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1、1 高中数学圆的方程典型题型归纳总结 类型一：巧用圆系求圆的过程 在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。 常用的圆系方程有如下几种： 以为圆心的同心圆系方程 过直线与圆的交点的圆系方程 过两圆和圆的交点的圆系方 程 此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。 当时，得到两圆公共弦所在直线方程 例 1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若 ，求实数的值。 分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求 的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系 ，不难得出在以为直
2、径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点 的圆系方程，可极大地简化运算过程。 解：过直线与圆的交点的圆系方程为： 2 ，即 . 依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则 ，解之可得 又满足方程，则故 例 2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 解：圆和的公共弦方程为 ，即 过直线与圆的交点的圆系方程为 ，即 依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小， 则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心 必在公共弦所在直线上。即，则代回圆系方程得所求圆方程 例 3: 求证： m为任意实数时，直线(m1)x (2m 1)y m 5 恒过一定点P，并求 P点坐标。 分析：不论m为何实
3、数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。 解：由原方程得 m(x2y1) (x y5) 0， 3 即 4y 9x 05yx 01y2x 解得 ， 直线过定点P（9， 4） 注：方程可看作经过两直线交点的直线系。 例 4 已知圆C： （x1） 2（ y2） 225，直线 l： （ 2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR） . （1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程 . 剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l的方程（x+y 4）+m（ 2x+y7）=0. 2x+y7=0，x=3， x
4、+y4=0，y=1， 即l恒过定点A（3， 1）. 圆心C（1，2） ，AC55（半径）， 点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点 . （2）解：弦长最小时，lAC，由kAC 2 1 ， l的方程为2xy5=0. 评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？ 思考讨论 类型二：直线与圆的位置关系 例 5、若直线mxy与曲线 2 4xy有且只有一个公共点，求实数m的取值范围 . 解：曲线 2 4xy表示半圆)0(4 22 yyx，利用数形结合法，可得实数m的取值范围是 22m或22m. 变式练习： 1. 若直线 y=x+k 与曲线 x= 2 1y 恰有一个公共点，则k 的取值范围
5、是 _. 解析：利用数形结合. 答案： 1k1 或 k= 2 例 6 圆9)3()3( 22 yx上到直线01143yx的距离为1 的点有几个？ 分析： 借助图形直观求解或先求出直线 1 l、 2 l的方程，从代数计算中寻找解答 解法一： 圆 9)3()3( 22 yx的圆心为)3,3( 1 O，半径3r 设圆心 1 O到直线01143yx的距离为d，则32 43 113433 22 d mR， 得 4 如图，在圆心 1 O同侧，与直线01143yx平行且距离为1 的直线 1 l与圆有两个交点，这两个交 点符合题意 又123dr 与直线01143yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题
6、意 符合题意的点共有3 个 解法二： 符合题意的点是平行于直线01143yx，且与之距离为1 的直线和圆的交点设所求 直线为043myx，则1 43 11 22 m d， 511m，即6m，或16m，也即 0643 1 yxl ：，或01643 2 yxl ： 设圆9)3()3( 22 1 yxO：的圆心到直线 1 l、 2 l的距离为 1 d、 2 d，则 3 43 63433 22 1 d，1 43 163433 22 2 d 1 l与 1 O相切，与圆 1 O有一个公共点； 2 l与圆 1 O相交，与圆 1 O有两个公共点即符合题意的点共3 个 说明： 对于本题，若不留心，则易发生以下误
7、解： 设圆心 1 O到直线01143yx的距离为d，则32 43 113433 22 d 圆 1 O到01143yx距离为 1 的点有两个 显然，上述误解中的d是圆心到直线01143yx的距离，rd，只能说明此直线与圆有两个 交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1 类型三：圆中的最值问题 例 7：圆 01044 22 yxyx上的点到直线014yx的最大距离与最小距离的差是 解 ： 圆18)2()2( 22 yx的 圆 心 为 （ 2 ， 2 ）， 半 径23r， 圆 心 到 直 线 的 距 离 5 rd25 2 10 ， 直 线 与 圆 相 离 ， 圆 上 的 点 到 直 线 的 最
8、大 距 离 与 最 小 距 离 的 差 是 262)()(rrdrd. 例 8 (1) 已知圆 1)4()3( 22 1 yxO：，),(yxP为圆O上的动点，求 22 yxd的最大、最小值 (2) 已知圆 1)2( 22 2 yxO ：，),(yxP为圆上任一点求 1 2 x y 的最大、最小值，求yx2的最 大、最小值 分析： (1) 、(2) 两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决 解： (1)( 法 1) 由圆的标准方程1)4()3( 22 yx 可设圆的参数方程为 ,sin4 ,cos3 y x （是参数） 则 2222 sinsin816coscos69yx
9、d )cos(1026sin8cos626（其中 3 4 tan） 所以361026 max d，161026 min d ( 法 2) 圆上点到原点距离的最大值 1 d等于圆心到原点的距离 1d加上半径1，圆上点到原点距离的最 小值 2 d等于圆心到原点的距离 1 d减去半径 1 所以6143 22 1 d 4143 22 2 d 所以36 max d16 min d (2) (法 1) 由 1)2( 22 yx得圆的参数方程： ,sin ,cos2 y x 是参数 则 3cos 2sin 1 2 x y 令t 3cos 2sin ， 得tt32cossin，tt32)sin(1 2 1)s
10、in( 1 32 2 t t 4 33 4 33 t 所以 4 33 max t， 4 33 min t 6 即 1 2 x y 的最大值为 4 33 ，最小值为 4 33 此时 )cos(52sin2cos22yx 所以yx2的最大值为52，最小值为52 ( 法 2) 设k x y 1 2 ，则02kykx由于),(yxP是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所 示， 两条切线的斜率分别是最大、最小值 由1 1 22 2 k kk d，得 4 33 k 所以 1 2 x y 的最大值为 4 33 ，最小值为 4 33 令tyx2，同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值 由1 5 2m d，
11、得52m 所以yx2的最大值为52，最小值为52 例 9、已知对于圆1) 1( 22 yx上任一点),(yxP，不等式0myx恒成立，求实数m的取值范 围 设圆 1) 1( 22 yx上任一点)sin1,(cosP)2,0 cosx，sin1y 0myx恒成立 0sin1cosm 即)sincos1(m恒成立 7 只须m不小于)sincos1 (的最大值 设1) 4 sin(21)cos(sinu 12 max u即12m 说明： 在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法一般地，把圆 222 )()(rbyax上的点设为 )sin,cos(rbra()2,0) 采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地 运用三角公式从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换