2014年广一模理科数学试卷及答案.pdf

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1、试卷类型： A 2014 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（理科） 2014.3 本试卷共4 页， 21 小题，满分 150 分考试用时120 分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的 市、县 / 区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷 类型（ A）填涂在答题卡相应位置上。 2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各

2、题目指定区域内的相应位 置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上 要求作答的答案无效。 4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答 案无效。 5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式： 锥体的体积公式ShV 3 1 ，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高 2222 121 123 6 n nn n * nN 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1已知i是虚数单位，若 2 i34im，则实数m的值为

3、A 2 B 2 C2D2 2在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 2CB，则 c b 为 A2sin CB2cosBC2sin BD2cosC 3圆 22 121xy关于直线yx对称的圆的方程为 A 22 211xyB 22 121xy C 22 211xy D 22 121xy 4若函数 2 1fxxax的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为 A2,2B, 22,C, 22,D2,2 5某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制频率 /组距 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 成如图 1 的频率分布直方图样本数据分组为50,60， 60,

4、70，70,80，80,90，90,100若用分层抽 样的方法从样本中抽取分数在 80,100 范围内的数据16 个， 则其中分数在90,100范围内的样本数据有 A5 个B 6 个C8 个D 10 个 6已知集合 3 2 Ax x x ZZ且，则集合A中的元素个数为 A2 B3 C4 D5 7设a，b是两个非零向量，则使a b= a b成立的一个必要非充分条件是 AabBabCab0Dab 8设a，b，m为整数（0m） ，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为 modabm若 01222020 20202020 CC2C2C2a，mod10ab，则b的值可以是 A2011 B

5、2012 C2013 D2014 二、填空题：本大题共7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分 30 分 （一）必做题（913 题） 9若不等式1xa的解集为13xx，则实数a的值为 10执行如图2 的程序框图，若输出7S，则输入k * kN的值为 11一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图3 所示，则这个四棱锥的体积是 12设为锐角，若 3 cos 65 ，则sin 12 1 1 正（主）视图侧（左）视图 图 3 俯视图 4 5 2 2 图 2 开始 结束 输入k 否 是 输出S 1nn ?nk 0,0nS logyx 1 2 n SS 13在数列 n a中，已知 1 1a， 1 1 1

6、 n n a a ，记 n S为数列 n a的前n项和，则 2014 S （二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题） 14 （坐标系与参数方程选做题） 在 极 坐 标 系 中 ， 直 线sincosa与 曲 线2 cos4 sin相 交 于A，B两 点 ， 若 AB2 3，则实数a的值为 15 （几何证明选讲选做题） 如图 4，PC是圆O的切线，切点为C，直线 PA与圆O交于 A，B两点， APC的平分线分别交弦CA，CB于D，E 两点，已知3PC，2PB，则 PE PD 的值为 三、解答题：本大题共6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16 （本小题满分12分）

7、 已知函数( )sincosf xxax的图象经过点 0 3 ， （1）求实数a的值； （2）设 2 ( )( )2g xf x，求函数( )g x的最小正周期与单调递增区间 17 （本小题满分12分） 甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是 2 5 ，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是 6 25 ，乙，丙两人同时能被聘用的概率是 3 10 ，且三人各自能否被聘用相互独立 （1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率； （2）设表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求的分布列 与均值（数学期望） 18 （本小题满分14分） 如图 5，在棱长为a的正方体 1111

8、 ABCDA BC D中，点E是棱 1 D D的 中点，点F在棱 1 B B上，且满足 1 2B FFB （1）求证： 11 EFAC； P E A B C D 图 4 O C 1 C 1 D A B D E F 1 A 1 B 图 5 （2）在棱 1 C C上确定一点G， 使A，E，G，F四点共面，并求 此时 1 C G的长； （3）求平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值 19 （本小题满分14分） 已知等差数列 n a的首项为10，公差为2，等比数列 n b的首项为1，公比为 2， * nN （1）求数列 n a与 n b的通项公式； （2）设第n个正方形的边长为min, nnn c

9、a b，求前n个正方形的面积之和 n S （注：min,a b表示a与b的最小值） 20 （本小题满分14分） 已知双曲线E： 22 2 10 4 xy a a 的中心为原点O，左，右焦点分别为 1 F， 2 F，离心率为 3 5 5 ， 点P是直线 2 3 a x上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足 22 0PF QF （1）求实数a的值； （ 2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值； （3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同两点M，N，在线段MN上取 异于点M，N的点H，满足 PMMH PNHN ，证明点H恒在一条定直线上 21 （本小题满分14分） 已知函数

10、2 21 e x fxxx（其中e为自然对数的底数） （1）求函数( )f x的单调区间； （2） 定义：若函数h x在区间, s tst上的取值范围为, s t，则称区间, s t为函数h x的 “域 同区间”试问函数( )f x在 1, 上是否存在 “域同区间” ？若存在，求出所有符合条件的“域 同区间”；若不存在，请说明理由 数学（理科）试题参考答案及评分标准第 1 页 共 13 页 2014 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准 说明： 1参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据 试题主要考查的知识点和能力比

11、照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共8 小题，每小题，满分40 分 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A B A D B C D A 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性共7 小题，每小题，满分30 分其中 1415

12、题是选做题，考生只能选做一题 题号9 10 11 12 13 14 15 答案2 3 4 2 10 2011 2 1或 5 2 3 三、解答题：本大题共6小题，满分 80分 16 （本小题满分1） （本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、 同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知 识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） 解： （ 1）因为函数( )sincosf xxax的图象经过点 0 3 ，所以0 3 f 即 sincos0 33 a 即 3 0 22 a 解得 3a 数学（理科）试题参考答案及评分标准第 2 页 共 13 页 （2） 方法 1：由（ 1）得( )

13、sin3cosf xxx 所以 2 ( )( )2g xf x 2 sin3cos2xx 22 sin2 3sincos3cos2xxxx 3sin 2cos2xx 31 2sin2cos2 22 xx 2 sin2 coscos2 sin 66 xx 2sin2 6 x 所以( )g x的最小正周期为 2 2 因为函数sinyx的单调递增区间为2,2 22 kkkZ， 所以当 2 22 262 kxkkZ时，函数( )g x单调递增， 即 36 kxkkZ时，函数( )g x单调递增 所以函数( )g x的单调递增区间为 , 36 kkkZ 方法 2：由（ 1）得( )sin3cosf xx

14、x 2 sincoscossin 33 xx 2sin 3 x 所以 2 ( )( )2g xf x 2 2sin2 3 x 2 4sin2 3 x 数学（理科）试题参考答案及评分标准第 3 页 共 13 页 2 2cos 2 3 x 分 所以函数( )g x的最小正周期为 2 2 分 因为函数cosyx的单调递减区间为2,2kkkZ， 所以当 2 222 3 kxkkZ时，函数( )g x单调递增 即 36 kxk（kZ）时，函数( )g x单调递增 所以函数( )g x的单调递增区间为 , 36 kkkZ 17 （本小题满分1） （本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值

15、（数学期望）等知识，考查或然与必 然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） 解： （ 1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为 1 A， 2 A， 3 A， 由已知 1 A， 2 A， 3 A相互独立，且满足 1 13 23 2 , 5 6 11, 25 3 . 10 P A P AP A P AP A 解得 2 1 2 P A， 3 3 5 P A 所以乙，丙各自能被聘用的概率分别为 1 2 ， 3 5 （2）的可能取值为1， 3 因为 123123 3PP A A AP A A A 123123 111P AP AP AP AP AP A 213312 525525 6

16、 25 所以113PP 619 1 2525 数学（理科）试题参考答案及评分标准第 4 页 共 13 页 所以的分布列为 所以 19637 13 252525 E 18 （本小题满分1） （本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结 合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） 推理论证法： （1） 证明： 连结 11 B D，BD， 因为四边形 1111 AB C D是正方形，所以 1111 ACB D 在正方体 1111 ABCDA BC D中， 1 DD平面 1111 A BC D， 11 AC平面 1111

17、 ABC D，所以 111 ACDD 因为 1111 B DDDD， 11 B D， 1 DD平面 11 BB D D， 所以 11 AC平面 11 BB D D 因为EF平面 11 BB D D，所以 11 EFAC （2） 解： 取 1 C C的中点H，连结BH，则BHAE 在平面 11 BBC C中，过点F作FGBH，则FGAE 连结EG，则A，E，G，F四点共面 因为 1 11 22 CHC Ca， 1 11 33 HGBFC Ca， 所以 1 C G 1 1 6 C CCHHGa 故当 1 C G 1 6 a时，A，E，G，F四点共面 （3）延长EF，DB，设EFDBM，连结AM，

18、13 P 19 25 6 25 1 D A B CD E F 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D E F 1 A 1 B 1 C G H 数学（理科）试题参考答案及评分标准第 5 页 共 13 页 则AM是平面AEF与平面ABCD的交线 过点B作BNAM，垂足为N，连结FN， 因为FBAM，FBBNB， 所以AM平面BNF 因为FN平面BNF，所以AMFN 所以FNB为平面AEF与平面ABCD所成 二面角的平面角 因为 1 2 3 1 3 2 a MBBF MDDE a ， 即 2 3 2 MB MBa ， 所以2 2MBa 在ABM中，ABa，135ABM， 所以 222 2co

19、s135AMABMBABMB 2 22 2 222 2 2 aaaa 2 13a即13AMa 因为 11 sin135 22 AMBNABMB ， 所以 2 2 2 sin1352 13 2 13 13 aa ABMB BNa AM a 所以 2 2 22 12 137 13 31339 FNBFBNaaa 所以 6 cos 7 BN FNB FN 故平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值为 6 7 空间向量法： （1） 证明： 以点D为坐标原点，DA，DC， 1 DD所在的直线 分别为x轴，y轴， z轴，建立如图的空间直角坐标系， 则,0,0A a， 1 ,0,A aa， 1 0, ,C

20、a a， 1 D A B C D E F 1 A 1 B 1 C M N 1 D A B C D E F 1 A 1 B 1 C x y z 数学（理科）试题参考答案及评分标准第 6 页 共 13 页 1 0,0, 2 Ea ， 1 , , 3 Fa aa ， 所以 11 , ,0ACa a ， 1 , , 6 EFa aa 因为 22 11 00AC EFaa， 所以 11 ACEF 所以 11 EFAC （2） 解： 设0, ,Ga h，因为平面 11 ADD A平面 11 BCC B， 平面 11 ADD A平面AEGFAE，平面 11 BCC B平面AEGFFG， 所以FGAE （苏元

21、高考吧： 广东省数学教师QQ群：179818939） 所以存在实数，使得FGAE 因为 1 ,0, 2 AEaa ， 1 ,0, 3 FGaha ， 所以 11 ,0,0, 32 ahaaa 所以1， 5 6 ha 所以 1 C G 1 51 66 CCCGaaa 故当 1 C G 1 6 a时，A，E，G，F四点共面 （3） 解： 由（ 1）知 1 ,0, 2 AEaa ， 1 0, , 3 AFaa 设, ,x y zn是平面AEF的法向量， 则 0, 0. AE AF n n 即 1 0, 2 1 0. 3 axaz ayaz 数学（理科）试题参考答案及评分标准第 7 页 共 13 页

22、取6z，则3x，2y 所以3, 2,6n是平面AEF的一个法向量 而 1 0,0,DDa是平面 ABCD的一个法向量， 设平面AEF与平面ABCD所成的二面角为， 则 1 1 cos DD DD n n ,1 2 22 03026 6 7 326 a a 故平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值为 6 7 第（ 1） 、 （2）问用推理论证法，第（3）问用空间向量法： （1） 、 （2）给分同推理论证法 （3） 解： 以点D为坐标原点，DA，DC， 1 DD所在的直线 分别为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系， 则,0,0A a， 1 0,0, 2 Ea ， 1 , , 3 Fa

23、aa ， 则 1 ,0, 2 AEaa ， 1 0, , 3 AFaa 设, ,x y zn是平面AEF的法向量， 则 0, 0. AE AF n n 即 1 0, 2 1 0. 3 axaz ayaz 取6z，则3x，2y 所以3, 2,6n是平面AEF的一个法向量 而 1 0,0,DDa 是平面ABCD的一个法向量， 设平面AEF与平面ABCD所成的二面角为， 则 1 1 cos DD DD n n ,1 1 D A B C D E F 1 A 1 B 1 C x y z 数学（理科）试题参考答案及评分标准第 8 页 共 13 页 2 22 03026 6 7 326 a a 故平面AEF

24、与平面ABCD所成二面角的余弦值为 6 7 19 （本小题满分1） （本小题主要考查等差数列、等比数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求 解能力和创新意识） 解： （ 1）因为等差数列 n a的首项为10，公差为2， 所以1012 n an， 即28 n an 因为等比数列 n b的首项为1，公比为2， 所以 1 1 2 n n b， 即 1 2 n n b （2）因为 1 10a， 2 12a， 3 14a， 4 16a， 5 18a， 6 20a， 1 1b， 2 2b， 3 4b， 4 8b， 5 16b， 6 32b 易知当5n时， nn ab 下面证明当6n时

25、，不等式 nn ba成立 方法 1： 当6n时， 6 1 6 232b 6 202 68a，不等式显然成立 假设当nk6k时，不等式成立，即 1 228 k k 则有 1 2222 2821826218 kk kkkk 这说明当1nk时，不等式也成立 综合可知，不等式对6n的所有整数都成立 所以当6n时， nn ba 方法 2：因为当6n时 1 1 2281128 n n nn bann 数学（理科）试题参考答案及评分标准第 9 页 共 13 页 0121 1111 CCCC28 n nnnn n 012321 111111 CCCCCC28 nnn nnnnnn n 012 111 2 CC

26、C28 nnn n 2 36460nnn nn， 所以当6n时， nn ba 所以min, nnn ca b 1 2,5, 28,5. n n nn 则 22 2 2 2,5, 44,5. n n n c nn 当5n时， 2222 123nn Scccc 2222 123n bbbb 02422 2222 n 14 14 n 1 41 3 n 当5n时， 2222 123nn Scccc 222222 12567n bbbaaa 5 1 41 3 222 464744n 222 3 4 14678671 65nnn 222222 3 4 14121253 2 676 45nnn 12165

27、3 4 145 53 26 45 62 n nnnn n 32 4242 18679 33 nnn 数学（理科）试题参考答案及评分标准第 10 页 共 13 页 综上可知， n S 32 1 41 ,5, 3 4242 18679,5. 33 n n nnnn 20 （本小题满分1） （本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归 与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1） 解： 设双曲线E的半焦距为c， 由题意可得 22 3 5 , 5 4. c a ca 解得5a （2） 证明： 由（ 1）可知，直线 2 5 3

28、3 a x，点 2 3,0F设点 5 , 3 Pt, 00 ,Q xy， 因为 22 0PF QF，所以 00 5 3,3,0 3 txy 所以 00 4 3 3 tyx 因为点 00 ,Q xy在双曲线E上，所以 22 00 1 54 xy ，即 22 00 4 5 5 yx 所以 2 0000 2 0 000 55 33 PQOQ ytyyty kk x xxx 2 00 2 00 44 53 4 53 5 5 3 xx xx 所以直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值 4 5 （ 3） 证法1： 设点,Hx y，且过点 5 ,1 3 P 的直线l与双曲线E的右支交于不同两点 11 ,Mxy，

29、 22 ,N xy，则 22 11 4520xy， 22 22 4520xy，即 22 11 4 5 5 yx， 22 22 4 5 5 yx 数学（理科）试题参考答案及评分标准第 11 页 共 13 页 设 PMMH PNHN ，则 , . PMPN MHHN 即 1122 1122 55 ,1,1 , 33 ,. xyxy xxyyxx yy 整理，得 12 12 12 12 5 1, 3 1, 1, 1. xx yy xxx yyy 由，得 2222 12 2222 12 5 1, 3 1. xxx yyy 将 22 11 4 5 5 yx， 22 22 4 5 5 yx代入， 得 22

30、2 12 2 4 4 51 xx y 将代入，得 4 4 3 yx 所以点H恒在定直线43120xy上 证法 2：依题意，直线l的斜率k存在 设直线l的方程为 5 1 3 yk x ， 由 22 5 1, 3 1. 54 yk x xy 消去y得 2222 9 4530 5325 5690kxkk xkk 因为直线l与双曲线E的右支交于不同两点 11 ,Mxy， 22 ,N xy， 数学（理科）试题参考答案及评分标准第 12 页 共 13 页 则有 2 222 2 12 2 2 12 2 900 53900 455690, 30 53 , 9 54 25 569 . 9 54 kkkkk kk

31、 xx k kk x x k 设点 ,H x y ， 由 PMMH PNHN ，得 1 1 21 2 5 3 5 3 x xx xx x 整理得 1212 635100x xxxxx1 将代入上式得 22 22 150 56930 3553 100 9 549 54 kkxkk x kk 整理得354150xkx 因为点H在直线l上，所以 5 1 3 ykx 联立消去k得43120xy 所以点H恒在定直线43120xy上 （本题（ 3）只要求证明点H恒在定直线43120xy上，无需求出x或y的范围） 21 （本小题满分1） （本小题主要考查函数的单调性、函数的导数、函数的零点等知识，考查数形结

32、合、化归与转化、分类与 讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识） 解： （1）因为 2 21 e x fxxx ， （苏元高考吧： ） 所以 2 ( )(22)e(21)e xx fxxxx 2 1 e x x (1)(1)e x xx 当1x或1x时，0fx，即函数( )fx的单调递增区间为, 1和1, 当11x时，0fx，即函数( )f x的单调递减区间为1,1 所以函数( )f x的单调递增区间为, 1和1,，单调递减区间为1,1 数学（理科）试题参考答案及评分标准第 13 页 共 13 页 （2）假设函数( )f x在1,上存在“域同区间” , (1)s tst，

33、 由（ 1）知函数( )f x在1,上是增函数， 所以 ( ), ( ). f ss f tt 即 2 2 (1)e, (1)e. s t ss tt 也就是方程 2 (1) e x xx有两个大于1 的相异实根 设 2 ( )(1) e(1) x g xxx x，则 2 ( )(1)e1 x g xx 设h x 2 ( )(1)e1 x g xx，则 2 21 e x hxxx 因为在(1,)上有0h x，所以h x在1,上单调递增 因为110h， 2 23e10h， 即存在唯一的 0 1,2x ，使得 0 0h x 当 0 1,xx时，0h xgx，即函数( )g x在 0 1,x上是减函数； 当 0, xx 时，0h xgx，即函数( )g x在 0, x上是增函数 因为110g， 0 ()(1)0g xg， 2 (2)e20g， 所以函数( )g x在区间1,上只有一个零点 这与方程 2 (1) e x xx有两个大于1 的相异实根相矛盾，所以假设不成立 所以函数( )f x在 1, 上不存在“域同区间”