频率抽样设计法.pdf

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1、第 7 章 FIR 数字滤波器的设计方法 IIR 数字滤波器最大缺点：不易做成线性相位，而现代图像、语声、数 据通信对线性相位的要求是普遍的。正是此原因，使得具有线性相位的FIR 数字滤波器得到大力发展和广泛应用。 1线性相位 FIR 数字滤波器的特点 FIR DF 的系统函数无分母，为 1 0 1 0 )()( N n n N i i i znhzbzH，系统频 率响应可写成： 1 0 )()( N n jwnjw enheH，令)( jw eH )( )( wj ewH ，H(w) 称为幅度函数，)(w称为相位函数。这与模和幅角的表示法有所不同， H(w) 为可正可负的实数，这是为了表达上

2、的方便。如某系统频率响应 )( jw eH wj we 3 4sin ，如果采用模和幅角的表示法，w4sin的变号相当 于在相位上加上 )1( j e因，从而造成相位曲线的不连贯和表达不方 便，而用 )( )( wj ewH 这种方式则连贯而方便。 线性相位的FIR 滤波器是指其相位函数)(w满足线性方程： )(ww（,是常数） 根据群时延的定义，式中表示系统群时延，表示附加相移。线性相位 的 FIR 系统都具有恒群时延特性，因为为常数， 但只有0 的 FIR 系统 采具有恒相时延特性。 问题：并非所有的FIR 系统都是线性相位的，只有当它满足一定条件时才具 有线性相位。那么应满足什么样的条件

3、？从例题入手。 例题：令 h(n)为 FIR 数字滤波器的单位抽样相应。Nnn或0时 h(n)=0， 并假设 h(n)为实数。 （a）这个滤波器的频率响应可表示为 )( )()( wjjw ewHeH（这是按幅 度函数和相位函数来表示的，不是用模和相角的形式），)(wH为实数。 （N 要分奇偶来讨论） （1）当h(n) 满 足 条 件)1()(nNhnh时 ， 求)(wH和)(w （w0） （2）当h(n) 满 足 条 件)1()(nNhnh时 ， 求)(wH和)(w （w0） （b）用)(kH表示 h(n)的 N 点 DFT （1）若 h(n)满足)1()(nNhnh，证明 H(0)=0；

4、（2）若 N 为偶数，证明当)1()(nNhnh时， H(N/2)=0 。 解： （a） 1 0 )()( N n jwnjw enheH （1）)1()(nNhnh，当 N 为奇数时， )11(1)1(0 ) 11()1 ()1()0()( NjwjwNjwjwjw eNheheNheheH 2 1 2 3 0 )1( ) 2 1 ()( N jw N n nNjwjwn e N heenh 2 1 ) 2 1 ( 2 3 0 ) 2 1 () 2 1 ( ) 2 1 ()( N jw N jw N n n N jw N njw e N heeenh )( ) 2 1 () 2 1 (cos

5、)(2 )( 2 3 0 ) 2 1 ( wHe N h N nwnhe wj N n N jw 其中幅度函数：)(wH 2 3 0 ) 2 1 () 2 1 (cos)(2 N n N h N nwnh 2 1 N nn令得到 )(wH) 2 1 (cos) 2 1 (2 1 2 1 N hwn N nh N n nn令得 到 )(wH 2 1 0 2 1 1 cos) 2 1 (2) 2 1 (cos) 2 1 (2 N n N n wnn N h N hwnn N h 2 1 0 cos)( N n wnna， ) 2 1 ()0( N ha， 2 1 , 2, 1), 2 1 (2)(

6、 N nn N hna。 所以 )( jw eH 2 1 0 2 1 co s)( N n w N j wnnae，得出)(wH 2 1 0 co s)( N n wnna， w N w 2 1 )(。得出第一类FIR DF 的特点： 恒相时延，相位曲线是过原点的曲线； 可通过 h(n)灵活设计幅度函数的零点位置； 幅 度 函 数 对 频 率 轴 零 点 偶 对 称)()(wHwH， 对点 偶 对 称 )2()(wHwH。 （1）)1()(nNhnh，当 N 为偶数时， )( jw eH 1 2 0 )1( )( N n nNjwjwn eenh 1 2 0 ) 2 1 ( ) 2 1 (co

7、s)(2 N n N jw N nwnhe )( )( wHe wj 其中)(wH 1 2 0 1 2 0 2 1 ) 2 (cos)(2) 2 1 (cos)(2 N n N n wn N wnh N nwnh 2 n N n令得到)(wH 2 1 2 1 ) 2 1 (cos)() 2 1 (cos) 2 (2 N n N n nwnbnwn N h， 所以)( jw eH 2 1 2 1 ) 2 1 (cos)( N n w N j nwnbe，得出 )(wH 2 1 ) 2 1 (cos)( N n nwnb， w N w 2 1 )(。 第二类 FIR DF 的特点： 恒相时延，相位

8、曲线是过原点的直线； 幅度函数对频率轴零点偶对称)()(wHwH； 幅度函数对频率轴点奇对称)2()(wHwH。由)(wH的连续 性 ，点 一 定 是 幅 度 函 数 的 零 点 。 即w时 ， )(0)(0) 2 1 (coszHHnw在 z=-1 处有零点； 因此这类 滤波器不适合高通或带阻滤波器。 （2）)1()(nNhnh，当 N 为奇数时 推导省略，结果是 )(wH 2 1 1 sin)( N n wnnc，) 2 1 (2)(n N hnc w N w 2 1 2 )( 。 第三类 FIR DF 的特点： 恒群时延，有 2 附加相移，相位曲线是截距为 2 、斜率为 2 1N 的 直

9、线； 幅度函数对零频点奇对称)()(wHwH，零频是)(wH的零点； 对奇对称)2()(wHwH，也是)(wH的零点。 （2）)1()(nNhnh，当 N 为偶数时 推导省略，结果是 )(wH 2 1 ) 2 1 (sin)( N n nwnd，) 2 (2)(n N hnd w N w 2 1 2 )( 。 第四类 FIR DF 的特点： 恒群时延，有 2 附加相移，相位曲线是截距为 2 、斜率为 2 1N 的 直线； 幅度函数对零频点奇对称)()(wHwH，零频是)(wH的零点； 对偶对称)2()(wHwH。 （b） k N w jw eHkH 2 |)()( （1） 0 |)()0( w

10、 jw eHH，当)1()(nNhnh，不论N 为奇数还是 偶数，)( jw eH中都含有)(sin w项，0|)( 0w jw eH，所以0)0(H。 （2）)1()(nNhnh，N 为偶数 )( jw eH 1 2 1 2 1 ) 2 1 (cos)(2 N n w N j N nwnhe， w jw eHNH|)()2/(，因为（ 2 1N n）是 2 1 的奇数倍，因此 ) 2 1 (cos N nw0，即0)2/(NH。 问题： FIR DF 线性相位的条件是什么？ 总结四种FIR DF 的特点： 当 h(n)为实数且偶对称时，FIR DF 为恒相时延，相位曲线是一条过原 点、以 2

11、 1N 为斜率的直线。信号通过这类滤波器后，各种频率分量 的时延都是 2 1N 。当N 为奇数时，时延 2 1N 是整数，是采样间隔 的整数倍， 采样点时延后仍是采样点。但当 N 为偶数时， 时延 2 1N 不 是整数， 采样点时延后就不在采样点位置上了，这在某些应用场合会带 来一些意外的问题。同时， N 为偶数时，点是幅度的零点，不能做高 通、带阻滤波器。 一般情况下， 第一类 FIR DF 特别适合做各种滤波器。 当 h(n)为实数且奇对称时，FIR DF 仅是恒群时延。相位曲线是一条截 距为2，以 2 1N 为斜率的直线。信号通过该滤波器产生的时延 也是 2 1N 个采样周期，但另外对所

12、有频率分量均有一个附加的90 度 的相移。 单边带调制及正交调制正需要这种特性。因此这种滤波器特别 适合做希尔伯特滤波器以及微分器。 FIR 滤波器的极点都在原点上，而h(n)是因果稳定的有限长序列，因此H(z) 在有限 z 平面上是稳定的。线性相位FIR DF 的零点有自己的特点：它们必 定是互为倒数的共轭对。证明如下：)1()(nNhnh（线性相位） )()( 1)1( zHzzH N （z 变换的性质） 如果 i z是一个零点，代入上式有 )()( 1)1( i N ii zHzzH0 0 i z 0)( 1 i zH必有，则 1 i z也是零点。 因为零极点总是成共轭对出现（有理分式特

13、性）， 所以 * i z， *1 )( i z也是零点。 所以 i z， * i z， 1 i z， *1) ( i z都是零点。 2窗函数设计法 因为 1 0 )()( N n n znhzH， 对 FIR 系统而言，冲击响应就是系统函数的系数。 因此设计FIR 滤波器的方法之一可以从时域出发，截取有限长的一段冲击响 应作为 H(z)的系数，冲击响应长度N 就是系统函数H(z)的阶数。只要N 足 够长，截取的方法合理，总能满足频域的要求。一般这种时域设计、频域检 验的方法要反复几个回合才能成功。 2.1 设计原理 设计目标：设计一个线性相位的FIR DF； 已知条件：要求的理想频率响应 )(

14、 jw d eH。 )( jw d eH是 w 的周期函数，周期为2，可以展开成傅氏级数)( jw d eH n jwn d enh)(，其中)(nhd 是与理想频响对应的理想单位抽样响应序列。 但不能用来作为设计FIR DF 用的 h(n)，因为 )(nhd 一般都是无限长、非因 果的，物理上无法实现。 分析：为了设计出频响类似于理想频响的滤波器，可以考虑用h(n)来近似 )(nhd 。 窗函数的基本思想：先选取一个理想滤波器（它的单位抽样响应是非因果、 无限长的），再截取（或加窗）它的单位抽样响应得到线性相位因果FIR 滤 波器。这种方法的重点是选择一个合适的窗函数和理想滤波器。 例 1：

15、设截止频率为 c w的理想 FIR 低通滤波器，其理想频响是 )( jw d eH ww wwe c c wj ,0 ,1 ，其中称为采样延 时。对应的)(nhd由下式求出： 注意：)(nhd关于对称，这对设计线性相位的FIR DF 很重要。 为了从)(nhd 中得到FIR 滤波器，可以对 )(nhd 进行截取，如果要得到 一个线性相位、因果的FIR 滤波器，则设截取后得到的h(n)的长度为M ， h(n)一定满足 这种操作称为“加窗” 。h(n)可看作是)(nhd和)(nw的乘积 )()()(nwnhnh d 其中 根据)(nw的不同定义，可得到不同的窗函数。在上例中 称为矩形窗。 在频域中

16、，因果 FIR 滤波器响应)( jw eH由)( jw d eH和窗响应)( jw eW的 周期卷积得到。即)( jw eH)()( jwjw d eWeH。矩形窗的窗谱 )( jw eW 2 1 1 0)2/sin( )2/sin( 1 1 )( N jw jw jwN N n jwn n jwn N e w wN e e eenR，它的幅度函 数为 )2/sin( )2/sin( )( w wM wW。当w很小时， 2/ )2/sin( 2/ )2/sin( )( wN wN N w wN wW， 这是一个sinc函数，每隔N/2 正负交替一次。 由卷积定义得到 )( jw eHdeWeH

17、 wjj d )()( 2 1)( c c c c w w N jw w w N wj N j dwWe d w Nw ee )( 2 1 2/)sin( 2/)sin( 2 1 2 1 2 1 )( 2 1 卷积结果如图7-8 所示。 比较加矩形窗后的低通频谱和理想低通频谱可得到以下结论： 加窗使过渡带变宽，过渡带的带宽取决于窗谱的主瓣宽度。矩形窗情况 下的过渡带宽是N/4。N 越大，过渡带越窄、越陡； 过渡带两旁产生肩峰，肩峰的两侧形成起伏振荡。肩峰幅度取决于窗谱 主瓣和旁瓣面积之比。矩形窗情况下是8.95，与 N 无关。 工程上习惯用相对衰耗来描述滤波器，相对衰耗定义为 )0(/)(lg

18、20)(/)(lg20)( 0 HwHeHeHwA jjw 这样两个肩峰点的相对衰耗分别是0.74dB 和 -21dB。其中（-0.0895）对应的 点的值定义为阻带最小衰耗。 以上的分析可见，滤波器的各种重要指标都是由窗函数决定，因此改进 滤波器的关键在于改进窗函数。 窗函数谱的两个最重要的指标是：主瓣宽度和旁瓣峰值衰耗。旁瓣峰值 衰耗定义为： 旁瓣峰值衰耗20lg(第一旁瓣峰值主瓣峰值) 为了改善滤波器的性能，需使窗函数谱满足： 主瓣尽可能窄，以使设计出来的滤波器有较陡的过渡带； 第一副瓣面积相对主瓣面积尽可能小，即能量尽可能集中在主瓣，外泄 少，使设计出来的滤波器的肩峰和余振小。 但上面

19、两个条件是相互矛盾的，实际应用中，折衷处理，兼顾各项指标。 2.2 几种常用的窗口函数 1 矩形窗 )()(nRnw N 2 三角窗 1 2 1 1 2 2 2 1 0 1 2 )( Nn N N n N n N n nw 它是由两个长度为N2 的矩形窗进行线性卷积而得到。 3 汉宁（ hanning）窗，也称升余弦窗 10 1 2 cos1 2 1 )(Nn N n nw 它的思路是：通过矩形窗谱的合理叠加减小旁瓣面积。上式可写成 )( 2 1 2 1 )( 2 1 )( 1 2 1 2 nReenRnw N N n j N n j N 对应的频谱为 )(25.0)(25. 0)(5.0)(

20、 ) 1 2 () 1 2 ( N wj R N wj R jw R jw eWeWeWeW 式中)( jw R eW是矩形窗谱。当N 较大时， 1 2 N 近似等于 N 2 ，这样 )( jw eW可看作是三个不同位置矩形窗谱的叠加。叠加付出的代价是主瓣增 宽一倍，得到的好处是旁瓣峰值衰耗由-13dB 增加到 -31dB。 4 海明（ hamming）窗 10) 1 2 cos(46.054.0)(Nn N n nw 海明窗是海宁窗的修正，系数稍作变动使叠加后效果更好。 5 布莱克曼（ Blackman ）窗 10) 1 4 cos(08.0) 1 2 cos(5.042.0)(Nn N n

21、 N n nw 是 5 个矩形窗谱的叠加。 6 凯塞（ Kaiser）窗 10)(/ )1 1 2 (1)( 0 2 0 NnI N n Inw 相关参数见书上的表。 2.3 窗口法的设计步骤和实例 窗口法的基本思想：根据给定的滤波器技术指标，选择滤波器长度N 和窗函数)(nw，使其具有最窄宽度的主瓣和最小的旁瓣。 窗口法的设计步骤： 给定理想频响函数 )( jw d eH； 根据指标选择窗函数。确定窗函数类型的主要依据是过度带宽和阻带最 小衰耗的指标； 由)( jw d eH求)(nhd ，加窗得)()()(nwnhnh d 检验。由)(nh求)( jw eH，求)( jw eH是否在误差容

22、限之内。 例 1：书上 354例 7-1 例 2：用窗口法设计一个满足下列指标的线性相位低通FIR 滤波器： dBRw pp 25. 0,2.0（通带波动） （ p w为通带截止频率） dBAw ss 50,3. 0（阻带最小衰减） 解：海明窗和布莱克曼窗均可提供大于50dB 的衰减。选择海明窗，因为过 渡带窄些，从而具有较小的阶数。 （1）给定理想频响)( jw d eH 设 ww wwe eH c c jw jw d ,0 , )(， 根 据 已 知 的 条 件 可 近 似 出 25.02/)( spc www。 因此 )( )(sin )( n nw nh c d ，要使设计的FIR 滤

23、波器为线性相位， 则为 2 1N 。 （2）确定窗的形状，根据过渡带宽确定N 选 择 海 明 窗 ， 其 阻 带 最 小 衰 减 为 -53dB 。 所 要 求 的 过 渡 带 宽 1 .0 ps www。 海明窗过渡带宽满足 N w 6.6 ， 得出N66。 2 1N 32.5 （3）确定 FIR 滤波器的h(n) )() 65 2 cos(46.054.0 )5.32( )5.32(3.0sin )()()(nR n n n nwnhnh Nd 时域和频域的图形如下： 2.4 线性相位FIR 高通、带通、带阻滤波器的设 计 P355359 自学 3. 频率抽样设计法 总结窗函数法： （1）

24、从 时 域 角 度 出 发 ， 用)(nh来 近 似)(nhd， 从 而)( jw eH逼 近 )( jw d eH。 （2）)(nh有限长，)(nhd无限长，存在截取，用什么样的窗来截取会有 不同的过渡带、阻带最小衰减。相对而言，三角形窗、海明窗、汉 宁窗效果比矩形窗好，因为它们在边缘处不是陡然下降的。 目的：设计FIR DF，只要能求出)( jw eH或)(zH或)(nh即可。注意：所 设计的滤波器的两个重要指标：过渡带带宽和阻带最小衰减。 已知：理想DF 特性)( jw d eH。 思路： (a) )( jw d eH)(nhd)(nh)( jw eH(窗函数法 ) (b) )( jw

25、d eH)(kHd)(kH)( jw eH(频率抽样法 ) 步骤： （1）)(|)( 2 kHeH d N k w jw d ；给定理想频响)( jw d eH （2）令)(kH)(kH d ，)(kH为实际 FIR DF 的)( jw eH的抽样值，即 )(kH)(kH d N k w jw d eH 2 |)( ，k=0，1，N-1（确定采样点 数，对理想频响采样得H(k) ） ； （3）已知)(kH求)(zH或)( jw eH，用内插公式得到FIR 系统函数 根据 IDFT 有 1 0 )( 1 )( N k nk N WkH N nh， 对于 FIR 系统，有 1 0 )()( N n

26、 n znhzH，结合两式得： 1 0 1 1 )(1 )( N k k N N zW kH N z zH（） 从上式可看出： 当采样点数N 已知后， k N W便是常数， 只要采样值 )(kH确 定，则系统函数)(zH就可确定，要求的FIR 滤波器就设计出来了。上式形 式的 FIR 滤波器很容易以频率采样型结构实现。 频率采样法的步骤可归纳为： （1）给定理想频响)( jw d eH； （2）确定采样点数，对理想频响采样得)(kH； （3）代入（）式中，即得FIR 系统函数。 下面讨论频率采样法设计出来的FIR DF 的性能。 3.1 线性相位FIR DF 的约束条件 若 )( 2 |)()

27、( kj k k N w jw d eHeHkH ，其中 k H、)(k分别是对幅度 函数)(wH和相位函数)(w的第k个抽样。 因为)(nh是实数，所以)(kH一定满足共轭偶对称式（3-59） ： )()(kNk HH kNk （ 1） 又因为线性性，)(nh满足对称性， 所以对一般滤波用的第1、2 类 FIR 滤波 器，必须满足条件： N Nk w N k k N w ) 1( | 2 1 )( 2 （2） 对于正交网络、微分器（第3、4 类 FIR 滤波器，必须满足条件： N Nk w N k k N w )1( 2 | 2 1 2 )( 2 （3） 综合以上条件，只有当)(kH满足式（

28、 1） ，)(k满足式（ 2） 、 （3）之一时， 才有线性相位。如果理想频响 )( jw d eH给得不好或采样点位置安排得不恰 当，都将得不到线性相位。只有当 )( jw d eH满足上面的约束条件时，对0， 区间上抽取一半频率样点，而其余的一半根据约束条件强行推出。 3.2 FIR DF 的频率响应 根据设计出来的)(zH，可得出频响 )( jw eH 1 0 /2 1 )(1 N k jwNkj jwN ee kH N e 1 0 ) 2 1 )( 2 ( ) 2 ( 2 1 sin ) 2 ( 2 sin 1 )( N k N k N wj e k N w k N w N N kH

29、1 0 ) 2 ()( N k k N wkH 其中：) 2 (k N w ) 2 1 )( 2 ( ) 2 ( 2 1 sin ) 2 ( 2 sin 1 N k N wj e k N w k N w N N 。上式是由离 散谱求连续谱的内插公式，)(w是内插函数，它的图形近似sinc. 。滤波 器频谱)( jw eH等于以理想谱抽样值)(kH为权值的、以k N 2 为中心位置的 N 个 sinc. 函数之和。由采样点恢复出来的谱)( jw eH与理想谱)( jw d eH相 比，在采样点上是完全吻合的，这是由sinc. 函数特点决定的，它在k N 2 （0k）处的幅度都是零，一个样点扥诶插

30、函数对其它样点的值没有任何 干扰。但在两样点之间，)( jw eH的值是各样点的内插函数在该处值的叠加， 与)( jw d eH相比可能有误差。采样点之间频谱误差的大小与样点的疏密有 关，更与相邻两个样点值变化的大小有关。理想频谱曲线越光滑平坦，样值 变化越小，则误差越小；采样点越密，相当于相邻样值的变化越小，误差越 小。如果理想频响曲线变化剧烈，甚至有不连续点，则内插所恢复的值与理 想值的误差就很大，在不连续点旁边就会出现由sinc. 函数造成的肩峰和振 荡，这和窗口法是一样的。 3.3 改善滤波器性能的措施 如果给出的理想低通滤波器在通带的频谱)( jw d eH等于 1 而阻带为0， 则

31、不论样点N 取得如何密，在临界频率处总有两个幅度突变的样点，它们 之间的落差为1。于是阻带边缘产生反冲和阻尼振荡，其最大幅度取决于 sinc. 函数，是个固定的值。这样设计出来的滤波器的阻带最小衰耗固定为 -20dB，与矩形窗一样。 增加采样点数N 不能改善阻带最小衰耗。改善阻带衰耗的唯一办法是 加宽过渡带 。具体方法是： 在通、阻带交界处人为地安排一到几个过渡 点，其值介于零和1 之间，这样可减小样点间的落差，使过渡平缓，反 冲减小，阻带最小衰耗增大。经验表明：每多加一个过渡点，过渡带宽 增加N/2，最优情况下阻带衰耗可增大2030dB。 兼顾过渡带宽和阻带最小衰减。增加采样点， 同时在通、

32、 阻带交界处安 排过渡点。 频率采样法特别适用于设计窄带选频滤波器。 （回顾窄带选频滤波器的 特点）因为这时只有少数几个非零值的)(kH，计算量大为降低。但由 于频率抽样点的分布必须符合一定规律，在规定通、 阻带截止频率方面 不够灵活。比如当截止频率 c w不是N/2整数倍时会产生较大逼近误 差，因而该方法的应用不及窗口法普遍。 其中： 1,.,1),( 0,0 )()( * /2 NkkNH k eHkH Nkj （画出在单位 圆上的采样可知） )( jw eH 1 0 ) 2 ()( N k k N wkH ) 2 (k N w ) 2 1 )( 2 ( ) 2 ( 2 1 sin ) 2

33、 ( 2 sin 1 N k N wj e k N w k N w N N （P113 式 3-93， 3-95） 得 )( jw eH 1 0 1 2 1 ) 2 ( 2 1 sin ) 2 ( 2 sin 1 )( N k k N N jw N j k N w k N w N ee N kH ， 式中 k N N jw N j ee 1 2 1 只与相位有关， ) 2 ( 2 1 sin ) 2 ( 2 sin k N w k N w N 与幅度有关。 下面 画出 ) 2 ( 2 1 sin ) 2 ( 2 sin k N w k N w N 的图形。因为对k 求和，所以共有N 项 sin

34、() sin() ，分 别为： 2 1 sin 2 sin w w N ， ) 2 ( 2 1 sin ) 2 ( 2 sin N w N w N ， 。 。 。 ， )1( 2 ( 2 1 sin )1( 2 ( 2 sin N N w N N w N 。 在k N 2 点上，只有一个抽样值，即在抽样点上， )( jw eH在k N w 2 上就 等于)(kH，在两个抽样点的频率之间的值为各抽样函数的加权值。 对)( jw d eH的一个周期进行抽样，抽样点间间隔为 N 2 ，因为具有对称性， 所以考虑半个周期0即可。 结论：用)( jw d eH)(kH d )(kH)( jw eH，)(

35、 jw eH在k N w 2 上与)( jw d eH在k N w 2 上一样，在其他w值处的值是N 个抽样函数的 加权叠加而成。 线性相位：（只要是FIR DF ，就容易设计成相位线性） 对于线性相位滤波器，有 1,.,1 ,0),1()(NnnNhnh 其中正号对应1 型 2 型，负号对应3 型 4 型滤波器。这样)(kH可表示成 )(kH )( ) 2 ( kHj r e N k H （1）NnNhnh),1()(为奇数，则 )( jw eH w N j ewH 2 1 )( ，其中)(wH关于w对称，即)(wH )2(wH，令k N w 2 时有 )( jw eH kk j k j k

36、 N j eHek N HeH) 2 ()( 2 )(wH)2(wH kNk HHkN N Hk N Hk N H)( 2 ) 2 2() 2 ( （2）NnNhnh),1()(为偶数，则)(wH )2(wH kNk HH 最后可计算)()(kHIDFTnh。从而得出H(z)或)( jw eH。也可以根据对 称性对内插公式进行化简得出H(z) 或)( jw eH的计算公式。如书上（7-111） 式和（ 7-112）式。 频率抽样设计法的基本思想：给定理想滤波器)( jw d eH，先选择滤波器长 度 N，然后对)( jw d eH在 0 到 2上的 N 个等间隔频率上采样，根据式子 )( jw

37、 eH 1 0 /2 1 )(1 N k jwNkj jwN ee kH N e ，通过对样本)(kH的内插， 得到实 际响应)( jw eH。 脉冲响应h(n)可根据)()(kHIDFTnh得出。如图所示： 图：频率采样技术图解 从上图可以看出： 在采样频率上的逼近误差为零，即在采样点上， 理想滤波器和实际滤波 器的相应幅度值一样； 其余频率上的逼近误差取决于理想响应的形状：理想响应的轮廓越陡， 则逼近误差越大； 靠近带的边缘的误差越大，在带内的误差越小。 例 1： 用频率抽样设计法设计一个满足下列指标的线性相位低通FIR 滤波器： dBRw pp 25. 0,2.0（通带波动） （ p w

38、为通带截止频率） dBAw ss 50,3. 0（阻带最小衰减） 解：选择抽样点数为N=20。则在 p w、 s w处分别有一个抽样样本，对应的 3, 2 kk。即2 20 2 2.0 p w，3 20 2 3 .0 s w。 因此在通带 p ww0上有 3 个样本点，在阻带wws 上有 7 个样本点。 因为 N=20，5.9 2 1N ，这是一个2 型线性相位滤波器。 例 2：设计一个线性相位FIR 数字低通滤波器，5.0 c w （1）取 N 33，不加过渡点； （2）取 N 33，加一个过渡点； （3）取 N 65，加二个过渡点。 解 ：（ 1 ） 采 样 频 率 间 隔 为33/2/2

39、N， c w的 位 置 在 25.8)33/2/(5 .0，即8k和9k之间，其对称点位置是)(kN， 即24)933(k和25)833(k之间。对理想低通采样，可得 249, 0 80, 1 k k Hk 和 160, 33 32)1( )(kk N Nk k 利用共轭对称性，可得3217k点的采样值。以上数据可综合成 3225, 249,0 80, )( 33 32 33 32 ke k ke kH kj kj 代入式)( jw eH 1 0 ) 2 ()( N k k N wkH 中，可得)( jw eH。见图。 （2）加一个过渡点 3225, 24,5.0 2310,0 9,5.0 8

40、0, )( 33 32 33 32 33 32 33 32 ke ke k ke ke kH kj kj kj kj 代入计算)( jw eH的式中，可得)( jw eH。见图。 （3）取 N65 点， c w应在25.16)65/2/(5 .0，即16k和17k之 间，其对称点为48、49。 3219,0 18,1065.0 17,5886.0 160, )( 65 64 65 64 65 64 k ke ke ke kH kj kj kj 以上列出一半点，另一半点模相等，幅角相反。代入计算 )( jw eH的式中， 可得)( jw eH。见图。 三种情况下过渡带宽分别为：, 65 8 ,

41、33 6 , 33 4 最小阻带衰耗分别为：20dB， 40dB，60dB。滤波器阶数分别为：33 阶， 33 阶， 65 阶。 结论：由此例可见，同时采取增大N 和增多过渡点是有效的。 例 3：用频率抽样法设计一个理想带通滤波器，其通带频率为500-600Hz ， 采样频率是 Hzfs3300，频域采样点数N 为 33。 解：先计算通带的数字频率和序号： 33 12 3300/6002/2 33 10 3300/5002/2 22 11 s s ffw ffw 频 率 样 点 间 隔 是 33 2 ， 所 以 通 带 的 样 点 序 号k是5) 33 2 /( 1 w至 6) 33 2 /( 2 w，其对称点位置是28,27 kk。 比较 IIR 和 FIR 的优缺点： IIR ：1）可利用成熟的AF 理论； 2）相同的指标下，实现采用的滤波器的阶次较低 3）要么有混叠现象（使幅度特性难于满足要求），要么有相位的非线 性（在现代数字系统中，数据传输、图像处理等都要求线性相位） FIR：1）幅度特性可以随意设计； 2）可有严格的线性相位特性； 3）h(n)为有限长，不存在稳定性问题； 4）可借助FFT 来实现； 5）实现采用的滤波器的阶次较高，因为多采用非递归结构。