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1、华杯赛决赛试题A（小学中年级组）1 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 小学中年级组 本文题目由热心家长提供，南京新东方启智数学教师录排，时间仓促，如若有 误，欢迎各位家长留言指正！ 一、填空题 （每小题10 分，共 80 分） 1.在 2017 个自然数中至少有一个两位数，而且其中任意两个数至少有一个三位数，则这 2017 个数中有个三位数。 【答案】 2016 【考点】 抽屉原理的基础：最不利原则 【启智数学春季班四年级第 8 讲内容】 【解析】 假设这些自然数中有2 个数不满足三位数的条件，则与“ 任意两个数至少有一个三位数” 相 矛盾，因此只有 1 个数不是三位数，三位数有：2
2、017-1=2016 （个） 2.如下图（ 1）所示，一个棋子从 A 到 B 只能沿着横平竖直的路线，在网格中行走，给定棋 子的一条路线，将棋子在某一列中经过的格子数标在该列的上方，在某一行中经过的格子数标 在该行的左方。如果右图（2）中网格上方和左方的数字也是根据以上规则确定的，那么 图中 x 代表的数字为。 13441 1 2 2 3 A 2 A x 2 1 1B 3 （1） 4 B （2） 【答案】 2 【考点】 平面图形找规律 【启智数学秋季班三年级第 6 讲内容】 【解析】 每个格子都在某一行某一列上，所以行上的数字和与列上的数字和相等，故： x=（ 1+3+4+4+1）- （ 3+
3、1+3+4）=13-11=2（路线如上图） 1 华杯赛决赛试题A（小学中年级组）2 3. 用 x 表示不超过 x 的最大整数，例如10.2=10，则： 2017 3 + 2017 4 + 2017 5 + 2017 6 + 2017 7 + 2017 8 等于 。 11 11 11 11 11 11 【答案】 6048 【考点】 定义新运算 【启智数学春季班五年级第 15 讲内容】 2017 3 2017 8 2017（ 3+8 ） 【解析】11 + 11 = 11 = 2017 又 x 表示不超过 x 的最大整数，所以20173 11 + 20178 11 = 2017 - 1 = 201
4、6 原式 =2016 3=6048. 4. 盒子里有一些黑球和白球，将黑球数量变成原来的 5 倍，总的球数将会变成原来的 2 倍。 如果将白球数量变成原来的 5 倍，则总的球数将会变成原来的倍。 【答案】 4 【考点】 倍数关系 【启智数学春季班四年级第 6 讲内容】 【解析】 黑球数量变成原来的5 倍： 5 黑+白 =2（黑 +白） 白=3 黑白球数量变成原来的5 倍：（黑 +5 白） （黑 +白） =（黑 +5 3 黑） （黑 +3 黑） =16 4 =4 5. 能被自己的数字之和整除的两位数中，奇数共有个。 【答案】 5 【考点】 位值原理 【启智数学春季班四年级第 3 讲内容】 【解析
5、】 奇 奇=奇，因此数字和为奇数，又各位为奇数，因此十位只能为偶数。经过枚举 发现，满足条件的两位数有：21,27,45,63,81，共 5 个。 6. 如右图，将一个正方形硬纸片的四个角分别剪去一个等腰直角三角 形，最后剩下一个长方形。正方形边长和三角形直角边长都是整数。 若剪去部分的总面积为 40 平方厘米，则长方形的面积是平方厘 米。 【答案】 24 【考点】 图形的割补法 【启智数学暑假班四年级第 6 讲内容】 【解析】 设边长分别是a 和 b，则a 2+b2=40 b 经枚举知： 2 2+62=40 所以，长方形面积=（2+6） 2-40=24（平方厘米）。 2 a 华杯赛决赛试题A
6、（小学中年级组）3 7. 小龙从家到学校的路上经过一个商店和一个游乐场，从家到商店距离是 500 米，用了 7 分 钟；从商店到游乐场以 80 米 / 分钟的速度要走 8 分钟；从游乐场到学校的距离是 300 米， 走的速度是 60 米 /分钟。那么小龙从家到学校的平均速度是米/ 分钟。 【答案】 72 【考点】 平均数 【启智数学秋季班四年级第 7 讲内容】 【解析】 平均速度 =总路程 总时间 =（500+80 8+300） （7+8+300 60） =1440 20 =72（米 / 分钟） 8. 亚瑟王在王宫中召见 6 名骑士，这些骑士中每个骑士恰好有 2 名朋友。他们围着一张圆桌坐 下
7、（骑士姓名与座位如右图），结果发现这种坐法，任意相邻的两名骑士恰好都是朋友。 亚瑟王想重新安排座位，那么亚瑟王有种不同方法安排座位，使得每一个骑士都不与他的 朋友相邻（旋转以后相同的，算同一种方法）。 【答案】 6 【考点】 乘法原理 【启智数学春季班四年级第 14 讲内容】 【解析】 从兰斯洛特开始，按逆时针顺序标上字母ABCDEF以及数 字 123456，题目意思为：重新排序之后，相邻字母不能在一起，用 A 来定位，若A在 1 号位，那么B,F 只能在 345 号位，共有3 2=6 种方式，而每一种方式定下来之后，剩下的 CDE 均只有 1 种排列 方式（或用枚举法）。故答案为 6 种。
8、A F 1 6 B 2 5 C 3 4 D 二、简答题 （每小题15 分，共60 分，要求写出简要过程） 9. 如右图所示，两个边长为 6 的正方形 ABFE 和 CDEF 拼成长方 形 ABCD 。G 为 DE 的中点，连接 BG 交 EF 于 H。求图中五边形 CDGHF 的面积。 【答案】 6 【考点】 图形分割 【启智数学暑假班四年级第 6 讲内容】 【解析】 按图示分割，得出每个小长方形的面积为：6 6 6=6 五边形 CDGHF 的面积 =6 6-6 2=33 A E G D H B F C 10. 乌龟和兔子进行 1000 米赛跑，兔子速度是乌龟速度的 5 倍，当它们从起点同时出
9、发 后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它，兔子奋起直 追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后 10 米，求兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米？ 【答案】 802 【考点】 追及问题 3 华杯赛决赛试题A（小学中年级组）4 【启智数学春季班四年级第 10 讲内容】 【解析】 兔子最后还差10 米到达，假设兔子跑这10 米需要t分钟，则她跑完1000 米 需要100t 分钟，兔子速度是乌龟速度的 5 倍，乌龟跑完全程需要 500t 分钟。实际上兔 子跑了 100t-t=99t 分钟，睡了 500t-99t=401t 分钟。 这 401t 分钟内，乌龟跑了401t 500t 10
10、00=804（米） 11. 如右图，一个边长为 3 的正六边形被 3 组平行于其边的直线分割 成边长为 1 的 54 个小正三角形，那么以这些小正三角形的顶点为顶 点的正六边形共有多少个？ 【答案】 27 【考点】 图形计数 【启智数学暑假班四年级第 7 讲内容】 【解析】 边长为1 的正六边形：边长为 2 的正六边形： 3+4+5+4+3=19（个）2+3+2=7（个） 边长为 3 的正六边形：1 个，总共 19+7+1=27 （个） 12. 如右图，将 1 至 9 这九个数字填入网格中，要求每个格 子填一个数字，不同格子填的数字不同，且每个格子周围的格 子（即与该格子有公共边的格子）所填数
11、字之和是该格子中所 填数字的整数倍，已知左右格子已经填有数字 4 和 5 ， 4 x 5 那么标有字母 x 的格子可以填的数字最大是多少？ 【答案】 6 【考点】 数阵图 【启智数学秋季班四年级第 8 讲内容】 【解析】 x=6 是可行的， 4 上面放 7，下面放1，5 上面放 8，下面放2，中间从上至下分别 是 3,6,9. x 与周围 6 个数的和应该是1+2+3+6+7+8+9=36，所以 x 的可能取值为1,2,3,6,9。 这里仅需考虑 x=9 是否可行即可。 考虑 2,6,8 所在的位置。 4 华杯赛决赛试题A（小学中年级组）5 若 4 旁边的数都是偶数，那么必然是 2 和 6 ，
12、考虑 2 和 6 周围的数的和必须是偶数，而 x=9，所以上下两个空格必然也是奇数，所以 8 必然在 5 旁边，且周围全是奇数，所有奇 数的和 1+3+5+7+9=25，去掉一个必须是8 的倍数，则只能去掉1 或者 9，x=9，所以只能去 掉 1，而 7 一定在 8 边上，而 2+8+9=19,6+8+9=23 。所以 7 只能挨着 5 ，而 8+5+9+1=23，不是 9 的倍数。 因此 4 旁边的必须是 2 个奇数。此时 8 若在最上或者最下，则周围三个数必然是奇数， 奇数偶数，因此挨着 5 的那个数，必然是偶数，考虑这个数周围的和，得到挨着 5 的另 外一个数也必然是偶数，所以只能是 2 和 6 ，而 2+6=8 不是 5 的倍数，舍掉。所以 8 不在最上面或者最下面，只能挨着 5 ，那么挨着 5 的另一个数只能是 2 ，5+9+2=116，挨 着 8 的最后一个数无论如何取值均不可能使得四个数的和是 8 的倍数。 故 x 不可能等于9. 综上所述， x 最大值为6. 5