广州一模文科数学试题及答案.pdf

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1、1 / 10 试卷类型： A 2018 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（文科） 2018.3 本试卷共4 页， 21 小题，满分150 分考试用时120 分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。 2选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内 的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然

2、后再写上新的答案；不准使用铅笔和 涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、 多涂的，答案无效。 5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式： 锥体的体积公式ShV 3 1 ，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，满分50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1函数 1 1 y x 的定义域为 A, 1B, 1C1,D1, 2已知复数ii 1 iab（其中,a bR，i是虚数单位），则ab的值为 A2B1C0D2 3如果函

3、数sin 6 fxx0的最小正周期为 2 ，则的值为 A1B2 C 4D8 4在ABC中，60ABC，2AB，3BC，在BC上任取一点D，使ABD为钝角三角形 的概率为 A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 2 / 10 5如图 1 是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积 为 A 4 3 3 B4 3 C8D12 6在平面直角坐标系中，若不等式组 20, 20, xy xy xt 表示的 平面区域的面积为4，则实数t的值为 A1B2 C 3D4 7已知幂函数 2 26 57 m ymmx在区间0,上单调递增，则实数m的值为 A3B2 C 2或 3D 2或3 8已知两个非零向量a

4、与b，定义sinaba b，其中为a与b的夹角若3,4a =， 0,2b=，则ab的值为 A8B6C6D8 9已知函数21fxx，对于任意正数a， 12 xxa是 12 fxfxa成立的 A充分非必要条件B必要非充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 10已知圆O： 222 xyr，点P ab，（0ab）是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直 线为 1 l，直线 2 l的方程为 2 0axbyr，那么 A 12 ll，且 2 l与圆O相离 B 12 ll，且 2 l与圆O相切 C 12 ll，且 2 l与圆O相交 D 12 ll，且 2 l与圆O相离 二、填空题：本大题共5 小题，考生

5、作答4小题，每小题5分，满分20 分 （一）必做题（1113 题） 11若函数 2 ln1fxxax 是偶函数，则实数a的值为 12已知集合 13Axx ， 3Bx axa ，若AB，则实数a的取值范围为 图 1 俯视图 2 2 正 (主)视图 2 2 2 侧(左)视图 2 2 2 3 / 10 13两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用 小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5， 12， 22，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作 1 1a，第 2个五角形数记作 2 5a，第 3个五角 形 数 记 作

6、 3 12a， 第 4个 五 角 形 数 记 作 4 22a， ， 若 按 此 规 律 继 续 下 去 ， 则 5 a， 若 145 n a，则n （二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题） 14（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为5cm，点P是弦AB的中点， 3OPcm，弦CD过点P，且 1 3 CP CD ，则CD的长为cm 15（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的 参数方程分别为l： 1, 1 xs ys （s为参数）和C： 2 2,xt yt （t为参数）， 若l与C相交于A、B两点，则AB 三、解答题：本大题共6小题，满分 80分解答须写出

7、文字说明、证明过程和演算步骤 16（本小题满分12分） 已知函数( )tan 3 4 f xx （1）求 9 f 的值；（2）若2 34 f ，求cos2的值 17（本小题满分12分） 某校从高一年级学生中随机抽取40 名学生，将他们的期中 考 试数学成绩（满分100 分，成绩均为不低于40分的整数） 分 成六段：50,40，60,50，100,90后得到如图4的 频率分布直方图 （1）求图中实数a的值； （2）若该校高一年级共有学生640 人，试估计该校高一年 级 5 12 1 22 图 2 （分 0 40 50 60 70 80 90 100 频率 组距 0.010 0.005 0.020

8、 图 4 0.025 a P O A B C D 图 3 4 / 10 期中考试数学成绩不低于60 分的人数； （3）若从数学成绩在40,50与90,100两个分数段内的学 生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差 的绝对值不大于10 的概率 18（本小题满分14分） 如图5 所示，在三棱锥ABCP中， 6ABBC ，平面PAC平面ABC，ACPD于点 D，1AD，3CD，2PD （1）求三棱锥ABCP的体积； （2）证明PBC为直角三角形 19（本小题满分14分） 已知等差数列 n a的公差0d，它的前n项和为 n S，若 5 70S，且 2 a， 7 a， 22 a成等比数列 （1

9、）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 1 n S 的前n项和为 n T，求证： 13 68 n T 20（本小题满分14分） 已知函数 32 ( )f xxaxb,a bR （1）求函数( )f x的单调递增区间； （2）若对任意3,4a，函数( )f x在R上都有三个零点，求实数b的取值范围 21（本小题满分14分） 已知椭圆 2 2 1 4 y x的左、右两个顶点分别为A、B曲线C是以A、B两点为顶点，离心率为 5的双曲线设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T 图 5 B P A C D 5 / 10 （1）求曲线C的方程； （2）设点P、T的横坐标分别为 1 x

10、、 2 x，证明： 12 1xx； （ 3）设TAB与POB（其中O为坐标原点）的面积分别为 1 S与 2 S，且PA PB uu r uu r g15，求 22 12 SS的取值范围 6 / 10 广州 2018 一模文科数学解读 1、D 解读：01x1x； 2、D 解读：11,1abiiab； 3、C 解读： 2 4 2 T 4 、 B 解 读 ： 当90ADB时 ，c o s2 c o s 6 0B DA BA B C； 所 以 1 (9 0 ) 3 BD PADB BC 5、C 该几何体为正四棱锥，正三角形的边为棱锥的侧面高，故侧面积为 1 4228 2 ； 6、B 作图可知该区域为三

11、角形，则面积为 1 (2)(2)4,0 2 t ttt，解得 2t； 7、A 由幂函数定义知 2 5712,3mmmm，当2m时， 2 yx递 减，不满足条件，舍 去；当3m时， 3 yx 递增，可取； 8 、 C 由 于 30424 c o s 525 a b a b ， 所 以 3 s i n 5 ， 故 3 526 5 ab； 9、B 121212 ()()(21)(21)2f xf xxxxxa，即 12 2 a xx，此可推 出 12 xxa ，故 为必要不充分条件； 10、A 由题意可知， 1 1 l OP a k kb ，又过点( , )P a b，故用点斜式可得 1 l 方 程

12、为 22 axbyab， 与 2 2: la xb yr平 行 ；因 圆 心 到 2 l的 距 离 22 222 222 () rr dr abr abr ， 故 2 l 与圆相离。 11、0a，观察猜测可得 7 / 10 12、0,1，解读： 1 01 33 a a a 13、35，10 可以把前四项进行如下分解： 1234 1,14,147,14710aaaa，故 5 14710 1335a， 2 (1331)3 1473(1)1145 22 n nnnn an，解得 10n； 14、6 2设,2CPx PDx，由 P 是 AB中点可知 22 534APBP，由 CP PDAP PB求 得

13、2 2x，故3 2CD； 15、 2 解读 ： 2 12 1 st st 两 式相 加可解 得0,1tt，故两个点坐标为 (2,0),(3,1)，2AB 16、（1） tantan 31 34 ()tan()23 934 13 1 tantan 34 f； （ 2 ） 因 为()2 34 f， 又()t a n ( 3) 4 fxx， 所 以t a n ()即 tan2，所以 2 sin 5 ，所以 283 cos212sin1 55 17、（1）由频率分布直方图可得 100.0052 100.01100.02100.025101a，解得 0.03a； （ 2 ） 由 频 率 分 布 直 方

14、图 可 得 ， 数 学 成 绩 不 低 于60分 的 频 率 为 1(100.005100.01)0.85，故估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分的人数为0.85640544人。 （3）由频率分布直方图可得，数学成绩在40,50,90,100这两个分数段内的学 生人数分别有40100.0052，40 100.014，记40,50内的学生为,a b， 90,100内的学生为1,2,3,4 ，故从这两个分数段内随机取两名学生的情况有 8 / 10 ( , ),(,1),(,2),(,3),(,4),(,1)a baaaab， ( ,2),(,3),(,4)bbb，(1,2),(1,3)

15、,(1,4)，(2,3),(2,4)，(3,4)共有 15 种，而数学成绩 只差的绝对值不大于10 的情况有( , ),a b，(1,2),(1,3),(1,4)，(2,3),(2,4)，(3,4) 共 7 种，故所求概率为 7 15 。 18、（ 1）因为平面PAC平面ABC，又,PDACAC是平面PAC和平面 ABC的交线， 所以PD平面ABC，所以PD是三棱锥PABC的高，且2PD； 在AC上取 中点 E ，连 接BE， 又ABBC， 所以BE是ABC的高 。因为 6AB， 1 (13)2 2 AE，所以 22 ( 6)22BE，故三棱锥PABC 的体积 114 2 22(13) 323

16、 V； （ 2 ） 连 接BD。 因 为 在Rt PDC中 ，2PD，3CD， 所 以 222 231 3PC； 由 （ 1） 知PD平 面ABC， 所 以PDBD。 因 为 2 co s 6 BAC， 所 以 222 2 2cos162 63 6 BDADABAD ABBAC，所以 22 7PBPDBD，又 2 6BC，所以 222 BCPBPC，所以PBC为直角 三角形。 19 、（ 1 ）因 为 5 70S， 2722 ,aa a成等 比数列 ，所 以 1 2 111 51070 (6 )()(21 ) ad adadad 解得 1 6 4 a d ，所以64(1)42 n ann； （

17、2）由（1）知 (642) 2(2) 2 n nn Sn n，所以 111111 () 2(2)42 n Sn nnn ，故 12 1111 1111111111111 311 ()() 4 132435461124 212 n n T SSSnnnnnn 3111 () 8412nn ， 因为 111 ()0 412nn ，故 3 8 n T；因 为 9 / 10 1 1 0 2(3)(1) nn TT nn ， 所 以 数 列 n T递 增 ， 又1n， 所 以 31111 () 84 1 1126 n T 20、（1）由题意，可得 2 ( )32(32 )fxxaxxxa ， 当0a时，

18、( )0fx恒成立，故( )f x无单调递增区间； 当0a时，由( )0fx得 2 (,0) 3 a x； 当0a时，由( )0fx得 2 (0,) 3 a x； 综上所述，当0a时，( )fx无单调递增区间；当0a时，( )f x的单调递增区 间为 2 (,0) 3 a ； 当0a时，( )f x的单调递增区间为 2 (0,) 3 a ； （2）由（ 1）知，当3, 4a时，由( )0fx得 2 (0,) 3 a x，( )f x递增；由 ( )0fx得 2 (,0)(,) 3 a x，( )f x递 减 ； 故( )f x有 极 大 值 为 3 24 () 327 aa fb，极小值为(0

19、)fb，要使得( )f x在 R上有三个零点，需满足 3 4 0 27 0 a b b 对任意3, 4a恒成立。 故 4 0 b b 即( 4,0)b 21、（ 1）由题意可设曲线C 的方程为 2 2 2 1 y x b ，由于该双曲线的离心率为 5 ，故 2 22 2 154 c bb a ，所以曲线 C的方程为 2 2 1 4 y x； （2）由题意可设直线AP方程为(1),(0,2)yk xk，由（ 1）知曲线 C方程为 10 / 10 2 2 1 4 y x， 故 2 2 (1 ) 1 4 ykx y x 消 去y 得 2222 (4)2(4)0kxk xk， 故 2 12 4 (1

20、) 4 k x k 即 2 12 4 4 k x k ，同理可得 2 22 4 4 k x k ，故 12 1x x； （3）设 112 (,),(,)PxyTxy，则由 22 2212 12 1,1 44 yy xx得， 222 1122 4(1),4(1)yxyx 由15PA PB得， 222 1111111 (1,) (1,)15(1)15xyxyxyx即 2 1 4x； 由（1）知 2 122 48 11(02) 44 k xk kk ，故 2 1 14x； 由题意可知， 2 222221 122112221 1 ,5(4) 24 y SySySSyxx，又 12 1xx 所以 222 121 2 1 4 5()SSx x ，因为 2 1 2 1 4 4x x 仅当 2 1 2(1,4x时，等号成立，故 22 12 1SS，又当 2 1 4x时， 22 12 SS 取得最小值0，所以 22 12 SS 的取值范围为 0,1。