空间中的垂直关系.pdf

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1、专业文档 珍贵文档 85空间中的垂直关系 1线线垂直 如果两条直线所成的角是_(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直 2直线与平面垂直 (1)定义： 如果直线l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说 _，记作 _直 线 l 叫做 _， 平面 叫做 _ 直线与平面垂直时， 它们惟一的公共点P叫做 _ 垂 线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的_ (2)判定定理：一条直线与一个平面内的_都垂直，则该直线与此平面垂直 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面用符号表示：ab， a? b . (3)性

2、质定理：垂直于同一个平面的两条直线_ 3直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_，叫做这条直线和这个平面所成的角 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内， 我们说它们所成的角 是 0 的角任一直线与平面所成角 的范围是 _ 4二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的_叫做二面角 (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作_的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角二面角的范围是_ 5平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直 (2)判定定

3、理：一个平面过另一个平面的_，则这两个平面垂直 (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于_的直线与另一个平面垂直 自查自纠 1直角 2(1)直线 l 与平面 互相垂直l 平面 的垂线 直线 l 的垂面垂足距离(2)两条相交直线 (3)平行 3锐角0 ，90 4(1)两个半平面所组成的图形 (2)垂直于棱0 ，180 5(1)直二面角(2)垂线(3)交线 专业文档 珍贵文档 (2017 江西宜春四校联考)下列命题中错误的是() A如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面 ，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ， l，那

4、么 l平面 D如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 解：对于选项A，可在 内作直线平行于交线即可，A 正确； 对于选项B，假设在 内存在直线垂直于平面 ， 则 ，这与已知矛盾，所以原命题成立，B 正确；对于选项C，因为平面平面 ，所以在平面 内存在 一条直线m .所以 ml.同理可知在平面 内存在直线n ，nl.若直线 m，n 重合，则面与 重合或平 行，这与已知矛盾，所以直线m，n 相交，又 lm，ln，所以 l面 ，C 正确；对于选项D，易知 与 的 交线 l 并不垂直于面 ，D 错误 故选 D. (2017 甘肃马营中学月考)若 m、 n 是两条不同的直线，、 、 是三个不

5、同的平面，则下列命题中的真命 题是 () A若 m? ， ，则 m B若 m， n，mn，则 C若 m ，m，则 D若 ， ，则 解： 若 m?，则 m 与的关系可能平行也可能相交或m?，则 A 为假命题；选项B 中，与 可能平行也可能相交，则B 为假命题；选项D 中 与 也可能平行或相交(不一定垂直 )，则 D 为假命题 故 选 C. (2017 全国卷 )在正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E 为棱 CD 的中点，则 ( ) AA1EDC1BA1EBD C A1EBC1 DA1EAC 解： 由正方体的性质，得A1B1BC1，B1CBC1，所以 BC1平面 A1B1CD，又 A1E?

6、平面 A1B1CD，所以 A1E BC1，故选 C. 若 l，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面 ，则“ lm”是“ l ”的 _条件 解： 若 lm，m平面 ，则 l或 l?；若 l ，m平面 ，则 lm，所以 “lm”是“l ”的必要 而不充分条件故填必要不充分 (2017 重庆八中适应性考试)在正四面体P-ABC 中， D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，下面四个结论 中正确的是 _ BC平面 PDF ； DF平面 PAE； 平面 PDF 平面 ABC； 平面 PAE平面 ABC. 解：由 DF BC 可得 BC平面 PDF ，故正确； 若 PO平面 ABC，垂足为 O，则

7、O 在 AE 上，则 DF PO， 又 DF AE，故 DF 平面 PAE，故 正确；由 PO平面 ABC，PO? 平面 PAE，可得平面PAE平面 ABC， 故正确，平面PDF 不过 PO，故 不正确 故填 . 专业文档 珍贵文档 类型一线线垂直问题 如图，在四棱台ABCD -A1B1C1D1中， D1D平面 ABCD ，底面 ABCD 是平行四边形， AB2AD，AD A1B1， BAD 60 . (1)证明： AA1BD； (2)证明： CC1平面 A1BD. 证明： (1)因为 D1D面 ABCD ，且 BD? 面 ABCD ，所以 D1DBD. 又因为 AB2AD， BAD60 ，

8、在ABD 中，由余弦定理得BD 2AD2AB22AD ABcos60 3AD2， 所以 AD 2BD2AB2. 所以 ADBD. 又因为 ADD1DD，所以 BD 面 ADD1A1. 又 AA1? 面 ADD1A1, 所以 AA1BD. (2)连接 AC，A1C1，设 ACBDE，连接 A1E. 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC1 2AC. 由棱台定义及AB2AD2A1B1知 A1C1EC 且 A1C1EC，所以四边形 A1ECC1为平行四边形 所以 CC1A1E. 又因为 A1E? 面 A1BD， CC1?面 A1BD， 所以 CC1面 A1BD. 【点拨】 本题主要考查线线、线面

9、位置关系第(1)问证明线线垂直，其实质是通过证明线面垂直，再化归为 线线垂直；第(2)问证明线面平行，需转化为证明线线平行，由于面A1BD 中没有与 CC1平行的直线，故需作 辅助线 (2017 武汉市武钢第三子弟中学月考)如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，CACB， ABAA1， BAA160 . (1)证明： ABA1C； (2)若 ABCB2，A1C6，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积 解： (1)证明：取AB 的中点 O，连接 OC，OA1，A1B. 专业文档 珍贵文档 因为 CACB，所以 OCAB. 由于 ABAA1， BAA1 60 ，故 AA1B 为等边三角形，所以 OA

10、1AB. 因为 OCOA1O，所以 AB平面 OA1C. 又 A1C? 平面 OA1C，故 ABA1C. (2)由题设知 ABC 与AA1B 都是边长为2 的等边三角形，所以OCOA1 3. 又 A1C 6，则 A1C 2 OC2OA2 1，故 OA1OC. 因为 OCAB O，所以 OA1平面 ABC，OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高 又ABC 的面积 SABC3，故三棱柱ABC-A1B1C1的体积为VSABCOA13. 类型二线面垂直问题 如图，四棱锥P-ABCD 中， PA底面 ABCD，ABAD，点 E 在线段 AD 上，且 CEAB. (1)求证： CE平面 P AD； (2)

11、若 PAAB1，AD3， CD2， CDA45 ，求四棱锥P-ABCD 的体积 解： (1)证明：因为PA底面 ABCD， CE? 平面 ABCD，所以 PACE. 因为 ABAD， CEAB，所以 CEAD. 又 PA ADA，所以 CE平面 P AD. (2)由(1)可知 CEAD. 在 RtECD 中， CECD sin45 1，DECD cos45 1， 又因为 AB1，则 ABCE. 又 CEAB，ABAD， 所以四边形ABCE 为矩形，四边形ABCD 为梯形 因为 AD3，所以 BCAEADDE2， SABCD 1 2(BCAD) AB1 2(2 3) 1 5 2， VP-ABCD

12、 1 3S ABCD PA1 3 5 2 1 5 6. 于是四棱锥P-ABCD 的体积为 5 6. 【点拨】 证明线面垂直的基本思路是证明该直线和平面内的两条相交直线垂直，亦可利用面面垂直的性质定理 来证明；第 (2)问的难点在于求底面四边形ABCD 的面积，注意充分利用题设条件，先证明底面ABCD 是直角 梯形，从而求出底面面积，最后求体积 (2017 锦州市第二高级中学月考)如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中， E，F，P，Q， M，N 分别是棱 AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点求证： 专业文档 珍贵文档 (1)直线 BC1平面 EFPQ ； (2)直线 AC

13、1平面 PQMN . 证明： (1)如图，连接AD1，由 ABCD- A1B1C1D1是正方体，知AD1BC1， 因为 F，P 分别是 AD，DD1的中点， 所以 FPAD1，从而 BC1 FP. 而 FP? 平面 EFPQ，且 BC1?平面 EFPQ， 故直线 BC1平面 EFPQ. (2)如图，连接AC，BD，则 ACBD. 由 CC1平面 ABCD，BD? 平面 ABCD，可得 CC1BD . 又 ACCC1C，所以 BD平面 ACC1A1. 而 AC1? 平面 ACC1A1，所以 BDAC1. 因为 M，N 分别是 A1B1，A1D1的中点，所以MNBD，从而 MNAC1. 同理可证P

14、NAC1. 又 PNMN N，所以直线AC1平面 PQMN . 类型三面面垂直问题 如图所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中， ABAD1，AA12，M 是棱 CC1的中点 (1)求异面直线A1M 和 C1D1所成的角的正切值； (2)证明：平面ABM平面 A1B1M. 解： (1)因为 C1D1B1A1， 所以 MA1B1为异面直线A1M 和 C1D1所成的角，因为 A1B1平面 BCC1B1， 所以 A1B1M 90 . 而 A1B11，B1M B1C 2 1 MC 2 1 2， 故 tanMA1B1 B1M A1B1 2. (2)证明：由A1B1平面 BCC1B1，BM? 平面

15、BCC1B1， 得 A1B1BM. 由(1)知， B1M 2，又 BMBC 2CM2 2，B1B2， B1M 2BM2 B 1B 2，从而 BMB 1M. 专业文档 珍贵文档 又 A1B1B1MB1，由 得 BM 平面 A1B1M. 而 BM? 平面 ABM，所以平面ABM平面 A1B1M. 【点拨】 求异面直线所成的角，一般方法是通过平移直线，把异面问题转化为共面问题，通过解三角形求出所 构造的角；证明面面垂直，可转化为证明线面垂直，而线面垂直又可以转化为证明线线垂直，在证明过程中， 需充分利用规则几何体本身所具有的几何特征简化问题，有时还需应用勾股定理的逆定理，通过计算来证明垂 直关系，这

16、在高考题中是常用方法之一 (2017 武汉市第四十三中学月考)如图，在五棱锥P-ABCDE 中， PA平面 ABCDE ，ABCD， ABC 45 ，AB22，BC2AE4，三角形 PAB 是等腰三角形求证：平面PCD平面 PAC. 证明： 因为 ABC45 ，AB22，BC4，所以在 ABC 中，由余弦定理得，AC 2(2 2) 24222 2 4cos45 8，解得 AC 2 2，所以 AB 2AC28816BC2，即 ABAC，又 PA平面 ABCDE，所以 PA AB. 又 PA ACA，所以 AB平面 P AC，又 ABCD，所以 CD平面 PAC. 又因为 CD? 平面 PCD，所

17、以平面PCD 平面 PAC. 类型四垂直综合问题 (2017 大连经济技术开发区一中月考)如图 1，在等腰直角三角形ABC 中， A90 ，BC 6，D，E 分 别是 AC， AB 上的点，CDBE2， O 为 BC 的中点将 ADE 沿 DE 折起，得到如图 2 所示的四棱锥A-BCDE ， 其中 AO3. (1)证明： A O平面 BCDE； (2)求二面角A-CD -B 的平面角的余弦值 解： (1)证明：在图1 中，易得 OC3，AC3 2，AD2 2.如图示，连接OD，OE，在 OCD 中，由余弦定 理可得ODOC 2CD2 2OC CDcos45 5.由翻折不变性可知AD22，易得

18、AO 2OD2A D2，所以 A O OD.同理可证 AOOE. 又因为 ODOEO，所以 AO平面 BCDE. (2)过 O 作 OHCD 交 CD 的延长线于H，连接 AH，因为 A O平面 BCDE，易知 A HCD，所以 AHO 为 二面角 A-CD-B 的平面角 . 结合图 1 可知， H 为 AC 中点，又O 为 BC 中点，故OH 1 2AB 3 2 2 ，从而 A HOH 2OA230 2 ， 所以 cosAHO OH AH 15 5 . 专业文档 珍贵文档 所以二面角A-CD-B 的平面角的余弦值为 15 5 . 【点拨】本题主要考查线面垂直及二面角的计算等折叠要注意不变量；

19、 作二面角， 往往要通过作垂线来实现 (2016 全国卷 )如图， 在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形， AF2FD， AFD90 ，且二面角D -AF-E 与二面角C-BE-F 都是 60 . (1)证明：平面ABEF平面 EFDC ； (2)求二面角E-BC-A 的余弦值 解： (1)证明：由已知可得AFDF ，AFFE，又 DFFEF，所以 AF平面 EFDC . 又 AF? 平面 ABEF，故平面ABEF平面 EFDC . (2)过 D 作 DGEF，垂足为G，由 (1)知 DG平面 ABEF. 以 G 为坐标原点， GF 的方向为x 轴正方向， |

20、GF |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz. 由(1)知 DFE 为二面角D-AF-E 的平面角，故DFE 60 ，则 DF 2，DG3，可得 A(1，4，0)，B(3， 4，0)，E(3， 0，0)，D(0，0，3)由已知得， ABEF，所以 AB平面 EFDC . 又平面 ABCD 平面 EFDC CD，故 ABCD，CD EF. 由 BEAF， 可得 BE平面 EFDC ， 所以 CEF 为二面角 C-BE-F 的平面角， 故 CEF60 ， 从而可得C( 2， 0，3)，连接 AC，则 EC (1，0，3)，EB (0，4，0)， AC (3， 4，3)，AB (4，0

21、，0) 设 n(x，y， z)是平面 BCE 的法向量，则 n EC 0， n EB 0， 即 x3z0， 4y0， 所以可取n(3，0，3) 设 m 是平面 ABCD 的法向量，则 m AC 0， m AB 0， 同理可取m (0，3，4)， 则 cosn， m n m |n|m| 2 19 19 ， 结合图形，得二面角E-BC-A 的余弦值为 219 19 . 1判断 (证明 )线线垂直的方法 (1)根据定义； (2)如果直线ab，ac，则 bc； (3)如果直线a面 ，c? ，则 ac； (4)向量法：两条直线的方向向量的数量积为零 专业文档 珍贵文档 2证明直线和平面垂直的常用方法 (

22、1)利用判定定理：两相交直线a，b? ，a c，bc? c； (2)ab， a? b； (3)利用面面平行的性质： ，a? a； (4)利用面面垂直的性质： ，m， a? ， am? a； ， m? m. 3证明面面垂直的主要方法 (1)利用判定定理：a ， a? ? ； (2)用定义证明只需判定两平面所成二面角为直二面角； (3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面： ， ? . 4平面与平面垂直的性质的应用 当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证 明线线垂直 (必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构

23、造 (寻找 )二面角的平面角或得到点到面的距离 等 5注意线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化 6线面角、二面角求法 求这两种空间角的步骤： 根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角， 再解三角形求出该角，步骤是作 (找)? 证? 求(算) 三步曲 也可用射影法： 设斜线段AB 在平面 内的射影为AB，AB 与 所成角为 ，则 cos |AB |AB ； 设 ABC 在平面 内的射影三角形为ABC，平面 ABC 与 所成角为 ，则 cos SABC SABC . 1(2016 浙江 ) 已知互相垂直的平面，交于直线 l.若直线 m，n 满足 m ，n ， 则() AmlBmn

24、CnlDmn 解： 由题意知 l，所以 l?.因为 n ，所以 n l.故选 C. 2已知 ，为两个不同的平面，l 为直线，若 ， l，则 () A垂直于平面的平面一定平行于平面 B垂直于直线l 的直线一定垂直于平面 C垂直于平面的平面一定平行于直线l D垂直于直线l 的平面一定与平面 ， 都垂直 解： 由面面垂直的判定定理可知，垂直于直线l 的平面一定与平面 ，都垂直 故选 D. 3设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是() A若 ，m? ，n? ，则 mn B若 ，m? ，n? ，则 mn C若 mn，m? ，n? ，则 D若 m ，mn， n，则 专业文档 珍贵

25、文档 解： 若 ，m?，n?，则 m 与 n 可能平行、相交或异面，故A 错；若， m?，n?，则 m 与 n 可能平行，也可能异面，故B 错；若 m n，m?，n?，则 与 可能相交，也可能平行，故C 错； 对于 D 项，由 m ，mn，得 n ，又知 n ，故 ，所以 D 项正确 故选 D. 4(2017 沈阳市第一中学月考)设平面 与平面 相交于直线m，直线 a 在平面 内，直线b 在平面 内，且 bm，则“ ”是“ ab”的 () A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：当 时，由面面垂直的性质定理知b ，则 ba.所以 “ ”是“ab”的充分条件

26、而当 a?， 且 am 时，因为bm，所以 ba，而此时平面与平面 不一定垂直所以“”不是 “ ab”的必 要条件 故选 A. 5(2015 福建质量检查 )如图， AB 是圆 O 的直径， VA 垂直圆 O 所在的平面， C 是圆周上不同于A，B 的任意 一点， M，N 分别为 VA，VC 的中点，则下列结论正确的是() AMNAB B MN 与 BC 所成的角为45 C OC平面 VAC D平面 VAC平面 VBC 解： 依题意， MNAC，又直线AC 与 AB 相交，因此MN 与 AB 不平行， A 错误；注意到ACBC，因此 MN 与 BC 所成的角是90 ，B 错误；注意到直线OC

27、与 AC 不垂直，因此OC 与平面 VAC 不垂直， C 错误；由于 BCAC，BC VA，因此 BC平面 VAC.又 BC? 平面 VBC，所以平面VBC平面 VAC，D 正确 故选 D. 6(2017 瓦房店市高级中学月考)如图，在正方形SG1G2G3中， E，F 分别是 G1G2， G2G3的中点， D 是 EF 的 中点，现沿SE，SF 及 EF 把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结 论： (1)SG平面 EFG； (2)SD平面 EFG； (3)GF平面 SEF； (4)EF平面 GSD； (5)GD平面 SEF. 正确的是 () A(1)和

28、(3) B(2)和(5) C (1)和(4) D(2)和(4) 解： 因为正方形中折叠前后都有SGGE，SGGF，所以 SG平面 EFG .(1)正确， (2)错误 专业文档 珍贵文档 因为 SGGF， SGGD，所以 GF 并不垂直于SF，GD 并不垂直于SD，即 (3)(5) 错误 因为 EFGD，EFSG，GD SGG，所以 EF面 GSD.(4)正确 故选 C. 7在正方体ABCD-A B C D中，过对角线BD 的一个平面交AA于 E，交 CC于 F，则 四边形BFD E 一定是平行四边形； 四边形BFD E 有可能是正方形； 四边形BFD E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形

29、； 平面 BFD E 有可能垂直于平面BBD. 以上结论正确的为_(写出所有正确结论的编号) 解：根据两平面平行的性质定理可得BFD E 为平行四边形， 正确； 若四边形 BFD E 是正方形， 则 BEED ， 又 AD EB，AD ED D ，所以 BE面 ADD A，与已知矛盾，错；易知四边形BFD E 在底面 ABCD 内的投影是正方形ABCD， 正确；当 E， F 分别为棱AA ， CC的中点时， EFAC， 又 AC平面 BBD， 所以 EF面 BBD，正确 故填 . 8(2017 沈阳市回民中学月考)ABCD 是正方形， P 为平面 ABCD 外一点，且PA平面 ABCD，则平面

30、PAB， 平面 PBC，平面 PCD ，平面 PAD，平面 ABCD 这五个平面中，互相垂直的平面有_对 解： 因为 PA平面 ABCD，所以平面P AD平面 ABCD，平面 P AB平面 ABCD.又因为 AD平面 PAB，所以 平面 PAD 平面 PAB，同理可得平面PBC平面 PAB，平面 PAD平面 PCD，故互相垂直的平面有5 对 故 填 5. 9(2017 钟祥市实验中学月考)如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面是边长为a 的正方形，侧棱PDa，PAPC 2a.求证： (1)PD平面 ABCD； (2)平面 P AC平面 PBD. 证明： (1)因为 PDa，DCa，PC2a， 所

31、以 PC 2PD2DC2，所以 PDDC. 同理可证PDAD，又 ADDCD， 所以 PD平面 ABCD. (2)由(1)知 PD平面 ABCD， 所以 PDAC，而四边形ABCD 是正方形， 所以 ACBD，又 BDPDD，所以 AC 平面 PDB. 同时 AC? 平面 P AC， 所以平面PAC平面 PBD. 10(2017 谷城县第一中学月考)如图所示，在四棱锥P-ABCD 中， PA底面 ABCD， ABAD，ACCD， ABC60 ，PAABBC，E 是 PC 的中点证明： 专业文档 珍贵文档 (1)CDAE； (2)PD平面 ABE. 证明： (1)因为 PA底面 ABCD ，CD

32、? 平面 ABCD，所以 PACD. 因为 ACCD，PAACA，所以 CD平面 PAC. 而 AE? 平面 PAC，所以 CDAE. (2)由 PAABBC， ABC 60 ， 可得 ACPA.因为 E 是 PC 的中点，所以AEPC. 由(1)知 AECD，且 PCCDC，所以 AE平面 PCD. 而 PD? 平面 PCD，所以 AEPD . 因为 PA底面 ABCD，所以 PAAB. 又因为 ABAD 且 PAADA， 所以 AB平面 PAD ，而 PD? 平面 PAD， 所以 ABPD.又因为 ABAE A， 所以 PD平面 ABE. 11(2017 天津 )如图， 在四棱锥P- AB

33、CD 中，AD平面 PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD 4， PD2. (1)求异面直线AP 与 BC 所成角的余弦值； (2)求证： PD平面 PBC； (3)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 解： (1)如图，由已知ADBC，故 DAP 或其补角即为异面直线AP 与 BC 所成的角 因为 AD平面 PDC，所以 ADPD. 在 RtPDA 中，由已知，得APAD2PD25. 故 cosDAP AD AP 5 5 . 所以，异面直线AP 与 BC 所成角的余弦值为 5 5 . (2)证明：因为AD平面 PDC ，直线 PD? 平面 PDC，所以 ADPD. 又因为

34、BCAD，所以 PDBC. 又 PDPB，所以 PD平面 PBC. (3)过点 D 作 AB 的平行线交BC 于点 F， 连结 PF， 则 DF 与平面 PBC 所成的角等于AB 与平面 PBC 所成的角 因为 PD平面 PBC，故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影，所以 DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角 专业文档 珍贵文档 由于 ADBC，DF AB，故 BFAD1，由已知， 得 CF BC BF2.又 ADDC，故 BCDC，在 RtDCF 中， DF 2DC2CF2422220，DF2 5，所以在RtDPF 中可得 sinDFP PD DF 5 5 . 所以，直线A

35、B 与平面 PBC 所成角的正弦值为 5 5 . (2015 安徽 )如图，三棱锥P-ABC 中， PA平面 ABC，PA1，AB1，AC2， BAC60 . (1)求三棱锥P-ABC 的体积； (2)证明：在线段PC 上存在点M，使得 ACBM，并求 PM MC 的值 解： (1)由题设 AB 1，AC2， BAC60 ， 可得 SABC 1 2ABACsin60 3 2 . 由 PA 平面 ABC， 可知 PA 是三棱锥P- ABC 的高，又 PA1， 所以三棱锥P-ABC 的体积 V 1 3 S ABC PA 3 6 . (2)证明：在平面ABC 内，过点B 作 BNAC，垂足为N.在平面 PAC 内，过点N 作 MN P A，交 PC 于点 M， 连接 BM.由 P A平面 ABC 知 P AAC， 又 MNPA， 所以 MNAC.又 BN AC， BNMNN， BN? 平面 MBN， MN? 平面 MBN，所以 AC平面 MBN.又 BM? 平面 MBN，所以 ACBM. 在 RtBAN 中， ANAB cosBAC 1 2，从而 NC ACAN 3 2.由 MNP A，得 PM MC AN NC 1 3.