鸡兔同笼问题(二).教师版.pdf

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1、专业文档 珍贵文档 1. 熟悉鸡兔同笼的“ 砍足法 ” 和“ 假设法 ” . 2. 利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象 一、鸡兔同笼 这个问题，是我国古代著名趣题之一大约在1500 年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题书 中是这样叙述的：“ 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若 干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35 个头；从下面数，有94 只脚求笼中各有几只鸡和兔？ 你会解答这个问题吗？你想知道孙子算经中是如何解答这个问题的吗？ 二、解鸡兔同笼的基本步骤 解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、 每只兔一半的

2、脚， 则每只鸡就变成了“ 独脚鸡 ” ， 每只兔就变成了“ 双 脚兔 ” 这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了 47 只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数 多1因此，脚的总只数47与总头数 35 的差，就是兔子的只数，即473512（只）显然，鸡的只数就是 351223 （只）了 这一思路新颖而奇特，其“ 砍足法 ” 也令古今中外数学家赞叹不已除此之外，“ 鸡兔同笼 ” 问题的经典思 路“ 假设法 ” 假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比 较，做差除二兔找到 解鸡兔同笼问题的基本关系式是： 如果假设全是兔，那么则有： 数=（每

3、只兔子脚数 鸡兔总数 -实际脚数） （每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数 =鸡兔总数 -鸡数 如果假设全是鸡，那么就有： 兔数 =（实际脚数 -每只鸡脚数 鸡兔总数） （每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数 =鸡兔总数 -兔数 当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2 倍 当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2 倍 在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等 专题中也都会接触到假设法 两个量的 “ 鸡兔同笼 ” 问题变例 【例1】某次数学竞赛，共有20 道题，每道题做对得5分，没做或做错都要扣2分，小聪得了79 分，他做对 了多少道题？ 【考点】鸡兔同笼

4、问题【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 做错 (52079 ) (52)3 (道)，因此，做对的20317(道) 【答案】 17 道 【巩固】数学竞赛共有20 道题，规定做对一道得5 分，做错或不做倒扣3 分，赵天在这次数学竞赛中得了 例题精讲 知识精讲 教学目标 6-1-9. 鸡兔同笼问题（二） 专业文档 珍贵文档 60 分，他做对了几道题？ 【考点】鸡兔同笼问题【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 假设他将所有题全部做对了，则可得100 分，实际上只得了60 分，比假设少了40 分，做错一题要 少得 8 分，少得的40 分中，有多少个8

5、 分，就是他做错的题的数量，则知他做对了15 道 【答案】 15 道 【巩固】东湖路小学三年级举行数学竞赛，共 20道试题 .做对一题得5 分，没有做一题或做错一题都要倒扣2 分.刘钢得了 86 分，问他做对了几道题？ 【考点】鸡兔同笼问题【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 这道题也类似于“ 鸡兔同笼 ” 问题假设刘钢20道题全对，可得分520100（分），但他实际上只 得 86 分，少了 1008614（分），因此他没做或做错了一些题由于做对一道题得5 分，没做或 做错一道题倒扣 2分，所以没做或做错一道题比做对一道题要少 527 （分） 14分中含有多少 个 7

6、， 就是刘钢没做或做错多少道题所以，刘钢没做或做错题为1472 （道）， 做对题为 20218 （道） 【答案】 18 道 【巩固】某次数学竞赛，试题共有10道，每做对一题得6 分，每做错一题倒扣2分。小红最终得44分，做 对的题比做错的题多_道。 【考点】鸡兔同笼问题【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，3 年级，第8 题，假设思想方法 【解析】604482 ，做错2道题，做对 8道题，对的比错的多6 道。 【答案】多6道 【巩固】次数学竞赛有10 道试题，若小宇得70 分，根据图5 中两人的对话可知小宇答对_题。 【考点】鸡兔同笼问题【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】希望

7、杯，五年级，一试，第12 题 【解析】 设答对了x道题，那么 105(10)70xx，所以8x，也就是小宇答对了8 道题。 【答案】 8题 【巩固】一次口算比赛，规定：答对一题得8 分，答错一题扣5 分。小华答了18 道题，得92 分，小华在此 次比赛中答错了_ 道题。 【考点】鸡兔同笼问题【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第12 题 【解析】 假设他全答对了，应该的18 8=144 分，实际上少了144-92=52 分，每答错一道题少8+5=13 分，答 错了 52 13=4 道题。 【答案】4题 【例2】某工人与老板签订了一份30 天的劳务合同：工作一天可得报酬

8、48 元，休息一天则要从所得报酬中 扣掉 12 元。该工人合同到期后并没有拿到报酬，则他最多工作了_天。 【考点】 和倍问题【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第5 题 【解析】 方法一：假设他没有休息他会得3048=1440 （元），休息一天会少4812=60 （元），所以他休息 了 144060=24 （天），他工作了3024=6 天 方法二：工作一天休息4 天刚好抵消，那么最后没拿到钱，他只工作了30 (4+1)=6 天。 专业文档 珍贵文档 【答案】 6 天 【例3】春风小学 3 名云参加数学竞赛，共10 道题，答对一道题得10 分，答错一道题扣3 分，这 3

9、名同学 都回答了所有的题，小明得了87 分，小红得了74 分，小华得了9 分，他们三人一共答对了_ 道题 . 【考点】鸡兔同笼问题【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】假设思想方法 【解析】 三人共得 87749170(分 )，比满分 10103300(分)少 300170130 (分) 因此三个人共做错：130(103)10(道)题，共答对了301020(道)题 【答案】 20 【例4】张明、李华两人进行射击比赛，规定每射中一发得20 分，脱靶一发扣12 分，两人各射了10 发，共 得 208 分，其中张明比李华多64 分，则张明射中_发。 【考点】鸡兔同笼问题【难度】 3 星【题型】填空

10、 【关键词】希望杯，4 年级， 1 试 【解析】 张明得分（ 20864）2136 分，根据鸡兔同笼， 张明脱靶（ 20 10136）（2012） 2，射中 8 发。 【答案】 8发 【巩固】小明和小刚进行数学解题能力对抗赛，两人商定，对一题得20 分，不答或答错一题扣12 分。两人 各解答了10 道题，一共得208 分，又知道小明比小刚多得64 分。那么小刚做对了道题。 【考点】鸡兔同笼问题【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，初试，10 题 【解析】小刚得了20864272 （分） ,如果小刚 10 道题都做对了，应得200 分，实际得72 分，所以错 了20072201

11、24（道） ，做对了 1046 （道）。 【答案】 6 道 【巩固】有两次自然测验，第一次24 道题，答对1 题得 5 分，答错 (包含不答 )1 题倒扣 1 分；第二次15 道 题，答对1 题 8 分，答错或不答1 题倒扣 2 分，小明两次测验共答对30 道题，但第一次测验得分 比第二次测验得分多10 分，问小明两次测验各得多少分？ 【考点】鸡兔同笼问题【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 法一：如果小明第一次测验24 题全对，得524120(分).那么第二次只做对30246(题)得分是 862(156)30(分 ).两次相差 1203090(分).比题目中条件相差

12、10 分，多了80 分.说明假设 的第一次答对题数多了，要减少 .第一次答对减少一题，少得516 (分)，而第二次答对增加一题不 但 不 倒 扣2分 ， 还 可 得8分 ， 因 此 增 加 8210 分 . 两 者 两 差 数 就 可 减 少 61 01 6(分). (9010)(610)5(题).因此，第一次答对题数要比假设(全对 )减少 5 题，也就是第 一 次答对19 题， 第二次答对 301911 (题 ).第一 次得 分 5 191 (249)90 .第 二次 得分 8112(1511) 80 . 法二：答对30 题，也就是两次共答错2415309 (题).第一次答错一题，要从满分中

13、扣去 516 (分)，第二次答错一题，要从满分中扣去8210 (分).答错题互换一下，两次得分要相差 61016(分 ).如果答错9 题都是第一次， 要从满分中扣去69 .但两次满分都是120 分.比题目中条 件“ 第一次得分多10 分 ” ，要少了 6910 . 因此，第二次答错题数是(6910)(610)4(题).第一次答错945 (题). 第一次得分5(245)1590(分).第二次得分 8(154)2480(分). 【答案】第一次得分90分 .第二次得分80分. 【例5】某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为30 元，成人票的价格为40 元，如 果是团体还可以买平均3

14、2 元一位的团体票，一个由8 个家庭组成的旅游团（每个家庭由两位大人， 或两个大人、 一个小孩组成） 来景点旅游， 如果他们买团体票那么可以比他们各买各的少花120 元， 问这个旅游团一共有多少人？ 专业文档 珍贵文档 【考点】鸡兔同笼问题【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 每个三口之家可以少花30404032314（元） ，每个二口之家可以少花40406416（元） ， 如 果 这8 个 家 庭 都 是 三 口 之 家 ， 那 么 一 共 少 花 148112 （ 元 ） ， 所 以 这8 个 家 庭 中 有 12011216144（）（）（个） 家庭是二口之家，

15、所以这个旅游团一共有4284320（）（人） 【答案】 20 人 【例6】一张数学试卷， 只有 25道选择题 做对一题得4分，做错一题倒扣1分；如不做，不得分也不扣分 若 小明得了 78分，那么他做对题，做错题，没做题 【考点】鸡兔同笼问题【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】假设思想方法，祖冲之杯 【解析】 这道题不是普通的鸡兔同笼问题，需要寻找一些特殊的线索 小明得了 78分，而且只有做对了题目才能得分 78419 ，所以可以知道小明至少做对20道题目，否则一定低于4 1976 (分)； 再假设他做对21题，发现即使另外四题都错，小明仍然有4211480(分)，超过了 78 分，所以 小

16、明至多做对20 道题目； 综上，可以断定小明做对了20 道题 至此本题转化为简单鸡兔同笼问题 假设剩下 5 题全部没做，那么小明应得42080 (分) 但是只得了78分，说明又倒扣了2分，说明错了2道题， 3道题没做 所以小明做对了20道题，做错了2道题，没做3道题 【答案】对了20道题，做错了2道题，没做3道题 【例7】一批钢材， 用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36 辆已知每辆大卡车比每辆小卡车多装 4吨， 那么这批钢材有多少吨？ 【考点】鸡兔同笼问题【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨利用假设法

17、，假设只用36 辆 小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下436144 (吨)根 据条件， 要装完这144吨钢材还需要45369(辆)小卡车 这样每辆小卡车能装144916 (吨)由 此可求出这批钢材有720吨 【答案】 720吨 【例8】下面是小波和售货员阿姨的一段对话：小波：“阿姨，您好！” 售货员：“同学，你好想买点什 么？”小波：“我只有100 元，请帮我安排买10 支钢笔和15 本笔记本”售货员：“好，每支钢 笔比每本笔记本贵2 元，退你5 元，请拿好再见”根据这段对话，则钢笔每支是元， 笔记本每本是元 【考点】鸡兔同笼问题【难度】 3 星【题型】填空

18、【关键词】 学而思杯， 4 年级，第14 题 【解析】 一共花了 100595 元。 如果是买 25 本笔记本可以少花10220元， 即 75元。 所以每本笔记本3元， 每支钢笔 5 元 【答案】 5 元 【例9】买 一些 4 分和 8 分的邮票,共花 6 元 8 角 .已知 8 分的邮票比4 分的邮票多40 张 ,那么两种邮票 各买了多少张 【考点】鸡兔同笼问题【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 解 一 :如果拿出40 张 8 分的邮票,余下的邮票中8 分与4 分的张数就一样多. (680-8 40) (8+4)=30( 张 ), 这就知道,余下的邮票中,8 分和

19、 4 分的各有30 张 . 因此 8 分邮票有40+30=70( 张 ). 解二 :譬如 ,假设有20 张 4 分 ,根据条件“8 分比 4 分多 40 张 “,那么应有60 张 8 分 .以 “分 “作为计 算单位 ,此时邮票总值是4 20+860=560. 专业文档 珍贵文档 比 680 少 ,因此还要增加邮票.为了保持“差 “是 40,每增加1 张 4 分 ,就要增加1 张 8 分,每种要增 加的张数是(680-4 20-8 60) (4+8)=10( 张 ). 因此 4 分有 20+10=30( 张 ),8 分有 60+10=70( 张 ). 【答案】 4 分有30 张 ,8 分有 7

20、0 张 . 【例10】喜羊羊的存钱罐中只有5 角和 1 元的硬币共100 枚，其中5 角的硬币比1 元的硬币多20 元， 喜羊羊的存钱罐中总共有_ 钱。 【考点】盈亏问题【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】 学而思杯， 4 年级，第3 题 【解析】 60 元。 200.540 枚， 10040320 枚， 20100200.560 元。 【答案】 60 元 【例11】小同有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2 分币比 5 分币多 22 个；按钱数算，5 分币却比2 分币多 4 角；另外，还有36 个 1 分币小同共存了多少钱？ 【考点】鸡兔同笼问题【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】假设

21、思想方法 【解析】 假设去掉 22 个 2 分币，那么按钱数算，5 分币比 2 分币多 8 角 4 分，一个5分币比一个2 分币多 3 分，所以5 分币有 845228（）（个），2 分币有 282250 （个） ， 528250136 14010036276 （分） 【答案】 276 分 【例12】现有大小油桶50 个，每个大桶可装油4 千克，每个小桶可装油2 千克，大桶比小桶共多装油 20 千克，问大小桶各多少个? 【考点】鸡兔同笼问题【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 方法一：假设50 个油桶都是大桶，则共装油 (450)200千克，而这小桶所装油则为 0这样

22、大桶 比小桶多装200 千克，比条件所给的差数多了(20080)180千克，若在50 个大桶中把一部分大桶 换成小桶，则每拿一个大桶换成小桶，大桶装的油就减少4 千克，而小桶共装的油就增加2 千克， 那么大桶比小桶多装的数量就减少(42)6 千克，所以小桶有：180630 ( 个 )， 大桶有： 503020 (个). 方法二：这道题也可以用另外一种假设；每个大桶比每个小桶多装2 千克，如果大小桶同样多，大 桶要比小桶共多装20 千克，则应该大小桶各20(42)10个，现在共有50 个桶，在剩下的 (50102)30 个桶中，大小桶应装同样多的油，而每个大桶装的油是每个小桶装的(42)2 倍，

23、 那么在这30 个桶中，应该有30(12)10 个大桶， (3010)20个小桶；所以可求出50 个桶中， 有大小桶各多少个 解： 20(42)10(个) (50102)(12)10 (个) (大桶 ) 101020 (个) (大桶共有 ) 502030 (个) (小桶共有 ) 【答案】大桶20个，小桶 30 个 【例13】大、小猴共 35 只，它们一起去采摘水蜜桃猴王不在时，一只大猴一个小时可采摘15 千克，一 只小猴子一小时可摘11千克；猴王在场监督的时候，每只猴子不论大小每小时都可以多采摘12千 克 一天，采摘了 8小时，其中第一小时和最后一小时猴王在监督，结果共采摘了4400 千克水蜜

24、桃 在 这个猴群中，共有小猴子多少只？ 【考点】鸡兔同笼问题【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 其 实大猴子和小猴子就相当于鸡兔问题中的鸡和兔但是却有猴王来捣乱，所以我们先让猴王消 失一天中，猴王监视了2小时，假设猴王一直都不在，同猴王在时相比，每只猴子每小时都会少 采12千克，那样猴群只能采摘4400352123560(千克 )；这是一天也就是8小时的工作量，据 此可以求出这群猴每小时采35608445 (千克 )；假设都是大猴子， 应该每小时采摘1535525 (千 专业文档 珍贵文档 克)，比实际多采了52544580 (千克 ) 而每只小猴子被假设成大猴子，

25、会多采 15114 (千克 ) 因 此可以求出小猴子有：80420 (只) 【答案】 20 只 【例14】今年是 1998 年,父母年龄 (整数 )和是 78 岁,兄弟的年龄和是17 岁 .四年后 (2002 年)父的年龄是弟 的年龄的4 倍,母的年龄是兄的年龄的3 倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3 倍时 ,是公元哪一年？ 【考点】鸡兔同笼问题【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 4 年后 ,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的 年龄看作“ 鸡“头数 ,弟的年龄看作“兔 “头数 .25 是 “总头数 “.8

26、6 是 “总脚数 “.根据公式,兄的年龄是 (25 4-86) (4-3)=14(岁). 1998 年,兄年龄是14-4=10(岁). 父年龄是(25-14)4-4=40(岁). 因此 ,当父的 年龄是兄的年龄的3 倍时 ,兄的年龄是(40-10) (3-1)=15( 岁),这是 2003 年. 【答案】 2003年 【例15】一份稿件 ,甲单独打字需6 小时完成 .乙单独打字需10 小时完成 ,现在甲单独打若干小时后,因有 事由乙接着打完,共用了 7 小时 .甲打字用了多少小时？ 【考点】鸡兔同笼问题【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 我们把这份稿件平均分成30

27、份(30 是 6 和 10 的最小公倍数),甲每小时打30 6=5(份),乙每小时打 30 10=3(份). 现在把甲打字的时间看成“兔“头数 ,乙打字的时间看成“鸡“头数 ,总头数是7.“兔“的脚数 是5,“鸡 “的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成“ 鸡兔同笼“问题了 . 根据前面的公式“兔 “数 =(30-3 7) (5-3) =4.5, “ 鸡 “数=7-4.5 =2.5, 也就是甲打字用了4.5 小时 ,乙打字用了2.5 小时 . 【答案】 4.5 小时 【例16】箱子里红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只，每次从箱子里取出7只白球、 15 只 红球如果经过若干次以后，箱

28、子里剩下3只白球、 53 只红球那么箱子里原有红球多少只？ 【考点】鸡兔同笼问题【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 假设每次一起取7只白球和21只红球，由于每次拿得红球都是白球的3倍，所以最后剩下的红球数 应该刚好是白球数的3倍多2由于每次取的白球和原定的一样多，所以最后剩下的白球应该不变， 仍然是 3个按照我们的假设，剩下的红球应该是白球的3倍多2，即 33211 (只 )但是实际上 最后剩了 53只红球，比假设多剩 42只，因为每一次实际取得与假设相比少6只，所以可以知道一共 取了 4267(次)所以可以知道原来有红球71553158(只 ) 【答案】 158只 【例17】车库中停放若干辆双轮摩托车和四轮小卧车，车的辆数与车的轮子数之比是25。问：摩托车 的辆数与小卧车的辆数之比是多少？ 【考点】鸡兔同笼问题【难度】 4 星【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第10 题 【解析】 车库中，平均每2 辆车有 5 个轮子，也就是说，平均每4 辆车有 10 个轮子。简单的试凑可以知道， 1 辆小卧车和3 辆摩托车恰好有10 个轮子。所以摩托车的辆数与小卧车的辆数之比为31 【答案】 3:1