二次型及应用 毕业论文.doc

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1、绥化学院 本科毕业设计（论文） 二次型及应用二次型及应用 学生姓名： 学 号： 年 级： 指导教师： Suihua University Graduation Paper Quadratic Form and Its Applications Student name Student number Major Supervising teacher Suihua University 摘 要 II 二次型是线性代数的重要内容之一，二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线 方程和二次曲面方程化为标准形问题首先，介绍了二次型的基本理论，然后研究了 二次型的应用，包括在多元函数极值、线性最小二乘法、证

2、明不等式以及二次曲线中 的应用一些矩阵的问题可以转化为二次型，用二次型的方式去解决，方便而快速 关键词：二次型；标准型；矩阵；应用 Abstract III Quadratic form is one of the import contents in linear algebra, which originated from problem of put quadratic curve equation and quadric equation into standard form in analytic geometry. Firstly, the paper introduces bas

3、ic theories. Secondly, the paper studies applications of quadratic form, including extremum problems of multi-variable functions, linear least square method, proving inequality and quadratic curve. Some problem can be converted into quadratic form to solve, which is convenient and fast. Key words: q

4、uadratic form; standard form; matrix; applications 目 录 摘 要.I IV Abstract.II 第 1 章 二次型的基本理论.1 第 1 节 二次型的概念及相关定义.2 第 2 节 替换后的二次型与原二次型的关系3 第 3 节 写出二次型的方法3 第 4 节 二次型的标准型4 第 5 节 二次型在复数域下的规范型8 第 6 节 二次型的一般定理10 第 2 章 二次型的应用.12 第 1 节 多元函数极值.12 第 2 节 线性最小二乘法15 第 3 节 证明不等式17 第 4 节 二次曲线.19 结 论21 参考文献.22 致 谢.23

5、 1 第 1 章 二次型的基本理论 在这一节,我们首先回顾高等代数中关于二次型的一般理论设是一个数 1 P 域，个文字 的二次齐次多项式Paijn n xxx, 21 , 22 222, 11 2 223223 2 222 1131132112 2 11121 n i n j jiij nnn nn nnn xxa xa xxaxxaxa xxaxxaxxaxaxxxf 称为数域上的一个元二次型，简称二次型当为实数时，称为实二次型；当Pn ij af 为复数时，称为复二次型 ij af 设阶对称矩阵n , nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 则元二次型可

6、表示为下列矩阵形式n .AXX x x x aaa aaa aaa xxxxxxf T nnnn n n nn 2 1 21 22221 11211 2121 ),(),( 其中.对称矩阵称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵 T n xxxX),( 21 LA 二次型与非零对称矩阵一一对应即，给定一个二次型，则确定了一个非零的对 称矩阵作为其系数矩阵；反之,给定一个非零的对称矩阵，则确定了一个二次型以给定 的对称矩阵为其系数矩阵 如果二次型中只含有文字的平方项即 , 22 22 2 1121 , nnn xdxdxdxxxf 称为标准型.在高等代数的教材中，还有以下关于二次型理论的结果f

7、3 2 第 1 节 二次型的概念及相关定义 1.1 二次型的表示 二次型可唯一的表示成：，称为二次型的 n xxxf, 21 AXXxxxf T n , 21 矩阵形式，其中，为对称矩阵，称为二次型的矩阵 T n xxxX, 21 nn ij aA A (都是对称矩阵)，称的秩为二次型的秩Af 4 1.2 线性替换 2 设是两组文字，系数在数域中的一组关系式 nn yyyxxx,;, 2121 P （11） . . . 2211 22221212 12121111 nnnnnn nn nn ycycycx ycycycx ycycycx ， ， 称为由到的一个线性替换，或简称线性替换用矩阵形式

8、可写 n xxx, 21 n yyy, 21 为 ,CYX 其中，如果系数行列式， T n xxxX, 21 nn ij cC T n yyyY, 21 0C 那么线性替换（1-1）就称为非退化的(或可逆的, 或满秩的) 数域上的矩阵称为合同的，如果有数域上的可逆的矩阵，PnnBA,PnnC 使ACCB T 1.3 二次型的正定、负定与不定 9 设是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数， n xxxf, 21 n ccc, 21 如果都有，那么称为正定的；如果都有0, 21 n cccf n xxxf, 21 ，那么称为负定的；如果都有，那0, 21 n cccf n xxxf, 21 0,

9、 21 n cccf 么称为半正定的；如果都有，那么称 n xxxf,., 21 0, 21 n cccf n xxxf, 21 为半负定的；如果它既不半正定又不半负定，那么就称为不定的 n xxxf, 21 3 第 2 节 替换后的二次型与原二次型的关系 设，,是一个二次型，作非退化线性替换AXXxxxf T n , 21 T AA ， (12)CYX 我们得到一个的二次型 n yyy, 21 ， (13)BYYyyyf T n , 21 把（13）代入（12） ，有 ，BYYYACCYACYCYCYACYAXXxxxf TTTTT TT T n , 21 容易看出，矩阵也是对称的ACC T

10、 事实上，由此，即得这就是前后两ACCCACACC TTTT T T )(ACCB T 个二次型的矩阵关系 数域上 矩阵,称为合同的，如果有数域上可逆的矩阵，使PnnA BPnnC ACCB T 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的 第 3 节 写出二次型的方法 正确写出二次型的矩阵是化简二次型的基础对于含个变元的二次型n ，可以按下述方法得到二次型的矩阵，的主对角线上的 n xxxf, 21 nn ij aA A 元素依次为二次型的平方项的系数，而的第 行第列元素是 22 2 2 1 , n xxxAijjiaij 交叉项的系数的一半，在取即得到对称矩阵，于是这

11、个二次型 jix xjiaa jiij A 就可以用矩阵形式表示为，其中AXX T T n xxxx, 21 注 一个二次型的矩阵之所以要求是对称矩阵，原因之一是使得二次型矩阵是 唯一确定的 例 1 写出二次型的矩阵： 323121 2 3 2 2 2 14321 3223,xxxxxxxxxxxxxf 解 应注意由可知右端的二次型为 4 元二次型，虽然二次型右边 4321 ,xxxxf 4 表达式中没有含有的项，但其对应矩阵必须补零做成 4 阶对称矩阵为 4 x . 0000 01 2 3 1 0 2 3 31 0111 A 第 4 节 二次型的标准型 二次型中最简单的一种是只包含平方项的二

12、次型 22 22 2 11nnx dxdxd 4.1 二次矩阵变合同矩阵 数域上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式P 不难看出，上面二次型的矩阵是对角矩阵，则 nn nnn x x x d d d xxxxdxdxd 2 1 2 1 21 22 22 2 11 00 00 00 , 反过来，矩阵为对角形的二次型就只含有平方项所以经过非退化的线性替换， 二次型的矩阵变到一个合同的矩阵 4.2 对称矩阵与对角矩阵 在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵也就是说，对于任意一个P 对称矩阵都可以找到一个可逆矩阵使成对角矩阵ACACC T 4.3 可逆的线性变换 二次型经过非

13、退化线性替换所变成的平方和称为的 n xxxf, 21 n xxxf, 21 一个标准型 例 1 用可逆的线性变换化二次型为标准型 方法 1 配方法 用配方法化二次型为标准型的关键是消去交叉项，其要点是利用两数和的平方 公式与两数平方差公式逐步消去非平方项并构造新平方项分两种情形来处理： 5 （1）二次型中含某个变量的平方项和交叉项 i x 先集中含的交叉项，然后与配方，化成完全平方，令新变量代替各个平方项 i x 2 i x 中的变量，即可做出可逆的线性变换，同时立即写出它的逆变换（即用新变量表示旧 变量的变换） ，这样后面求总的线性变换就比较简单每次只对一个变量配平方，余 下的项中不应在出

14、现这个变量，再对剩下的个变量同样进行，直到各项全化为平1n 方项为止 （2） 二次型中没有平方项，只有交叉项 先利用平方差公式构造可逆线性变换，化二次型为含平方项的二次型，如当 的系数时，进行可逆的线性变换代 jix x0 ij ajikyxyyxyyx kkjijjii , 入二次型后出现平方项，在按情形（1）来处理 22 jijiij yaya 方法 2 初等变换法 10 用可逆的线性变换使化为二次型为标准型Pyx AXXf T ，相当于对于对称矩阵找到一个可逆矩阵使 22 22 2 11nny dydydfAP ，其中，即合同于对角矩阵由于可逆矩阵DAPPT n ddddiagD, 21

15、 AD 可以写成若干个初等矩阵乘积，即，从而有P s PPP, 21 s PPPP 21 ，DPPAPPPP s TTT s 2112 PPPEP n 21 根据初等矩阵的性质，由上式即可得到用初等变换法化二次型为标准型的步骤如 下： 第一步 写出二次型的矩阵，并构造矩阵；Ann2 E A 第二步 进行初等变换 ， P D E A E A 换只进行其中的初等列变对 和初等列变换进行同样的初等行变换对 当化为对角矩阵时，单位矩阵也相应地化为可逆矩阵；ADEP 第三步 可逆线性变换化二次型为标准型Pyx 6 22 22 2 11nn T ydydydDyyf 例 2 化下列二次型为标准型，并写出所

16、用的可逆线性变换 323121 2 3 2 1321 2423,xxxxxxxxxxxf 解 方法 1 （配方法） ,22 2322 2322 2 332 2 2 2 321 32 2 3 2 32 2 321 32 2 3321 2 1 xxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxf 令 . , ,2 33 22 3211 xy xy xxxy 即 . , ,2 33 22 3211 yx yx yyyx 得 2 32 2 1 2 332 2 2 2 1 2yyyyyyyyf 令 . , , 33 322 11 yz yyz yz 即 . , , 33 322 11 zy zzy zy

17、则 323121 2 3 2 1321 2423,xxxxxxxxxxxf 的标准型为 2 2 2 1321 ,zzxxxf 7 所用的可逆线性变换为 . 333 3222 32133213211 22 zyx zzyx zzzzzzzyyyx 方法 2 初等变换法 二次型的矩阵为由于 312 101 211 A ， 100 110 111 000 010 001 100 010 211 110 110 001 100 010 001 312 101 211 23 23 13 12 3 12 2 2 rr cc rr rr cc cc E A 故可逆线性变化，化二次型为 3 2 1 3 2 1

18、 100 110 111 y y y x x x . 2 2 2 1321 ,yyxxxf 用正交变换化二次型为标准型的步骤 将元实二次型用正交变换化为标准型的步骤是：nAxxxxxf T n , 21 第一步 写出二次型的矩阵，则是是对称矩阵； n xxxf, 21 nn ij aA A 第二步 求阶正交矩阵，使得；nQ n T diagAQQAQQ, 21 1 第三步 正交变换化二次型为Qyx 22 22 2 1121 ., nnn yyyxxxf 例 3 求一正交变换，化二次型 323121 2 2 2 1321 8444,xxxxxxxxxxxf 为标准型 8 解 二次型的矩阵为由 4

19、42 442 221 A ，9 442 442 221 2 AE 得的特征值为,A0 21 9 3 可求得对应的特征向量为，将其正交化，0 21 T p0 , 1 , 2 1 T p1 , 0 , 2 2 得 ， T p0 , 1 , 2 11 T 1 , 5 4 , 5 2 2 再单位化，得 ， T q 0 , 5 1 , 5 2 1 T q 53 5 , 53 4 , 53 2 2 又对应的特征向量为，单位化得故正交变9 3 T p2 , 2, 1 3 T q 3 2 . 3 2 , 3 1 3 换为 3 2 1 3 2 1 3 2 53 5 0 3 2 53 4 5 1 3 1 53 2

20、 5 2 y y y x x x 化二次型为. 2 3 9yf 第 5 节 二次型在复数域下的规范型 设是一个复系数二次型经过以适当的非退化线性替换后 n xxxf, 21 变成标准型不妨假定它的标准型是 n xxxf, 21 (14)riydydyd rr , 2 , 1, 22 22 2 11 9 易知 就是的矩阵的秩因为复数总可以开平方，我们再作一非退r n xxxf, 21 化相性替换 (15) . , , 1 , 1 11 1 1 1 nn rr r r r zy zy z d y z d y （14）式就变成 (16) 22 2 2 1y zzz （16）式称为复二次型的规范形显然

21、，规范形完全被原二次型矩 n xxxf, 21 阵的秩所决定 5.1 规范型 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规 范行是唯一的 再来看实数域的情形 设是以实系数的二次型经过某一非退化线性替换，在适当排列 n xxxf, 21 文字的次序可使变成标准形 n xxxf, 21 ， (17) 22 11 22 11rpppp dydydyd 其中， 是的矩阵的秩因为在实数域中，整实数总ridi, 2 , 1, 0r n xxxf, 21 可以开平方所以再作一非退化线性替换 10 . , , 1 , 1 11 1 1 1 nn rr r r r zy zy z d

22、y z d y （17）式就变成 (18) 22 1 22 1yFF zzzz （18）式称为实二次型的规范形显然，规范形完全被 ，这两个 n xxxf, 21 rp 数所决定 5.2 逆线性变换 8 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变为成规范形， 且规范形是唯一的 第 6 节 二次型的一般定理 6.1 惯性定理 5 在实二次型的规范形中，正平方形的个数称为的 n xxxf, 21 P n xxxf, 21 正惯性指数；负平方项的个数称为的负惯性指数；它们的差pr n xxxf, 21 称为的符号差rpprp2 n xxxf, 21 6.2 矩阵的全部特征值 元实二次型

23、（是实对称矩阵，可以经过变量的正交变换nAXXf T AX 为正交阵） ，可化为，这里是矩阵的全部特征值QYX 22 11nny yf i A 6.3 最大（小）特征值 6 设元实二次型，则在条件下的最大（小）值恰为矩阵nAXXf T f1 1 2 n i i x 的最大（小）特征值 A 例 1 设为阶正定矩阵，与是实向量，An T n xxxX, 21 T n ccc, 21 11 为实数，则实函数当时，取得最小值 XAXXXf T 2 1 AX 1 A T 证明 ，因正定，所以存在(对称)而 1 1 XA XXf T A 1 A , 111 0 0 1 0 1 0 A A A EA A E

24、 TT n TT n 1 0 1 0 1 1 1 A E A E T n T n ， 因此 , 10 0 1 1100 0 1 0 1 1 111 1 1 1 1 11 AAYY AAXAAX AX A A AX XAE A A A E XXf TT T T TT T TT n TT nT 其中，因正定，故当且仅当时，取最小值 0，从而当且 1 AXY TT A0YAYY T 仅当，取得最小值 1 AX Xf 1 A T 12 第 2 章 二次型的应用 第 1 节 多元函数极值 在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性 加以解决 1.1 梯度 设元函数在的某个邻域

25、内有一阶、n n xxxfXf, 21 n T n RxxxX, 21 二阶连续偏导数记， 称为函数在点 n x Xf x Xf x Xf Xf, 21 ()f X()f X 处的梯度 T n xxxX, 21 1.2 驻点 满足的点称为函数的驻点 0 ()0f X 0 X()f X 1.3阶实对称矩阵n 222 2 1121 2 222 2 12 ()()() () () ()()() n ij n n nnn f Xf Xf X xx xx x f X H X x x f Xf Xf X xxxxx 称为函数在点处的黑塞矩阵显然是由的 12 ()( ,) n f Xf x xx n XR(

26、)H X()f X 个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵 2 nn (极值存在的必要条件) 设函数在点处存在一阶偏导数，()f X 000 012 (,)T n Xxxx 且为该函数的极值点，则 0 X 0 ()0f X 例 2 设函数在点的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，且()f X 0 n XR ，则 000 0 12 ()()() (),0 n f Xf Xf X f X xxx （1）当为正定矩阵时，为的极小值； 0 ()H X 0 ()f X()f X （2）当为负定矩阵时，为的极大值； 0 ()H X 0 ()f X()f X 13 （3）当为不定矩阵时，不是的极值 0 ()H X

27、0 ()f X()f X 利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法，但也有一定 的局限性，因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的，若条件不满足，那结论就 不一定成立 例 3 求三元函数的极值 222 ( , , )23246f x y zxyzxyz 解 先求驻点，由 220 440 660 x y z fx fy fz 得，所以驻点为1,1,1xyz 0( 1, 1,1) P 再求黑塞矩阵Hessian 因为，所以，可知是2,0,0,4,0,6 xxxyxzyyyzzz ffffff 200 040 006 H H 正定的，所以在点取得极小值( , , )f x y z

28、0( 1, 1,1) P ( 1, 1,1)6f 当然，此题也可用初等方法求得极小值 222 ( , , )(1)2(1)3(1)6f x y zxyz ，结果一样6 1.4 极大（小）点 设元实函数 12 ( ,) n f x xx在点的一个邻域中连续，且有足够高阶的连续偏导n 0 P 数，则函数 12 ( ,) n f x xx在点近旁有性质：1）若X AX正定，则为极小 0 PAXX T 0 P 点；2）若负定，则为极大点；3）若不定，则非极大点或极小点；AXX T 0 PAXX T 0 P 4）其余情形时，f在点性质有待研究余项的性质来确定特别当f是二次函数 0 PR 时，只要半正（负

29、）定，则为极小（大）点0RAXX T 0 P 例 4 求函数 22 ln()zxyxy的极值 14 解 ， 解方程组， 22 2 22 2 ln yx yx yxyzT x 22 2 22 2 ln yx xy yxxzT y 0 0 T y T x z z 易得 ， ， ， 1 0 y x 0 1 y x e y e x 2 1 2 1 ， 2 22 22 2 22 22 32 , 2 yx yxxy z yx yxxy z T T yy T T xx ， 2 22 44 22 2 ln yx yx yxzz T T yx T T xy 于是，经计算得 yyyx xyxx zz zz A 正

30、定， 20 02 2 1 , 2 1 2 1 , 2 1 AA 负定， 20 02 2 1 , 2 1 2 1 , 2 1 AA 不定 02 20 1, 00, 1 AA 故在点( 1,0)，点(0, 1)，Z 不取极值；在 1111 (,),(,) 2222eeee 点，Z 取极小值， 1 =- 2 z e 极小 ，在 1111 (,),(,) 2222eeee 点，Z 取极大值， 1 = 2 z e 极大 下面利用二次型的矩阵的特征值求多元函数的最值设元二次型n ，则在条件下的最大（小）值恰为矩阵AXXXf T )( T n xxxX),.,( 21 f1 1 2 n i i x 的最大（

31、小）特征值A 例 5 设为阶正定矩阵与实向量，为An T n xxxX),( 21 T n ccc),.,( 21 实数，则实函数,当时取得最小值xAxxxf TT 2)( 1 AxA T 15 证明 ，由正定，存在（对称）,而 1 1 xA xf T T A 1 A 111 0 0 1 0 1 0 A A A EA A E TT n TT n ， 1 0 1 0 1 1 1 A E A E T n T n ， 10 0 1 0 1 1 x A A A E xf TT nT 其中， ， 正定，故，所以取得最小值 1 AXYA 1 AX)(xf A T 第 2 节 线性最小二乘法 众所周知，线性

32、方程组 0. 0. 0. 552211 2525222121 1515212111 nnnn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 可能无解 即任何一组都可能使得不等于 0， 0 5 0 2 0 1, xxx n i iiii bxaxaxay 1 552211 )( 我们设法找到，使得y最小，这样称为方程组的最小二乘 0 5 0 2 0 1, xxx 0 5 0 2 0 1 ,xxx 解这种问题就叫最小二乘法问题 若记为上述方程组的系数矩阵，于是，使得y值最小的 XA T n bbbB, 21 一定是方程组的解，而其系数矩阵是一个正定矩阵，它的惯性指数BAAXA TT AAT 等于

33、，因此这个线性方程组总是有解的，这个解就是最小二乘解n 例 1 已知某种材料在生产过程中的废品率某种化学成分有关,下列表中记载yx 了某工厂生产中与相应的的几次数值yx x1.000.90.90.810.600.560.35 y 3.63.73.83.94.04.14.2 我们想找出对的一个近似公式yx 16 解 把表中数值画出图来看，发现它的变化趋势近于一条直线，因此我们决定选 取的一次式来表达，当然最好能选到适当的,使得下面的等式xbax ab 000 . 1 6 . 3ba 09 . 07 . 3ba 09 . 08 . 3ba 081. 09 . 3ba 060 . 0 0 . 4ba

34、 056 . 0 1 . 4ba 035 . 0 2 . 4ba 都成立，实际上是不可能的任何,代入上面各式都发生些误差，于是想找到,aba 使得上面各式的误差的平方和最小，即找,使bab (3.6+-1.00) 2 +(3.7+-0.9) 2 +(3.8+-0.9) 2 +(3.9+-0.81) 2 +(4.0+-ababababab 0.60) 2 +(4.1+-0.56) 2 +(4.2+-0.35) 2 abab 最小，这里讨论的是误差的平方即二乘方，故称为最小二乘法，用最小二乘法解易 知 12 . 4 11 . 4 10 . 4 19 . 3 18 . 3 17 . 3 16 . 3

35、 ， 35. 0 56. 0 60. 0 81. 0 9 . 0 9 . 0 00. 1 ，AB 最小二乘解,所满足的方程就是ab T b a T 0AAAB 即为 . 0 12 . 5 73 .27 0675.193 .2775.106 ba ba 解得， （取三位有效数字) 05 . 1 a81 . 4 b 17 第 3 节 证明不等式 其证明思路是首先构造二次型，然后利用二次型正（半）定性的定义或等价条件， 判断该二次型（矩阵）为正（半）定矩阵，从而得到不等式 7 例 1 求证：（其中是不全为零的实数） xzxyyzzyx24239 222 zyx, 证明 设二次型，则的矩阵是xzxyy

36、zzyxzyxf24239),( 222 f 311 112 129 A 因为，A的各阶顺序主子式为：；，所以，A正定，从而09905 12 29 （因为是不全为零的实数） ，即0fzyx, ，xzxyyzzyxzyxf24239),( 222 0 （其中是不全为零的实数） ，结论得证zyx, 3.2Cauchy不等式 （Cauchy不等式）设,(1,2, ) ii a b in为任意实数，则 BAAXA bbbB bxaxaxay xxx bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa TT T n n i iiii nnnn , , 0 0 0 21 1 552211 0 5 0 2 0

37、1 552211 1525222121 1515212111 例 1 记 ， 2 2 1 2 21 1 2 1 1 2 1 2 2121 )()(2)()(),(xbxxbaxaxbxaxxf n i i n i ii n i i n i ii 解 因为对于任意 12 ,x x，都有 12 ( ,)0f x x， 故关于 12 ,x x的二次型 12 ( ,)f x x是半 正定的该二次型矩阵的行列式大于或等于 0，即 18 2 11 2 11 0 nn iii ii nn iii ii aa b a bb ， 故得 222 111 ()()() nnn iiii iii abab 例 2 2

38、 11 2 )( n i i n i i xxn 解 记，其中AXXxxnxLxxf T n i i n i in 2 11 2 21 )(),( ， 1, 1, 1 1, 1, , 1 1, 1, 1 ,),( 21 n n n AxLxxX T n 将矩阵A的第 2，3，n列分别加到第一列，再将第 2，3，, n行减去第 1 行， 得 011 00 00 n n ， A 于是A的特征值为由定理可知，A为半正定矩阵，即二次型是半正定的，从, 0nLn 而得 12 ( ,)0 n f x xx，即 ， 2 11 2 )( n i i n i i xxn 结论得证 例 3 设, 是一个三角形的三个内角，证明对任意实数, ,x y z，都有 c