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1、1 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 浙江文科数学 1.(2016 浙江 ,文 1)已知全集U= 1,2,3,4,5,6, 集合 P= 1,3,5, Q=1,2,4, 则(?UP)Q=() A.1 B.3,5 C.1,2,4,6 D.1,2,3,4,5 答案 C由题意 ,得?UP= 2,4,6 ,又 Q=1,2,4, 所以 (?UP)Q=1,2,4,6, 故选 C. 2.(2016 浙江 ,文 2)已知互相垂直的平面 , 交于直线l.若直线 m,n 满足 m ,n ,则() A.mlB.m nC.nlD.mn 答案 C对于选项A, =l ,l? ,m ,m 与 l 可能平行,也可能异面
2、,故选项 A 不正确 ; 对于选项 B,D, ,m ,n ,m与 n 可能平行,可能相交,也可能异面,故选项 B,D 不正确 . 对于选项 C, =l ,l? .n ,nl.故选 C. 3.(2016 浙江 ,文 3)函数 y=sin x 2 的图象是 () 答案 Df(-x)= sin(-x)2= sin x2=f (x), y=sin x 2 的图象关于y 轴对称 ,排除 A,C; 又当 x=时,sin 1,排除 B,故选 D. 4.(2016 浙江 ,文 4)若平面区域 - - - - 夹在两条斜率为1 的平行直线之间,则这两条平行直线 间的距离的最小值是() A.B.C.D. 答案 B
3、画平面区域 - - - - 如图阴影部分所示. 2 两平行直线的斜率为1, 两平行直线与直线x+y-3= 0 垂直, 两平行线间的最短距离是AB 的长度 . 由 - - 得 A(1,2). 由 - - - 得 B(2,1). |AB|=-,故选 B. 5.(2016 浙江 ,文 5)已知 a,b0 且 a 1,b 1.若 logab1,则() A.(a-1)(b-1)0 C.(b-1)(b-a) 0 答案 D当 01 得 b0,(a-1)(a-b)0. 排除 A,B,C . 当 a1 时,由 logab1 得 ba 1 . b-a 0,b-1 0.(b-1)(b-a)0.故选 D. 6.(20
4、16 浙江 ,文 6)已知函数f(x)=x 2+bx ,则 “ b 0),则 A= ,b=. 答案1 解析 因为 2cos2x+sin 2x= 1+ cos 2x+ sin 2x= sin+ 1,所以 A=,b= 1. 12.(2016 浙江 ,文 12)设函数 f(x)=x 3+ 3x2+ 1.已知 a 0,且 f(x)-f(a)= (x-b)(x-a)2,xR,则实数 a=,b=. 答案 -21 解析 因为 f(x)-f(a)=x 3 +3x 2+ 1-a3-3a2-1=x3+3x2-a3-3a2,(x-b)(x-a)2=x3-(2a+b)x2+ (a2+ 2ab)x-a2b, 5 所以
5、- - 解得 - 13.(2016 浙江 ,文 13)设双曲线x 2- =1 的左、右焦点分别为F1,F2.若点 P 在双曲线上 ,且F1PF2为锐 角三角形 ,则|PF1|+|PF 2|的取值范围是. 答案 (2,8) 解析 由题意 ,知 a=1,b=,c=2,则 e= = 2.设 P(x,y)是双曲线上任一点,由双曲线的对称性不妨设 P 在右支上 ,由F1PF2为锐角三角形,可知 1|F 1F2| 2 , 即(2x+1)2+ (2x-1)2 42,解得 x , 所以 |= - ,所以 cos = 1时 ,cos 取最大值. 15.(2016 浙江 ,文 15)已知平面向量a,b,|a|=
6、1,|b|= 2,a b= 1.若 e为平面单位向量,则|a e|+| b e|的最大值 是. 答案 解析 由已知得 = 60,不妨取 a=(1,0),b= (1,). 设 e=(cos ,sin ), 则|a e|+|b e|=| cos |+| cos +sin | |cos |+| cos |+|sin |= 2|cos |+|sin |, 取等号时 cos 与 sin 同号 . 所以 2|cos |+|sin |=| 2cos +sin |=|sin( + )| 其中 取为锐角. 显然|sin( + )|. 易知当 + = 时,|sin( + )|取最大值1,此时 为锐角 ,sin ,
7、cos 同为正 ,因此上述不等式中等号 能同时取到 .故所求最大值为. 16.(2016 浙江 ,文 16)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知 b+c= 2acos B. (1)证明 :A= 2B; (2)若 cos B= ,求 cos C 的值 . 证明 (1)由正弦定理得 sin B+ sin C= 2sin Acos B, 故 2sin Acos B=sin B+sin(A+B )=sin B+sin Acos B+ cos Asin B, 于是 sin B=sin(A-B). 又 A,B(0, ),故 0n+ 2,故 bn=3n-1-n-2,n3. 设数列
8、bn的前 n 项和为 Tn,则 T1= 2,T2=3. 当 n3 时,Tn= 3+ - - - - - , 所以 Tn=- 18.(2016 浙江 ,文 18) 如图 ,在三棱台ABC-DEF 中,平面 BCFE平面 ABC,ACB= 90,BE=EF=FC= 1,BC= 2,AC= 3. (1)求证 :BF平面 ACFD ; (2)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值. (1)证明 延长 AD,BE,CF 相交于一点K,如图所示 . 因为平面 BCFE 平面 ABC,且 AC BC, 所以 AC平面 BCK ,因此 BFAC. 又因为 EFBC,BE=EF=FC= 1,BC= 2,
9、 所以 BCK 为等边三角形 ,且 F 为 CK 的中点 ,则 BFCK. 所以 BF平面 ACFD. 8 (2)解因为 BF平面 ACK, 所以 BDF 是直线 BD 与平面 ACFD 所成的角 . 在 Rt BFD 中 ,BF=,DF= ,得 cosBDF=, 所以 ,直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值为 . 19.(2016 浙江 ,文 19) 如图 ,设抛物线y2=2px(p0)的焦点为 F,抛物线上的点A 到 y 轴的距离等于|AF|- 1. (1)求 p 的值 ; (2)若直线 AF 交抛物线于另一点B,过 B 与 x 轴平行的直线和过F 与 AB垂直的直线交于点N,AN
10、 与 x 轴交于点M.求 M 的横坐标的取值范围. 解 (1)由题意可得 ,抛物线上点A 到焦点 F 的距离等于点A 到直线 x=- 1 的距离 , 由抛物线的定义得 =1,即 p=2. (2)由(1)得,抛物线方程为y 2= 4x,F(1,0),可设 A(t2,2t),t 0,t 1. 因为 AF 不垂直于y轴 ,可设直线AF:x=sy+ 1(s 0), 由消去 x 得 y2-4sy-4= 0, 故 y1y2=- 4,所以 ,B-. 又直线 AB 的斜率为 - , 故直线 FN 的斜率为- - . 从而得直线FN:y=- - (x-1),直线 BN:y=- . 所以 N - -. 设 M(m,0),由 A,M,N三点共线得 - - - , 于是 m= - . 所以 m2. 9 经检验 ,m2 满足题意 . 综上 ,点 M 的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+). 20.(2016 浙江 ,文 20)设函数 f(x)=x 3+ ,x 0,1.证明 : (1)f(x)1-x+x 2 ; (2) . 综上 , f(x) .