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1、复变函数复习重点 ( 一复数的概念 1. 复数的概念：zxiy，, x y是实数 , Re,Imxzyz. 2 1i. 注：一般两个复数不比较大小，但其模 复数的运算 1. 加减法 ：若 111222 ,zxiyzxiy，则 121212 zzxxi yy 2. 乘除法 ： 1）若 111222 ,zxiyzxiy，则 1212122112 z zx xy yi x yx y； 1122 11112121221 2222 22222222222 xiyxiyzxiyx xy yy xy x i zxiyxiyxiyxyxy 。 2）若 12 1122 , ii zz ezz e, 则 1 /
2、30 12 1212 i z zz z e； 1211 22 i z z e zz 3. 乘幂与方根 1） 若(cossin) i zziz e，则 (cossin) nn nin zzninz e。 2） 若(cossin) i zziz e，则 1 22 cossin(0,1,21) n n kk zzikn nn ：如果幂级数 0 n n n c z在 0 0z处收敛，那么对满足 0 zz的一切z，该级数绝对收敛； 如果在 0 z处发散，那么对满足 0 zz的一切z，级数必发散。 5PCzVD7HxA 2）幂级数的收敛域圆域 幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆 的圆周
3、上可能收敛；也可能发散。 3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。 比值法如果 1 lim0 n n n c c ，则收敛半径 1 R； 根值法lim0 n n c，则收敛半径 1 R； 如果0，则R；说明在整个复平面上处处收敛； 如果，则0R；说明仅在 0 zz或0z点收敛； 注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。0 (B1(C2 (D 无 2.沿正向圆周的积分 . dz z z z2 2 1 sin = (A2 1sini . (B 0. (C 1sini . (D以上都不对 . 3 n nn z14 的收敛域为 (A. 41 4 1 z . (B ez21 (C 211z
4、 . (D无法 确定 4. 设 z=a是 zf的 m 级极点 ,则 zf zf 在点 z=a的留数是 . (A m. (B -2m. (C -m. (D 以上都不 对.dvzfvkwMI1 三.计算题 17 / 30 1. ivuzf 为解读函数， 3223 33yxyyxxvu， 求 u 2设函数 zf与分别以 z=a 为 m 级与 n 级极点，那么函 数zgzf .在 z=a处极点如何？ 3求下列函数在指定点z0 处的 Taylor 级数及其收敛半 径。 1, 1 0 2 z z zf 4求拉氏变换 ttf6sin 证 明 ： ? a F a atf 1 模拟试卷一答案 一.填空题 1.i
5、 2.0 3.否 4 1/ 6 5. 0.5,1 0,1 0.25,1 t ftt t 二.选择题 1. (D 2. (A 3(A4.(C 三.计算题 1. 23 3ux yyc 2函数 zgzf在 z=a处极点为 m+n 级 18 / 30 3 1 2 1 1 11 n n fzn zR z 4 2 6 36s 5. 3 371 442 ttt y teete . 模拟试卷二 一.填空题 1.C为 1z 正向，则 c dzz = 2. 2323 lxyxiynxmyzf为解读函数，则l, m, n 分 别为 . 3. 2 Re ,0 shz s z 4. 级数 1 2 2 n n n z .
6、收敛半径为 5. -函数的筛选性质是 二.选择题 1 1tuetf t ，则 ? ft (A. 1 1 s e s (B 1 1 s e s (C2 1 1 s e s (D 以上都不对 2? Ftf ，则 ?tft2 (A FF2 .(B FF2 . (C FFi2 .(D 以上都不对 19 / 30 3C 为 3z的正向， . 2 103 c zz dz (A.1 (B2 (C0 (D 以上都不对 4. 沿正向圆周的积分 dz z z z2 2 2 sin = (A.0. (B.2 (C.2+i. (D. 以上都不 对.rqyn14ZNXI 三.计算题 1. 求 sin(3+4i. 2计算
7、 c bzaz dz , 其中 a、b为不在简单闭曲线c上的 复常数， a b. 3求函数 1, 1 1 0 z z z zf 在指定点 z0处的 Taylor 级数及 其收敛半径。 4求拉氏变换 kt etf 证 明 ： ? a s F a atf 1 模拟试卷二答案 20 / 30 一.填空题 1.2 i 2. 3,1lnm 3.1 4. 1 5. 0tf t dtf - 二.选择题 1 (B 2(C3 (C4.(A 三.计算题 1. 4 34 3 2 ii ee i 2 当a、 b 均 在 简 单 闭 曲 线c 之 内 或 之 外 时 0, c dz zazb 当 a在 c 之内, b在
8、 c之外时 2 , c dzi zazbab 当 b 在 c之内, a在 c之外时 2 , c dzi zazbab 3 1 0 11 12 12 n n n zz fzR z . 4 1 sk 模拟试卷三 一.填空题 1 z=0 为 1 2 2z ezzf的级零点 , 2. 0 , 1 Re 32 zz s . 21 / 30 3. a,b,c均为复数，问 bc c b aa与一定相等吗？ . 4. 每个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点吗？ 5. c z dz cos =. 二.选择题 1. 设 u和 v 都是调和函数 ,如果 v 是 u的共轭调和函数，那 么 v 的共轭调和函数为 . (
9、Au. (B-u.(C2u(D 以上都不对。 2级数 1n in n e . (A. 发散. (B 条件收敛 (C绝对收敛 (D 无法 确定 EmxvxOtOco 3C 为 2z 的正向 , 则 22 9 z c e dz zz . (A.1 (B2 (C 9 1 2 i (D 以上都不对 4? Ftf，则 ?tf 1. (A i eF (B i eF (C i eF (D 以上都不对 三.计算题 1.计算 . 0 cos45 cos21 , 2 0 1 d z dz zf z 证明从而 2求在指定圆环域内的Laurent 级数 11, 1 2 z z z zf . 22 / 30 3利用留数
10、计算定积分 : 2 0 cos2 d 4求拉氏变换 kt tetf 2 (A 3 (C 4 (D 三.计算题 1. 1 0, 2 z dz fz z 2 11 2 0 1 111 nn n z fznz z . 3 2 3 3 4 2 1 sk 模拟试卷四 一.填空题 1. 复数 i i z 1 1 三角表示形式 . 23 / 30 2. 设 xyyxu 22 为调和函数，其共轭调和函数为 3. n n n izc 0 能否在 z=-2i 处收敛而 z=2+3i 发散. 4. 0z为6sin6 633 zzzzf 的级极点 5. 卷积定理为 二.选择题 1 2F 则 tf = (A.7 (B1
11、(C2(D 以上都不对 2. 若 nn ii3131，n为整数 .n= (A6k(B3(C3k(D6 3. C是直线 OA，O 为原点， A 为 2+i, 则 dzz c Re = (A.0. (B.2+ i. (D. 以上都不 对.SixE2yXPq5 4设 3 sin ttf ，则 ? ft (A. 2 12 31 s s (B 2 12 3 s s (C s e s 3 2 1 1 (D 以上都不对 三.计算题 1求在指定圆环域内的Laurent 级数 .0, sin z z z zf 2.设函数 zf与分别以 z=a 为 m 级与 n 级极点，那么函数 zg zf .在 z=a极点如何
12、？ 24 / 30 3求 其他,0 ; 50,tE tf 傅氏变换。 4求拉氏变换 tetf t 6sin 2 . 四.证明题 1.若 , 1, 1 求证 1 1 2.若 F ? tf ,证明： . ? 000 2 1 cosFFttf 模拟试卷四答案 一.填空题 1. cos sin 22 i 2. 22 2 2 yx xyc 3. 否 4. 15 5. 略 二.选择题 1(B 2. (C3. (C 4(C 三.计算题 1 2 0 11 21 ! n n n z fzn n 2.当 mn 时， z=a为 zg zf 的 m-n 级极点 当 m n时， z=a为 zg zf 的可去奇点 3 5
13、 2 25 sin 2 j E e 25 / 30 4 2 6 236s . 四.证明题 1.略 2.略 模拟试卷五 一.填空题 1. 0944 2 iizz根为, 2. dz z z z2 和 dz z z z4 是否相等 3. 叙述傅氏积分定理 4. 拉氏变换的主要性质 二.选择题 1已知0 !11 1,1. 2 nnn n ccc nn 则 2 n n n cz 的收敛圆环 为 (A. 42 4 1 z . (B ez21 (C 211z . (D无法确定 2. z w 1 将 z 平面上 4 22 yx 映射成 w 平面上的 (A.直线 (Bu+v=1(C 4 1 22 vu (D以上
14、都不对 3z=0 是 z ezzf 1 2 什么奇点 (A.可去(B本性奇点 (C2 级极点 (D 以上都不 对 4.0 tt 的傅氏变换为 26 / 30 (A 1 (B 0 ti e (C 0 ti e (D 以上都不对 三.计算题 1. 解方程 0ie z . 2.利用留数计算定积分 : dx x x 22 3 cos 3利用能量积分求2 2 sin x x dx 4.求 1 1 2 ss sF 的拉氏逆变换 . 四.证明题 1. 试证 argz在原点与负实轴上不连续. 2. 下列推导是否正确？若不正确，把它改正： .2 1 2 1 1 1 1 1 2 3 2 3 i z idz z z
15、 dz zz z zz 模拟试卷五答案 一.填空题 1. 3 23 23 23 2 22 2222 ii和- 2. 相等 3. 略 4. 略 二.选择题 1 (B 2. (C 3 (B4. (B 三.计算题 27 / 30 1. 2 2 zki . 2. 3 3e 3 2 2 sin x dx x 4. 1 t et 复变函数与积分变换试卷本科） 一、填空题 每小题 2分，共 12 分） 1、设iz222，则其三角表示式为 _ ； 2、满足|z+3|-|z-1|=0的 z的轨迹是 _； 3、)3(iLn_ 。 4、 jat e5的傅氏变换为 _； 5、 ss 2 1 的拉氏逆变换为 _. 6、
16、 1 1 )( 5 z zf在0 0 z处展开成幂级数为 _ 。 二、选择题 每小题 2分，共 10 分） 1、设zzfcos)(，则下列命题正确的是 ） A、|)(|zf是有界的； B、)(zf以为周期； C、 2 )( iziz ee zf； D、)(zf在复平面上处处解读。 2、设iz，则 102148 zzz的值等于 ） A、1； B、-1； C、i； D、 i。 3、设 C 是正向圆周,2| z则 c dz z z | ） 28 / 30 A、i4； B、i2； C、2； D、4。 4、z=0是 zzsin 1 的孤立奇点的类型为 ） A、二阶极点； B、简单极点； C、可去奇点；
17、D、本性奇点。 5、若幂级数 0n n nz c在iz1 1 处发散，则该级数在z=2处的敛散性为 ） A、绝对收敛； B、条件收敛； C、发散； D、不能确定； 三 、 已 知 调 和 函 数iifxyyxu1)(, 22 ， 求 解 读 函 数 ,)(ivuzf ，并求 )( zf 。8 分） 四、设ixyxzf 2 )( ，试确定 )(zf 在何处可导，何处解读,并求 可导点处的导数。 6分） 五、求下列函数的积分 每小题 6分，共 24 分） 1、沿 xy算出积分 dziyx i1 0 2 )( 的值； 2、 3| cos1 sin z dz z z ； 3、 2 0 cos35 1
18、d ； 4、 1| 22 )( cos z dz azz z ，其中0, 1|aa 六、将下列函数展开为级数每小题 7 分，共 14 分） 1、 将函数 1 1 )( z z zf 在 1 0 z 处展开成幂级数，并指出 其收敛区间。 2、 将函数 )( 2 )( 2 izz zf 以 iz 为中心的圆环域内展开为 洛朗级数。 七、求微分方程1)0()0(,34 “ yyeyyy t 的解。 6分 29 / 30 八、求下列函数的积分变换 每小题 6 分，共 12 分） 1、求 00 0,sin )( t tte tf t 的傅氏变换。 2 、 求 ttetf t 7cos)( 2 的拉氏变换 九、证明题 每小题 4分，共 8 分） 1、设复数n zzz,., 21全部满足 nizRs i ,.2, 1. 0)( ，且 1n n z 和 1 2 n n z 都收敛，证明 1 2 | n z也收敛。 2、已知 )(zf 在 0|z|1内解读，且 1)(lim 0 zzf z ，证明 z=0 是 )(zf 的一级极点，并求其留数。 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。