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1、线性代数练习题 一 选择题 1BA,都是n阶矩阵，且0AB, 则必有 :（） (A) 0A或0B. (B) 0AB. (C) 0A或.0B(D) 0AB 2 设 1011 , 1101 ab cd 则 ab cd （） (A) 01 . 11 (B) 11 . 10 (C) 11 . 11 (D) 11 . 01 3 若A为nm矩阵 ,且nmrAR)(则( )必成立 . （A）A中每一个阶数大于r 的子式全为零。（B）A是满秩矩阵。 （C）A经初等变换可化为 00 0 r E （D）A中 r 阶子式不全为零。 4 向量组 s , 21 , 线性无关的充分条件是( ) （A） s , 21 均不
2、是零向量. （B） s , 21 中任一部分组线性无关. （C） s , 21 中任意两个向量的对应分量都不成比例. （D） s , 21 中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示. 5 齐次线性方程组 0AX 是非齐次线性方程组 AXB的导出组 ,则 ( )必定成立 . （A）0AX只有零解时 ,AXB有唯一解 . （B）0AX有非零解时 ,AXB有无穷多解 . （C）是AX的任意解 , 0 是AXB的特解时 , 0 是AXB的全部解 . （D） 12 ，是AXB的解时 , 21 是0AX的解 . 6 若B,方程组BAX中, 方程个数少于未知量个数，则有( ) (A) BAX 一定无解。(
3、B) AX 只有零解。 (C) AX必有非零解。(D) BAX一定有无穷多组解。 7 线性方程组 0 1 aybx byax ， 若ba,则方程组( ) (A) 无解(B) 有唯一解(C)有无穷多解(D)其解需要讨论多种情况 8 设A、B都是n阶矩阵，且0AB, 则A和B的秩（） A必有一个为0, B必定都小于n, C必有一个小于n，D必定都等于n 二 填空题 1 方程组 123 123 20 2470 xxx xxx 的通解为 _. 2 设 5 阶方阵A的行列式为A2，则2 A_. 3 已知 2052 1134 X ，求X 三 计算题 1 2531 1313 0115 1423 D 2 22
4、2 333 1111 1342 1342 1342 D解：(31)(41)(21)(43)(23)(24)12D 3 002 200 020 002 x x D x x 解： 1 44 0020 202( 1)0216 02002 xx Dxxxx x 4 axxx xaxx D xxax xxxa 、 3 11111111 000 333 000 000 xaxxax Dxaxaxaax xxaxax xxxaax 5 设 432 432 864 A, 求矩阵A的秩。解： 234 A010 000 ，()2R A 6 设 1 222 123 , 136 ABA, 求B解： 222 1232
5、136 A， 1 11 2 BA A 7解矩阵方程 : 0 1 1 323 641 302 X解: 1 203 146 323 12 0 55 11 0 99 211 275125 1 12 0 55 20311 11 146101 99 32300 211 275125 X 1 5 1 9 17 135 8解矩阵方程 : 203182 146036 323005 X 9解: 1 203 146 323 12 0 55 11 0 99 211 275125 1 12 0 55 182203182 11 0361460360 99 005323005 211 275125 X 20164 275
6、135 7617 9545 101 1 2727 10求线性方程组 1 5432 4321 4321 xxxx xxxx 的通解 解 : 12345 11111 B 57 102 33 24 011 33 知()()24R AR B, 故原方程 组有无穷多组解, 同解方程组为： 44 33 432 431 3 4 3 2 3 7 2 3 5 xx xx xxx xxx ， 43, x x为自由未知量, 原方程组的通解为： 1 0 1 2 0 1 3 2 3 5 0 0 3 4 3 7 21 4 3 2 1 kk x x x x , 21,k k任意常数 10 求线性方程组 333 12 545
7、2 22 421 432 4321 4321 xxx xxx xxxx xxxx 的通解， 并指出其对应的齐次线性方程组的一个基 础解系。 解 : 1211210330 2514501121 0112100000 1303300000 B 知( )( )24R AR B, 故原方程组有 无穷多组解 , 同解方程组为： 134 234 33 21 xxx xxx ， 43, x x为自由未知量, 原方程组的通解为： 1 2 12 3 4 033 112 010 001 x x kk x x , 21,k k任意常数 11 求线性方程组 03345 52 223 1 4321 432 4321 4
8、321 xxxx xxx xxxx xxxx 的通解，并指出其对应的齐次线性方程组的一个 基础解系。 解: 1111110114 3211201225 0121500010 5433000000 B ， 知( )()34R AR B, 故原方程组 有无穷多组解,同解方程组为： 13 23 4 4 25 0 xx xx x ， 3 x为自由未知量,原方程组的通解为： 1 2 3 4 41 52 01 00 x x k x x , k任意常数 12当a为 何 值 时 下 列 线 性 方 程 组 有 解 ？ 有 解 时 用 向 量 形 式 表 示 出 它 的 通 解 1 22 32 22 431 4
9、321 4321 4321 xxx axxxx xxxx xxxx 解 : 2111212113 1211301102 112200012 1011100001 B a a ， 当 1a 时 , ( )()3R AR B,线 性方程组有解。 1211310103 0110201102 0001200012 0000000000 B ，知()()34R AR B, 故 原方程组有无穷多组解, 同解方程组为： 13 23 4 3 2 2 xx xx x ， 3 x为自由未知量, 原方程组的通解为： 1 2 3 4 31 21 01 20 x x k x x , k任意常数 13 判断下列向量组的线
10、性相关性并求它的一个最大无关组 （1） );1, 3 ,0();2 , 1, 1();3 , 1 ,2( 321 （2）1=(1,0,1), 2=(0,1,-1), 3=(2,0,1) 4=(0,1,2) 解：（ 1） 210113 113012 321001 A 向量组 123 ,线性无关，且 123 ,就是一个最大无关组 解：（ 2） 10201020 01010101 11120013 A 向量组 1234 ,线性相关， 123 ,或 124 ,是最大无关组 14 已 知 向 量 组4321 1 ，5432 2 ，6543 3 ， 7654 4 ，求向量组的秩。 解: 123412341
11、1111111 2345111112340123 3456111100000000 4567111100000000 A 1234 (,)2R 15 已知向量组1121 1 ，002 2 t，2540 3 的秩为 2，求 t。 解: 120120120 204044011 15025025 102022000 A ttt 若 123 (,)2R,则25t,所以3t. 16 讨论向量组111 1 ，321 2 ，t31 3 ，当t为何值时，向量 组线性相关。 解: 111111111 123012012 13021005 A ttt 若向量组线性相关,则 123 (,)( )3RR A 所以50
12、t,即5t 四 证明题 1设,A B相乘可交换，且 A可逆，证明 1 A与B相乘也可交换. 证：由 ABBA 得BABA 1 故BAA B 11 . 2设A是可逆的n阶矩阵，求证. 11 AA 证：由. 1 1 EAAAA故. 1 1 AA 线性代数练习题答案 一选择题 （）0|0|BAAB。（）可代入验算。 （,）例如 43 0000 0010 0001 A（,）部分组也含向量组 本身。（）是AX的任意解， 0是 BAX的特解时， 0 是 BAX的全部解B（） （）0 22 ba ab ba D，由克莱姆法则知有唯一解。 （） 二填空题 k x x x 0 1 2 3 2 1 ，k 是任意常
13、数 82|2 65 A 311 25 2 1 X，有关的 11 01 11 02 2 1 1 三计算题 解：化为三角形行列式得：40D 1313 11551165 0115565 11512540 011525 110100 0110 D 解：由范得蒙行列式结论得：12)42)(32)(34)(12)(14)(13(D 解：按第一行展开计算得： 16 4 xD 解：将,行加到第一行提公因式化三角形得： 3 )(3(xaaxD 解： 000 010 201 A，2)(AR 解： 2 1 | 1 | 11 A AAB 解： ),(),( 1 AEEA 初行变 , 15 5 15 2 3 1 2 1
14、 2 1 2 1 5 2 5 1 1 0 323 641 302 ， 15 17 5 1 1 1BAX 解： 1 A同上题， 3 4 10 31 15 46 3 2 10 23 15 53 3 5 2 7 3 01 1 BAX 解：增广矩阵 初行变 11111 54321 A 3 4 3 2 3 7 3 5 110 201 (行最简阶梯 阵)， 44 33 3 4 433 2 2 3 7 433 5 1 2 xx xx xxx xxx ， , 0 0 1 0 1 2 0 1 3 4 3 7 21 3 2 3 5 4 3 2 1 kk x x x x ., 21 为任意常数kk 0. 解：对增广
15、矩阵做初行变后类上题可得： 44 33 432 431 12 33 xx xx xxx xxx ， , 0 0 1 0 1 0 2 3 0 1 1 3 21 4 3 2 1 kk x x x x ., 21 为任意常数kk 令 , 0 1 1 3 1 , 1 0 2 3 221,为对应导出组 AX的一个基础解系。 1. 解：对增广矩阵做初行变后类上题可得： 0 52 4 4 33 32 31 x xx xx xx ，, 0 0 5 4 0 1 2 1 4 3 2 1 k x x x x .为任意常数k 令, 0 1 2 1 为对应导出组AX的一个基础解系。 12. 解： 初 行 变 11101
16、 2211 31121 21112 a A a 3 11 3 2 3 1 0000 1000 20110 0101 对增广矩阵做初行变后可知当 3 11 a时，原方程组有解， 3 2 4 33 32 3 1 31 2 x xx xx xx ，通解为： , 0 2 0 1 1 1 3 2 3 1 4 3 2 1 k x x x x .为任意常数k 13. (1)解： 100 010 001 123 311 012 初行变 A,., 321 为其最大无关组线性无关 (2)解： 3 1 6 100 010 001 2 1 0 111 010 201 A,., 321 为其最大无关组 ., 4321
17、线性相关 14.解： 初 行 变 7654 6543 5432 4321 A 0000 0000 3210 2101 ,., 21 为其最大无关组秩为 2. 15.解： 000 300 110 201 201 51 402 021 tt A,2)(AR3t满足要求 . 16. 解： 500 210 111 31 321 111 tt A,向量组线性相关5t满足要求 . 四证明题 1. 证明：, 1存在 且A BAAB分别左乘、右乘 1 A， 得 1111 BAAAABAA， 或BABA 11 ，结论得证。 2.证明：由性质)()(ABBA,现在.)1)(1( 111 EAAAAAA 又由性质知ABEAB 1 ，故. 1 1 AA