《数学必修2人教版导学案3.3.2两点间的距离.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学必修2人教版导学案3.3.2两点间的距离.pdf（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 3.3.2 两点间的距离 【教学目标】 1掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题. 2通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性. 3体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题. 【重点难点】 教学重点：平面内两点间的距离公式. 如何建立适当的直角坐标系. 教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题. 【教学过程】 一、导入新课、展示目标 问题已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离 |P1P2|? 二、检查预习、交流展示 核对课前预习中的答案。1、 （1，0） ；2、1 并说出自
2、己的疑惑处。 三、合作探究、精讲精练 探究一平面内两点间的距离公式 问题 (1)如果 A、B是 x 轴上两点， C、D是 y 轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么 |AB| 、 |CD| 怎样求 ? (2) 求 B(3，4) 到原点的距离. (3) 设 A(x1,y1)，B(x2, y2) ，求 |AB|. 教师如果A、B 是 x 轴上两点， C、D是 y 轴上两点，它们坐标分别是xA、 xB、yC、yD，那么 |AB| 、 |CD| 怎样求 ? 求点 B(3，4) 到原点的距离. 已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2) ，如何求P1(x1,y1),P2(x2
3、,y2) 的距离 |P1P2|. 同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的( 回忆过程 ). 学生回答|AB|=|xB-xA|,|CD|=|yC-yD|. 通过画简图，发现一个RtBMO ，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5. 图 1 在直角坐标系中，已知两点 P1(x1,y1) 、P2(x2,y2) ，如图 1, 从 P1、 P2分别向x 轴和 y 轴作垂线P1M1、 P1N1和 P2M2、P2N2，垂足分别为M1(x1，0) 、N1(0 ，y1) 、M2(x2，0) 、N2(0，y2) ，其中直线P1N1和 P2M2相交于点Q. 在 RtP1QP2中， |P1P2| 2=
4、|P 1Q| 2+|QP 2| 2. 因为 |P1Q|=|M1M2|=|x 2-x1|,|QP2|=|N1N2|=|y2-y1| ， 所以 |P1P2| 2=|x 2-x1| 2+|y 2-y1| 2. 由此得到两点P1(x1,y1) 、P2(x2,y2) 的距离公式： |P1P2|= 2 12 2 12 )()(yyxx 教师(a) 我们先计算在x 轴和 y 轴两点间的距离. (b) 又问了 B(3,4) 到原点的距离，发现了直角三角形. (c) 猜想了任意两点间距离公式. (d) 最后求平面上任意两点间的距离公式. 这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、
5、证明定理经常应用的 方法 . 同学们在做数学题时可以采用! 应用示例 例 1 如图 2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4 ，8) ，另一个端点B的纵坐标是3，求这个端点 的横坐标 . 图 2 解 : 设 B(x，3) ，根据 |AB|=13 ， 即(x+4) 2+(3-8)2=132，解得 x=8 或 x=-16. 点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数 解比较全面 . 也可以引至到A(-4 ， 8) 点距离等于13 的点的轨迹 ( 或集合 ) 是以 A点为圆心、 13 为半径的圆上与y=3 的交点，应交出两个点. 变式训练1 课本 106 页练习第一题 例 2 已知点
6、A(-1 ，2) ，B(2， 7) ，在 x 轴上求一点，使 |PA|=|PB|,并求 |PA| 的值 . 解 : 设所求点P(x ，0) ，于是有 2222 )70()2()20() 1(xx. 由|PA|=|PB|,得 x 2+2x+5=x2-4x+11, 解得 x=1. 即所求点为P(1，0), 且|PA|= 22 )20()11 (=22. 点评：引导学生熟练设点及应用距离公式。 变式训练2 课本 106 页 练习第二题 . 探究二建立适当的坐标系应用代数问题解决几何问题 例 3 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 解析：首先要建立适当的坐标系，用坐标表示有关量，然后
7、进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译” 成几何关系。 这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何 问题的基本步骤。 证明：如图所示，以顶点为坐标原点，边所在的直线为轴，建立直角坐标系，有（，）。 设（，），（，），由平行四边形的性质的点的坐标为（，），因为 所以， 2222 222 2ABCDADBCabc 2 2 222 2ACBDabc, 所以， 2222 ABCDADBC 2 2 ACBD 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 点评上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下： 第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关
8、的量。 第二步：进行有关代数运算。 第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。 思考：同学们是否还有其它的解决办法？ 还可用综合几何的方法证明这道题。 变式训练：已知0x1,0 y1, 求使不等式 222222 )1 ()1 (yxyxyx 22 )1()1(yx2 2中的等号成立的条件. 解析：此题需要学生将不等式转化为平面内两点间的距离问题来研究。数形结合。 答案： x =y= 2 1 点评：强调数形结合，转化划归来解决问题。建立适当的直角坐标系，来解决问题很有必要。 当堂检测 导学案当堂检测 课堂小结 通过本节学习，要求大家: 掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程； 能灵活运用此公式解决一
9、些简单问题； 掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题. 【板书设计】 一、两点间距离公式 二、例题 例 1 变式 1 例 2 变式 2 例 3 变式 3 【作业布置】 课本习题3.3 必做题 A 组 6、7、8； 选做题 B组 6. 及导学案课后练习与提高 3.3.2两点间的距离 课前预习学案 一、预习目标 1掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题. 2通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性. 3体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题. 二、预习内容 （一）巩固所学 1直线0mxym，无论 m取任意实数，它都过点 . 2若 直线 111 :1la x
10、b y与直线 222 :1la xb y的交点为 (2, 1)，则 11 2ab . （二）探索新知，提出疑惑 预习教材P104 P106，找出疑惑之处 三提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容 并回答下列问题： 1. 已知平面上两点 111222 (,),(,)P xyP xy，则 P1P2 = （）. 特殊地：( , )P x y 与原点的距离为P1P2= （）. 2.特别地，当P1P2平行于 x 轴时， P1P2= （） ； 当 P1P2平行于 y 轴时， P1P2=（） 课内探究学案 一、学习目标 1掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明
11、简单的几何问题. 2通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性. 3体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题. 学习重点：平面内两点间的距离公式. 如何建立适当的直角坐标系. 学习难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题 二、学习过程 问题已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离 |P1P2|? 探究一平面内两点间的距离公式 问题 (1)如果 A、B是 x 轴上两点， C、D是 y 轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么 |AB| 、 |CD| 怎样求 ? (2) 求 B(3，4)
12、 到原点的距离. (3) 设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，求 |AB|. （ 4）同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的( 回忆过程 ) 得到两点P1(x1,y1) 、P2(x2,y2) 的距离公式：|P1P2|= 2 12 2 12 )()(yyxx 例 1 如图 2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4 ，8) ，另一个端点B的纵坐标是3，求这个端点 的横坐标 . 图 2 变式训练1 课本 106 页练习第一题 例 2 已知点 A(-1 ，2) ，B(2，7) ，在 x 轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求 |PA| 的值 . 变式训练2 课本 106
13、页练习第二题. 探究二建立适当的坐标系应用代数问题解决几何问题 例 3 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 上述解决问题的基本步骤学生归纳如下： 思考：同学们是否还有其它的解决办法？ 还可用综合几何的方法证明这道题。 变式训练：已知0x1,0 y1, 求使不等式 222222 )1 ()1 (yxyxyx 22 )1()1(yx22中的等号成立的条件. 学习小结 1. 坐标法的步骤：建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；进行有关的代数运算；把代 数运算结果“翻译”成几何关系. 当堂检测 1. 在 x 轴上求一点P，使 P点到 A(-4 ，3) 和 B(2，6) 两点的
14、距离相等. 2. 求在数轴上，与两点A(-1,3),B(2,4)等距离的点的坐标. 3. 已知三点 A(3，2) 、B(0， 5) 、C(4，6) ，则 ABC的形状是 ( ) A. 直角三角形 B.等边三角形 C. 等腰三角形 D.等腰直角三角形 4. 以 A(5,5) 、 B(1,4) 、C(4,1) 为顶点的 ABC的形状是 ( ) A. 直角三角形 B.等边三角形 C. 等腰三角形 D.等腰直角三角形 参考答案 1. 解: 设点 P坐标为 (x,0)，由 P点到 A(-4 ，3) 和 B(2，6) 两点的距离相等及两点间的距离公式，可得 x= 4 3 ， 即点 P坐标为 ( 4 3 ,
15、0). 2. 答案： ( 3 5 ,0) 或(0,5). 3. 解: 由两点间的距离公式，可得|AB|=18|BC|=|CA|=17，故选 C. 答案： C 4. 答案： C 课后巩固练习与提高 1. 点 M(x,xy) 、N(y,xy) 之间的距离为( ) A.|x+y| B.x+y C.|x-y| D.x-y 2.光线从点 A(-3 ，5)射到 x 轴上，经反射以后经过点B(2，10) ，则光线从A到 B的距离为 ( ) A. 25 B. 52 C. 105 D. 510 3. 已知 A(3，-1) 、B(5，-2) ，点 P在直线 x+y=0 上，若使 PA +PB 取最小值，则P点坐标
16、是 ( ) A.(1 ，-1) B.(-1，1) C.() D.(-2，2) 4. 已知 A(1，3) 、B(5，-2) ，点 P在 x 轴上，则使AP - BP 取最大值的点P的坐标是 ( ) A.(4 ，0) B.(13，0) C.(5，0) D.(1，0) 5. 已知 A(a，3) 、B(3，3a+3) 两点间的距离是5，则 a 的值为 _. 6. 以 A(-1 ，1) 、B(2，-1) 、 C(1，4) 为顶点的三角形是_三角形 . 7. 已知 ABC的顶点坐标为A(3，2) ，B(1，0)，C(，) ，则 AB边上的中线CM的长为 _. 8. 若 2a-b=3，求证：三点A(-2 ，
17、3)、B(3，a) 、 C(8 ,b) 在一条直线上. 9. 如图 3-3-3 ，ABD和BCE是在直线AC同侧的 两个等边三角形，试证明AE=CD. 图 3-3-3 10. 用坐标法证明等腰梯形的两条对角线长相等. 参考答案 1思路解析 : 思路解析 : 考查平面上两点间距离公式. MN= 2222 y2xyx)xy-xy(-y)-(x=|x+y|. 故选 A. 2. 思路解析 : 直接求本题较为麻烦，可以通过对称问题求解.A(-3,5)关于 x 轴的对称点 A(-3 ，-5) ，则 AB即为所求，由两点间距离易求得AB=105. 答案 :C 3. 思路解析 : 点 A(3，-1) 关于直线
18、x+y=0 的对称点为A(1， -3) ，连结AB 与直线 x+y=0 的交点即为所求的 点，直线AB 的方程为y+3= 15 32 (x-1) ，即 y= 4 13 4 1 x，与 x+y=0 联立 , 解得 x= 5 13 ，y= 5 13 . 答案 :C 4. 思路解析 : 点 A(1，3) 关于 x 轴的对称点为A(1， -3) ，连结 AB 交 x 轴于点 P， 即为所求 . 直线 AB 的方程是y+3= 15 32 (x-1)，即 y= 4 13 4 1 x. 令 y=0，得 x=13. 答案 :B 5. 思路解析 : 由两点间距离公式得AB =53)-3a-(33)-(a 22
19、，解之 , 可得 a=-1 或 5 8 . 答案 :-1或 5 8 6. 思路解析 : 本题主要是考查平面上两点间距离公式和三角形形状的判断. 目前，判断三角形的形状主要是利用 三角形的三边关系. 而知道三角形的三个顶点求三角形的三边，主要是利用平面上两点间的距离公式. 由两点间的距离公式可得|AB|=131)-(-11)(2 22 . 同理可得 |AC|=13，|BC|=26. 所以 |AB|=|AC|. 又 AB 2+AC2=BC2=26，所以 ABC为等腰直角三角形 . 答案 : 等腰直角 7. 答案 : 思路解析 : 由中点公式得AB的中点的坐标为M(2， 1). 由两点间的距离公式，
20、有|CM|=61)-3-(12)-3(2 22 . AB边上的中线CM的长为6. 答案 : 6 9. 思路解析 : 本题是证明两线段的相等问题，可以通过坐标法来证，这就需要根据图形的特征建立直角坐标系， 得出相关点的坐标，通过两点间距离公式证明相等 . 解: 以 B为原点， AC所在直线为x 轴建立直角坐标系，设等边ABD 和BCE的边长分别为2a 和 2b，于是可得 相 关 各 点 坐 标 ： B(0 ， 0) ， A(-2a,0)， C(2b,0)， D(-a,a3) ， E(b,b3), 由 两 点 间 的 距 离 公 式 ， 则 |AE|= 2222 4b4ab4ab)3-(0b)(2
21、a， |CD|= 2222 b4ab4aa)3-(0a)(2b，所以 |AE|=|CD| 10. 用坐标法证明等腰梯形的两条对角线长相等. 思路解析 : 根据题意，可将问题用数学表达式写出：已知在等腰梯形ABCD 中，CD AB. 求证：对角线AC=BD. 所以考虑建立适当的直角坐标系，得出相关点的坐标，利用两点间距离公式证明. 解: 设等腰梯形ABCD 中，AB CD ，并设其上、下底边长和高分别为2a、2b 和，建立如图所示直角坐标系，以 下底 AB中点 O为坐标原点，以线段AB的垂直平分线所在直线为y 轴建系，在等腰梯形ABCD 中，CD AB. 可设 A(-a ，0) ，B(a，0) ，D(-b ，c) ，C(b，c) ， 则由两点间距离公式得AC = 22 ca)(b， BD = 2222 cb)(aca)-(-b ， |AC|= BD，即等腰梯形两对角线长相等.