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1、 浙江台州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题10：四边形 （1） 选择题1. （2008年浙江台州4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=a，则菱形ABCD的周长为【 】ABCD2. （2010年浙江台州4分）梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=AD=2，B=60，则下底BC的长是【 】A3 B4 C 2 D2+2 【答案】B。【考点】梯形的性质，平行四边形、等边三角形的判定和性质。【分析】如图，作AECD于E点， ADBC，AECD，四边形AECD是平行四边形。AB=CD=AD=2，AE=CD=2，EC=AD=2。又AB=CD，B=60，AB
2、E是等边三角形。BE=2。BC=4。故选B。3. （2011年浙江台州4分）在梯形ABCD中，ADBC，ABC90，对角线AC、BD相交于点O下列条件中，不能判断对角线互相垂直的是【 】A12 B13C23 DOB2OC2BC2 4. （2012年浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，A=120，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】A1 B C 2 D1【答案】B。【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】分两步分析： （1）若点P，Q固定，此时点K的
3、位置：如图，作点P关于BD的对称点P1，连接P1Q，交BD于点K1。 由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得 P1K1 = P K1，P1K=PK。 由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1KQKP1Q= P1K1Q K1= P K1Q K1。 此时的K1就是使PK+QK最小的位置。 （2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上。 因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1QAB时P1Q最短。 过点A作AQ1DC于点Q1。 A=120，DA Q1=30。 又AD=AB=2，P1Q=AQ1=AD
4、cos300=。 综上所述，PK+QK的最小值为。故选B。二、填空题1. （2003年浙江台州5分）如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标。它是由四个相同的直角三角形与中间一个大正方形的边长是13，小正方形边长是7，则每个直角三角形较短的一条直角边的长是 。【答案】5。【考点】正方形的性质，勾股定理。【分析】如图，大正方形的边长是AB=13，小正方形边长是CD=7， 设直角三角形中较小边长AC=x，则BC= x+7根据勾股定理，得，解得，x1=5，x1=12（舍去）。较短的一条直角边的长是AC=5。2. （2008年浙江台州5分）如图，四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形
5、，边长分别为a，b，c；A，B，N，E，F五点在同一直线上，则c= （用含有a，b的代数式表示）【答案】。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，CNB+ENH=90。又CNB+NCB=90，ENH+EHN=90，CNB=EHN，NCB=ENH。又CN=NH，CBNNEH（ASA）。HE=BN。在RtCBN中，BC2+BN2=CN2，BC2+ HE 2=CN2，又三个正方形的边长分别为a，b，c，即BC=a，HE=b，CN=c，a2b2=c2。三、解答题1. （2004年浙江温州、台州10分）附加题（1）对于任意给定的一个矩
6、形C，是否存在另一个矩形，使它的周长和面积都是矩形C的2倍?请说明你理由。（2）当实数m是什么值时，对于任何一个矩形C，都存在另一个矩形，它的周长与面积都是矩形C的m倍？证明你的结论。（2）设已知矩形的长与宽分别为a，b，所求矩形为x，y，则 ，x，y是方程t2m(a+b)t+mab=0的两根。当=m2(a+b)24mab0，即时，方程有解。对于长与宽分别为a，b矩形, 当时，存在周长与面积都是已知矩形的m倍的矩形。(ab)20，a2+b22ab。 a2+b2+2ab4ab， 即(a+b)24ab，。的最大值为1 。当m1时，所有的矩形都有周长与面积都是已知矩形的m倍的矩形。【考点】一元二次方
7、程根的判别式和根与系数的关系，矩形的性质。【分析】（1）由题意可知：分别设出已知矩形和所求矩形的长与宽，再根据周长和面积的关系可以列出两个关系式，观察两个关系式可得一个根为xy的一元二次方程，再根据判别式可以确定方程是否有解，进而确定所求矩形是否存在。（2）方法与（1）一样。2. （2005年浙江台州8分）如图，在44的正方形方格中，ABC和DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：ABC= ，BC= ；（2）判断ABC与DEF是否相似，并证明你的结论.【答案】解：（1）135, 。【考点】网格问题，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定。【分析】（1）由正方形的性质，可得AB
8、C=1350，由勾股定理可得BC=。 （2）由正方形的性质，可得ABC =DEF =1350，由勾股定理可得，从而判断ABCDEF。3. （2006年浙江台州14分）善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形.他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个问题，你能帮助解决吗？问题一 平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？（1）从特殊情形入手探究.假设梯形ABCD中， ADBC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，MN是中位线（如图）.根据相似梯形的定义，请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似
9、?（2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形 (填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”.不要求证明) .问题二 平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似?（1）从特殊平行线入手探究.梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形 (填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”.不要求证明).（2）从特殊梯形入手探究.同上假设，梯形ABCD中，ADBC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到与梯形底边平行的直线PQ（点P,Q在梯形的两腰上，如图）, 使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗? 请根据相似梯形的定义说明理由.（3）一般结论：对于任意梯形（如图），一定 (填“
10、存在”或“不存在”)平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似. 若存在，则确定这条平行线位置的条件是 = (不妨设AD= a，BC= b，AB=c，CD= d.不要求证明 ) .【答案】解：问题一：（1）梯形AMND与梯形ABCD不相似。两个梯形的腰相等，即腰的比是1：2，而上底的比是1：1，这两个梯形一定不相似。（2）不相似。问题二：（1）不相似。（2）能。若梯形APQD与梯形PBCQ相似，则 ，即，解得：PQ=4。 ，AP+PB=6，AP=2。同理可得DQ=。当AP=2，DQ=时，形APQD与梯形PBCQ相似。（3）存在；。4. （2009年浙江台州12分）定义：到凸四边形一组对边
11、距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点如图1，PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形ABCD的准内点（1）如图2，AFD与DEC的角平分线FP，EP相交于点P求证：点P是四边形ABCD的准内点（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”任意凸四边形一定存在准内点（ ）任意凸四边形一定只有一个准内点（ ）若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD( ) 【答案】解：（1）证明：如图，过点P作PGAB，PHBC，PICD，PJAD，垂足分别为G
12、，I，J，H，EP平分DEC，PJ=PH。同理PG=PI。P是四边形ABCD的准内点。（2）作图如下：平行四边形对角线AC，BD的交点P1就是准内点，或者取平行四边形两对边中点连线的交点P1就是准内点；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点P2就是准内点。（3）真；真；假。 【考点】新定义，作图（复杂作图）平行四边形和梯形的性质。【分析】（1）过点P作PGAB，PHBC，PICD，PJAD，由角平分线的性质可知PJ=PH，5. （2011年浙江台州8分）如图，分别延长ABCD的边BA、DC到点E、H，使得AEAB，CHCD，连接EH，分别交AD、BC于点F、G求证：AEFCHG【答案】证：在ABCD中，ABCD，ABCD ， EH，EAFD 。ADBC，HCGD。EAFHCG 。 AEAB，CHCD。AECH。 AEFCHG（ASA）。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定。【分析】根据平行四边形的性质可得出AE=CH，再根据平行线的性质及等角代换的原理可得出E=H，EAF=D，从而利用ASA可作出证明。