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1、 精品资料第十七章 特殊三角形17.1 等腰三角形专题一 等腰三角形的性质和判定的应用1.已知a，b，c是ABC的三边，且a2+b2+c2=ab+ac+bc，则ABC是（）A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形2.如图，在等边ABC中，D是边AC上一点，连结BD，将BCD绕点 B逆时针旋转60，得到BAE，连结ED若BC10，BD 9，则AED的周长是 3.在等腰ABC中，AB=AC，MN是AB的垂直平分线，MN与AB相交于D点，与AC所在的直线相交于E点，若AED=40，则EBC的度数为_.4如图，在等腰ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=AE（1）若BAC=90
2、，BAD=30，求EDC的度数；（2）若BAC=a（a30），BAD=30，求EDC的度数；（3）猜想EDC与BAD的数量关系？（不必证明）专题二 等腰（边）三角形中的动点问题5.已知ABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点.下面给出的三种情况（如图中的），先用量角器分别测量BQM的大小，将结果填写在下面对应的横线上，然后猜测BQM在点M，的变化中的取值情况，并利用图证明你的结论。测量结果：图中BQM=_；图中BQM=_；图中BQM=_。6.如图，在ABC中，AB=AC=2，B=40，点D在线段BC上运动（D不与B，重合），
3、连接AD，作ADE=40，DE交线段AC于E（1）当BDA=115时，BAD=_；点D从B向C运动时，BDA逐渐变_ （填“大”或“小”）；小（2）当DC等于多少时，ABDDCE，请说明理由；（3）在点D运动的程中，ADE的形状也在改变，判断当BDA等于多少度时，ADE是等腰三角形7阅读材料：如图，ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连结AP，则SABP+SACP=SABC，即：ABr1+ACr2=ABh，r1+r2=h（定值）（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内
4、任一点”，即：已知等边ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）（2）理解与应用ABC中，C=90，AB=10，AC=8，BC=6，ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？_（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= _若不存在，请说明理由状元笔记【知识要点】1.等腰三角形的定义有两边相等的三角形叫做等腰三角形.2.等腰三角形的性质定理（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）.3.等边三角形的性质等边三角形
5、的三个角都相等，并且每一个角都等于60.4.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.其中，两个相等的角所对的边相等（简称“等角对等边”）.5.等边三角形的判定定理（1）三个角都相等的三角形是等边三角形.（2）有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形.【温馨提示】1.等腰三角形的定义和“等角对等边”都是等腰三角形判定的依据.2. “等边对等角”和“等角对等边”都只限于在同一个三角形中.【方法技巧】1.已知等腰三角形的一个角，求另外两个角，或已知两边求周长时，常用分类讨论的思想.2.等腰三角形的性质是证明同一个三角形中的两角相等的一个重要方法，也是用来证明线段相
6、等或垂直、角相等的常用方法.3.等腰三角形的判定定理是证明线段相等的一个重要方法，当要证明位于同一个三角形的两条线段相等时，可尝试用“等角对等边”.4.在等腰三角形的有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线.来源:参考答案1.C 解析：根据题意得2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0，所以，所以a=b=c，所以ABC是等边三角形.2. 19 解析：ABC是等边三角形，ACABBC10. BAE由BCD逆时针旋旋转60得出，AECD，BDBE，EBD60，AEADADCDAC10，EBD60，BEBD，BDE是等边三角形，DEBD9
7、，AED的周长AEADDEACBD19故答案为193. 15或75解析：如图，E在AB的垂直平分线上，EA=EB，可得EBA=A=9040=50. AB=AC，CBA=C=65，EBC=15；如图，E在AB的垂直平分线上，EA=EB，可得EBA=EAB=9040=50. AB=AC，CBA=C=EAB=25，EBC=25+50=75.4.解：（1）BO平分ABC，CO平分ACB，EBO=OBC，FCO=OCB.EFBC，EOB=OBC，FOC=OCB，EBO=EOB，FOC=FCO，BE=OE，CF=OF，BEO和CFO是等腰三角形，即图中等腰三角形有BEO，CFO；EF与BE、CF之间的关系
8、是EF=BE+CF，理由是：BE=OE，CF=OF， EF=BE+CF（2）BO平分ABC，CO平分ACG，EBO=OBC，FCO=OCG.EFBC，EOB=OBC，FOC=OCG，EBO=EOB，FOC=FCO，BE=OE，CF=OF，BEO和CFO是等腰三角形，即图中等腰三角形有BEO，CFO；EF与BE、CF之间的关系是EF=BE-CF，理由是：BE=OE，CF=OF，EF=OE-OF=BE-CF5. 解：（1）BAC=90，AB=AC，B=C=（180-BAC）=45，ADC=B+BAD=45+30=75.DAC=BAC-BAD=90-30=60，AD=AE，ADE=AED=（180-
9、DAC）=60，EDC=ADC-ADE=75-60=15，答：EDC的度数是15（2）与（1）类似：B=C=（180-BAC）=90-，ADC=B+BAD=90-+30=120-.DAC=BAC-BAD=-30，ADE=AED=（180-DAC）=105-，EDC=ADC-ADE=（120-）-（105-）=15，答：EDC的度数是15来源:（3）EDC与BAD的数量关系是EDC=BAD5.解： 60，60，60.证明:BM=CN；ABM=BCN=60；BA=BC.则ABMBCN(SAS),M=N;所以BQM=N+QAN=M+CAM=C =60.6.解：（1）BAD=180-ABD-BDA=1
10、80-40-115=25；从图中可以得知，点D从B向C运动时，BDA逐渐变小；故答案为：25；小（2）当ABDDCE时DC=AB，AB=2，DC=2，当DC等于2时，ABDDCE；（3）AB=AC，B=C=40，当AD=AE时，ADE=AED=40，AEDC，此时不符合；当DA=DE时，即DAE=DEA=（180-40）=70，BAC=180-40-40=100，BAD=100-70=30；BDA=180-30-40=110；当EA=ED时，ADE=DAE=40，BAD=100-40=60，BDA=180-60-40=80；当ADB=110或80时，ADE是等腰三角形7.解：连接AP，BP，CP.则，即：，AB=BC=AC，所以r1+r2+r3=h（定值）（2）存在；2.