACACCAC， 即 1 3sincos12sin1sin 662 AAAA 66 A 或 5 66 A （舍） ， 3 A； （2） 1 sin34 2 ABC SbcAbc ， 22222 2cos4abcbcAbcbc ， 2222 48 44 bcbcbc bcbc ，可解得 2 2 b c 一、单选题 1在ABC中，1a， 6 A， 4 B，则 c （） A 62 2 B 62 2 C 6 2 D
3、2 2 【答案】 A 【解析】 由正弦定理 sinsin ab AB 可得 1 sin sin 4 2 sin sin 6 aB b A ， 且 62 coscoscos cossin sin 4 CABABAB， 由余弦定理可得： 226262 2cos12212 42 cababC故选 A 2在ABC中，三边长7AB，5BC，6AC，则 AB BC uu u v uu u v 等于（） A19 B19C18 D18 【答案】 B 【解析】 三边长7AB，5BC，6AC， 222222 75619 cos 227535 ABBCAC B AB BC ， 19 cos7519 35 AB BC
4、AB BCB uu u v uu u v 故选 B 3在ABC中，角A，B，C所对应的边分别是 a，b，c，若 2 coscaB，则三角形一 定是（） A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形 【答案】 C 【解析】 2 coscaB，由正弦定理2sincRC ，2sinaRA， sin2sincosCAB ， A，B，C为ABC的内角， sinsinCAB ，A， 0,B ， sin 2sin cosABAB， sin coscossin2sincosABABAB ，整理得 sin0AB ， 0AB，即AB故ABC一定是等腰三角形故选C 4ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，
5、b，c，若 3 C， 7c，3ba ，则ABC 对点增分集训 的面积为（） A 3 3 4 B 23 4 C 2 D 23 4 【答案】 A 【解析】 已知 3 C ，7c ，3ba， 由余弦定理 222 2coscababC ，可得： 222222 7937ababaaaa ， 解得：1a，3b， 1133 3 sin13 2224 ABC SabC V 故选 A 5在ABC中，内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 22 abbc，sin2 3sinCB， 则A（） A 30B 60C120D150 【答案】 A 【解析】 根据正弦定理由 sin2 3sinCB得：2 3cb， 所以
6、222 33 2 3abbcb ，即 22 7ab ， 则 222222 2 1273 cos 22 4 3 bcabbb A bc b ， 又 0,A ，所以 6 A故选 A 6 设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c， 如果3abcbcabc， 且 3a ，那么ABC外接圆的半径为（） A1 B2C2 D4 【答案】 A 【解析】 因为 3abcbcabc，所以 2 2 3bcabc，化为 222 bcabc ， 所以 222 1 cos 22 bca A bc ，又因为 0,A，所以 3 A， 由正弦定理可得 3 22 sin 3 2 a R A ，所以1R，故选 A 7
7、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a ，b， c ，且 222 bcabc，若 2 sinsinsinBC A， 则ABC的形状是（） A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形 【答案】 C 【解析】 因为 2 sinsinsinBCA，所以 2 222 bca RRR ， 也就是 2 abc ，所以 22 2bcbc ，从而 bc， 故 a b c， ABC为等边三角形故选C 8ABC的内角A，B，C的对边分别是 a，b，c且满足coscosaBbAc，则ABC 是（） A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形 【答案】 B 【解析】 利用正弦定理 sinsinsi
8、n abc ABC 化简已知的等式得： sincossincossinABBAC ，即 sinsinAB C ， A，B，C为三角形的内角，ABC，即 2 ABC， 则ABC为直角三角形，故选B 9在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为 3 15， 2bc， 1 cos 4 A，则 a的值为（ ） A8 B 16 C32 D64 【答案】 A 【解析】 因为0A，所以 215 sin1cos 4 AA， 又 115 sin3 15 28 ABCSbcAbcV ，24bc，解方程组 2 24 bc bc 得6b，4c， 由余弦定理得 222221 2cos64
9、26464 4 abcbcA，所以8a故选 A 10在ABC中， a，b，c 分别为角A，B，C所对的边若 sincos0baCC ， 则A（） A 4 B 3 C 3 4 D 2 3 【答案】 C 【解析】 sinsinsincoscossinBACACAC， sincos0baCC ，可得： sinsinsincos0BACC ， sincos cossinsinsinsincos0ACACACAC， cossinsinsin0ACAC， sin0C， cossinAA，tan1A， 2 A， 3 4 A故答案为C 11 在ABC中，内角A，B，C的对边分别是 a，b，c， 若 c o s
10、c o sc o s abc ABC ， 则ABC 是（） A直角三角形B钝角三角形C等腰直角三角形D等边三角形 【答案】 D 【解析】 coscoscos abc ABC ，由正弦定理得：2sinaRA，2sinbRB，2sincRC 代入， 得 sinsinsin coscoscos ABC ABC ，进而可得tantantanAB C ， ABC，则ABC是等边三角形故选D 12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 2 3a ， 2 2c ， tan2 1 tan Ac Bb ， 则C（） A 6 B 4 C 4 或 3 4 D 3 【答案】 B 【解析】 利用正弦定
11、理，同角三角函数关系，原式可化为： sincos2sin 1 cossinsin ABC ABB ， 去分母移项得：sincossincos2sincosBAABC A ， 所以sin sin2sincosABCCA， 所以 1 cos 2 A由同角三角函数得 3 sin 2 A， 由正弦定理 sinsin ac AC ，解得 2 sin 2 C所以 4 C或 3 4 （舍） 故选 B 二、填空题 13在ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c， 2 2c ， 22 16ba，则角C 的最大值为 _； 【答案】 6 【解析】 在ABC中，由角C的余弦定理可知 22 22 22222 33
12、 2 cos 2242 ba ab abcab C ababab ， 又因为0C，所以 max 6 C当且仅当 2 2a，2 6b时等号成立 14已知ABC的三边 a，b，c 成等比数列， a，b，c所对的角分别为 A，B，C，则 sincosBB 的取值范围是 _ 【答案】12 ， 【解析】 ABC的三边 a，b，c成等比数列， 222 2cos22cosacbacacBacacB ，得 1 cos 2 B， 又0B，0 3 B， 7 44 12 B， 可得sin cos2sin12 4 BBB， ，故答案为12， 15 在ABC中 三 个 内 角A，B，C， 所 对 的 边 分 别 是 a
13、 ，b， c ， 若 2 si nc o s2 si nc o sbCAAC ，且 23a ，则ABC面积的最大值是_ 【答案】 3 【解析】 2sincos2sincosbCAAC， cos2 sincossincos2sin2sinbACAACACB， 则 2 sincos b BA ，结合正弦定理得 22 3 cossinsin a AAA ，即 tan3A， 2 3 A 由余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc ，化简得 22 122bcbcbc ， 故4bc， 113 sin43 222 ABC SbcA ，故答案为 3 16在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为
14、 a， b，c，且A，B，C成等差数 列， 3b ， 则ABC面积的取值范围是_ 【答案】 3 3 3 24 ， 【解析】 ABC中A，B，C成等差数列， 3 B 由正弦定理得 3 2 sinsinsin sin 3 acb ACB ，2sinaA，2sincC ， 132 sin3sinsin3sinsin 243 ABC SacBacACAA 2 313333 1cos2 3sincossinsincossinsin 2 2222422 A AAAAAAA 33333 sin 2cos2sin 2 444264 AAA， ABC为锐角三角形， 0 2 2 0 32 A A ，解得 62 A
15、 5 2 666 A， 1 sin 21 26 A， 3333 3 sin 2 22644 A，故ABC面积的取值范围是 3 3 3 24 ， 三、解答题 17己知 a，b，c分别为 ABC三个内角A，B，C的对边，且 3cos2 sin aA cC （1）求角A的大小； （2）若5bc，且ABC的面积为 3，求 a的值 【答案】（1） 2 3 ； （2） 21 【解析】（1）由正弦定理得， 3sincos2 sinsin AA CC ， sin0C， 3sincos2AA ，即 sin1 6 A 0A 666 A， 62 A， 2 3 A （2）由3 ABC S 可得 1 sin3 2 Sb
16、cA4bc， 5bc，由余弦定理得： 2 222 2cos21abcbcAbcbc， 21a 18如图，在ABC中，点D在 BC 边上，60ADC， 2 7AB，4BD （1）求ABD的面积 （2）若120BAC o ，求AC的长 【答案】（1）2 3； （2） 7 【解析】（1）由题意，120BDA 在ABD中，由余弦定理可得 222 2cos120ABBDADBDAD 即 2 281642ADADAD或 6AD（舍）， ABD 的面积 113 sin422 3 222 SDB DAADB （2）在 ABD 中，由正弦定理得 sinsin ADAB BBDA ， 代入得 21 sin 14 B，由B为锐角，故 5 7 cos 14 B， 所以 21 sinsin 60sin 60 coscos60 sin 7 CBBB， 在ADC中，由正弦定理得 sinsin ADAC CCDA ， 2 213 72 AC ，解得 7AC