【精选】高一人教版数学必修一练习：预习检测Word版含解析.pdf

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1、精品资料 数学精选教学资料 精品资料 DI YI ZHANG | 第一章集合与函数概念 1.1集合 ?1.1.1集合的含义与表示 课时 1集合的含义 1集合的相关概念 (1)元素 定义：指的是研究对象 表示：用小写的拉丁字母a，b，c，表示 (2)集合 含义：指的是一些元素组成的总体 表示：用大写的拉丁字母A，B，C，表示 (3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的 (4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性 2元素与集合的关系 (1)“属于”： 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作 aA. (2)“不属于”：如果 a 不是集合 A 的元素， 就说 a 不属于集合

2、A， 记作 a?A. 3常见的数集及表示符号 数集 非负整数集 (自然数集 ) 正整数集整数集有理数集实数集 符号NN*或 NZQR 知识点一 集合的概念 1.2016 洛阳高一检测 下列对象能组成集合的是() A中央电视台著名节目主持人 B我市跑得快的汽车 C上海市所有的中学生 D香港的高楼 答案C 解析对 A，“著名”无明确标准；对 B，“快”的标准不确定； 对 D，“高”的标准不确定，因而A、B、D 均不能组成集合而对 C，上海市的中学生是确定的，能组成集合 2已知 a 和 b 都是自然数，且ab，由 a，b，a2，b2，a3，b3 构成的集合 M 中，元素的个数最少为 _ 答案2 个

3、解析 a0， b1， 或 a1， b0， 则 aa2a3，bb2b3， 此时元素的个数最少，只有2 个. 知识点二 元素与集合的关系 3.给出下列关系式：2R,0.3Q,0?N,0N * ， 1 2N * ， ?Z. 其中正确的有 () A3 个B4 个 C5 个D6 个 答案A 解析正确的有2R,0.3Q， ?Z. 4已知集合 A 中只有一个元素 a，则下列各式中正确的是 () A0ABa?A CaADaA 答案C 解析集合 A 中只有一个元素 a，所以 aA. 知识点三 集合中元素特性的应用 5.已知集合 A 中含有两个元素 a 和 a2，若 1A，求实数 a 的值 解若 1A，则 a1

4、或 a21，即 a 1. 当 a1 时，aa2，集合 A 有一个元素， a1. 当 a1 时， 集合 A 含有两个元素 1，1，符合互异性 a1. 易错点 忽视集合中元素的互异性致误 6.方程 x2(a1)xa0 的解集中含有几个元素？ 易错分析本题产生错误的原因是没有注意到字母a 的取值带 有不确定性而得到错误答案两个元素事实上，当a1 时，不满足 集合中元素的互异性 正解x2(a1)xa(xa)(x1)0， 所以方程的解为x11， x2a. 若 a1，则方程的解集中只含有一个元素1；若 a1，则方程 的解集中含有两个元素1，a. 一、选择题 1下列各组对象中不能构成集合的是() A正三角形

5、的全体 B所有的无理数 C高一数学第一章的所有难题 D不等式 2x31 的解 答案C 解析因为 A、B、D 三项可以确定其元素，而C 中难题的标准 无法确定因此选C. 2若 aR，但 a?Q，则 a 可以是() A3.14 B5 C.3 7 D. 7 答案D 解析由题意知 a 是实数但不是有理数，故a 应为无理数 3下列三个结论： 集合 N 中最小的数是 1， a?N，则 aN， aN，bN，则 ab 最小值是 2. 其中正确结论的个数是() A0 B1 C2 D3 答案A 解析因为自然数集中最小的数是0，而不是 1，所以错；对 于，取a2，则2?N，2?N，所以错；对于， a0，b 0 时，

6、ab 取得最小值 0，而不是 2，所以错 42016 衡水高一调研 若集合 M 中的三个元素 a、b、c 分别是 ABC的三边长，则 ABC 一定不是 () A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形D等腰三角形 答案D 解析因为集合中元素具有互异性，所以a，b，c 互不相等，所 以三角形不可能为等腰三角形，选D. 52016 泰安高一检测 下列所给关系正确的个数是() R；3?Q；0N * ；|4|?N *. A1 B2 C3 D4 答案B 解析 是实数，对； 3是无理数，对；0 不属于 N*，错； |4|4,4N*，错，故选 B. 二、填空题 6设直线 y2x3 上的点集为P，点(2,7)与点

7、集 P 的关系为 (2,7)_P(填“”或“ ?”) 答案 解析直线 y2x3 上的点的横坐标x 和纵坐标 y 具有 y2x 3 的关系，即只要具备此关系的点就是集合P 的元素 由于当 x2 时，y2237，故(2,7)P. 7设 P，Q 是两个数集， P 中含有 0,2 两个元素， Q 中含有 1,2 两个元素，定义集合PQ 中的元素是 ab，其中 aP，bQ，则 PQ 中元素的个数是 _ 答案4 解析由于 aP，a0 或 2，bQ，b1 或 2，因此 ab 的值 为 1,2,3,4，共 4 个 82016 连云港高一检测 集合 A 中的元素 x 满足 6 3x N，x N，则集合 A 中的

8、元素为 _ 答案0,1,2 解析由题意知 3x 是 6 的正约数，当 3x1 时，x2；当 3 x2 时，x1；当 3x3 时，x0；当 3x6 时，x3；而 xN，x0,1,2，即集合 A 中的元素为 0,1,2. 三、解答题 9判断下列说法是否正确，并说明理由 (1)某个单位里的年轻人组成一个集合； (2)由 1，3 2， 6 4， 1 2 ，1 2这些数组成的集合有五个元素； (3)由 a，b，c 组成的集合与由 b，a，c 组成的集合是相等的 解(1)不正确因为判断是不是“年轻人 ”没有明确的标准， 对象不具有确定性，不能组成集合 (2)不正确由集合的互异性可知，这个集合是由三个元素组

9、成 的 (3)正确集合中的元素相同，只是次序不同，它们仍表示同一 个集合 10已知集合中含有三个元素： a2，(a1)2，a23a3，且 1 A，求实数 a 的值 解1A， a21 或(a1)21 或 a23a31. a1 或 a0 或 a2. 当 a1 时，集合中的元素为： a21，(a1)20，a23a 31，不符合元素的互异性，舍去； 当 a0 时，集合中的元素为： a22，(a1)21， a23a33，符合元素的互异性； 当 a2 时，集合 A 中的元素为： a20，(a1)21，a2 3a31，不符合元素的互异性，舍去 综上 a0. 课时 2集合的表示 1列举法表示集合 (1)定义：

10、把集合的元素一一列举出来，并用花括号 “ ”括起来表 示集合的方法 (2)形式： Aa1，a2，a3，an 2描述法表示集合 (1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号 及取值 (或变化 )范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素 所具有的共同特征 . 知识点一 用列举法表示集合 1.用列举法表示集合( x，y)|(x1) 2 |y1|0，x，yR 为 _ 答案(1,1) 解析因为(x1)20，|y1|0，所以 (x1)20 且|y1|0， 故有 x1 且 y1，因此答案为 (1,1) 2已知集合 Ax|x5，则 MN

11、() Ax|x3 Bx|55 答案A 解析由题意画出数轴 可知， MNx|x3 知识点二 交集的运算 3.已知集合 A 1,0,1， Bx|1x1 解析结合数轴可知 a1. 知识点三 并集、交集运算的应用 5.设集合 A2，Bx|ax10，aR，若 ABB，求 a 的值 解ABB，B? A. A2?，B?或 B?. 当 B?时，方程 ax10 无解，此时 a0. 当 B?时，此时 a0，则 B 1 a ， 1 aA，即有 1 a 2，得 a1 2. 综上， a0 或 a1 2. 易错点 忽略空集致误 6.集合 A x|x23x20 ，Bx|x22xa10，若 AB B，则 a 的取值范围是 _

12、 易错分析本题由 ABB 得 B? A，则 B1 或 B2 或 B 1,2 ，忽视了 B?的可能性，从而导致a 的取值范围错误 答案a|a2 正解由题意得 A1,2 ， ABB，B? A，B?或 B1 或 B2 或 B1,2 当 B?时， 44(a1)2. 当 B1 时， 1221a10 44 a1 0 ，得 a2. 当 B2 时， 2 24a10 44 a1 0 ，无解 当 B1,2 时，此时 a 无解 综上可知， a 的取值范围是 a|a2. 一、选择题 1若集合 A0,1,2,3 ，B1,2,4 ，则集合 AB() A0,1,2,3,4 B1,2,3,4 C1,2 D0 答案A 解析由并

13、集的概念，可得AB0,1,2,3,4 2已知集合 M(x，y)|xy2，N(x，y)|xy4，那么 集合 MN 为() Ax3，y1 B(3，1) C3，1 D(3 ，1) 答案D 解析要求集合 M 与 N 的公共元素， xy2 xy4 解得 x3 y1 MN(3 ，1)，选 D. 3设全集UR，A xN|1x10，BxR|x 2x6 0，则右图中阴影部分表示的集合为() A2 B3 C3,2 D2,3 答案A 解 析注意 到集合A 中 的元 素为自 然数， 因此易知A 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，而直接解集合 B中的方程可知 B3,2，因 此阴影部分显然表示的是AB2 ，选 A

14、. 4满足 M? a1，a2，a3，a4，且 Ma1，a2，a3a1，a2 的集合 M 的个数是 () A1 B2 C3 D4 答案B 解析直接列出满足条件的M 集合有 a1，a2、a1，a2，a4， 因此选 B. 5集合 Ax|1x2，Bx|x5 (1)若 AB?，求 a 的取值范围； (2)若 ABB，求 a 的取值范围 解(1)要使 AB?， 则需满足下列不等式组 a35， a1， 解此不等式组得 1a2， 即 a 的取值范围是 a|1a2 (2)要使 ABB，即 A 是 B 的子集， 则需满足 a35， 解得 a5 或 a5 或 a3，A1,2,3,4 ， A(?UB)1,4 5已知集

15、合 Ax|x 2ax12b0和 Bx|x2axb0，满 足(?UA)B2 ，A(?UB)4 ，UR，求实数 a，b 的值 解(?UA)B2 ，2B，42ab0. 又A(?UB)4 ，4A，164a12b0. 联立，得 42ab0， 164a12b0， 解得 a 8 7， b 12 7 . 易错点 遗漏端点致误 6.设 U 为实数集，集合 M x|03，A(? RB)x|31； 若集合 A 恰有一个真子集，这时集合A 必为单元素集，可分为 两种情况： a0 时，方程为 2x10，x 1 2； a0 时，则 44a0，a1. 综上，当集合A 至多有一个真子集时，实数a 的取值范围为 a|a1 或

16、a0 122016 许昌五校高一联考 已知集合 Ax|x 23x20，B x|x2axa10，若 ABA，求实数 a 的值 解依题意得 Ax|x23x201,2 因为 ABA，所以 B? A，所以集合 B 可分为1,2 ，1 ，2 ， 或?. 当 B1,2 A 时，有 a12 a112 ，所以 a3 符合题意； 当 B1 时，有 a 24 a1 0 1a a1 0 ，所以 a2 符合题意； 当 B2 时，有 a24 a1 0 222a a1 0 ，无解； 当 B?时，即方程 x2ax(a1)0 无实根， 所以 a24(a1)a (a， ) (， )数轴上的所有点 知识点一 函数的概念 1.函数

17、符号 yf(x)表示() Ay 等于 f 与 x 的乘积Bf(x)一定是一个式子 Cy 是 x 的函数D对于不同的 x，y 也不同 答案C 解析符号 yf(x)，即“y 是 x 的函数 ”的数学表示，它仅仅是 函数符号，不是表示 “y 等于 f 与 x 的乘积 ”， f(x)也不一定是解析式， 可以是图象、表格，也可以是文字叙述，故A、B 错误；当 yx2时， x1 或 x1 时，y1，故 D 错误 22016 北师大附中月考下列图形中不是函数的图象的是 () 答案B 解析对于图 B，取 x1，由图可知有 2 个 y 值与之对应，故 B 中图象不是函数图象 . 知识点二 函数值问题 3.201

18、6 福建六校高一联考 由下表给出函数yf(x)，则 ff(1)等 于() x 12345 y 45321 A.1 B2 C4 D5 答案B 解析由题可知， f(1)4，ff(1)f(4)2，故选 B. 4已知 f(x)x 21，g(x)3x2.则 fg(x)_. 答案9x 212x5 解析因为 f(x)x21，g(x)3x2， 所以 fg(x)(3x2)219x212x5. 知识点三 区间的表示 5.将下列集合用区间表示 (1) x|x2 或 x0 时，一个 x 存在两个 y 与之对应， 不是函数，故选 B. 3下列函数中，不满足f(2x)2f(x)的是() Af(x)|x| Bf(x)x|x

19、| Cf(x)x1 Df(x)x 答案C 解析将 f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等 对于 A，f(2x)|2x|2|x|2f(x)； 对于 B，f(2x)2x|2x|2(x|x|)2f(x)； 对于 C，f(2x)2x12f(x)； 对于 D，f(2x)2x2f(x)， 故只有 C 不满足 f(2x)2f(x)，所以选 C. 42015 许昌五校高一联考 下列各组函数中表示同一函数的是 () f(x)2x3与 g(x)x 2x；f(x)|x|与 g(x) 3 x 3；f(x)x0 与 g(x) 1 x0；f(x)x 22x1 与 g(t)t2 2t1. AB CD 答案C 解析中，两

20、函数定义域相同， 都是(， 0， 但 f(x)2x 3 x 2x与 g(x)对应关系不同， 不是同一函数；中，两函数定义 域相同，都是 R，但 g(x) 3 x 3x 与 f(x)对应关系不同，不是同一函 数；中，定义域相同，对应关系也相同；中虽然表示自变量的字 母不相同，但两函数的定义域和对应关系都相同故选C. 52016 西安高一检测 下列式子中不能表示函数yf(x)的是 () Axy2Byx1 Cxy0 Dyx2 答案A 解析根据函数的定义判断，由于A 中对于一个确定的x，有 2 个 y 与它对应，所以不符合函数的定义要求，故选A. 二、填空题 6已知 f(x)(xR)，则 f(x2)_

21、. 答案 解析由函数的定义可知， f(x2). 7若a,3a1为一确定区间，则a 的取值范围是 _ 答案 1 2， 解析3a1a 则 a1 2，故 a 的取值范围是 1 2， . 8已知函数 f(x)的定义域为 (0， )，且满足 f(2)1， f(xy)f(x) f(y)，则 f(1)_，f(4)_. 答案02 解析f(xy)f(x)f(y)， f(2)f(21)f(2)f(1)，f(1)0. 又f(4)f(22)f(2)f(2)2f(2)2. 三、解答题 9判断下列各组的两个函数是否相等，并说明理由 (1)yx1，xR 与 yx1，xN； (2)yx 2与 y xx； (3)y1 1 x与

22、 y1 1 u. 解(1)前者的定义域是R，后者的定义域是 N，由于它们的定义 域不同，故两个函数不相等 (2)前者的定义域是 R，后者的定义域是 x|x0 ，它们的定义域 不同，故两个函数不相等 (3)两个函数的定义域相同(均为非零实数 )，对应关系相同 (都是 自变量取倒数后加1)，故两个函数相等 10已知 f(x) x 2 1x 2，xR. (1)计算 f(a)f 1 a 的值； (2)计算 f(1)f(2)f 1 2 f(3)f 1 3 f(4)f 1 4 的值 解(1)由于 f(a) a2 1a2，f 1 a 1 1a2，所以 f(a)f 1 a 1. (2)解法一：因为 f(1)

23、12 112 1 2，f(2) 2 2 122 4 5， f 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 5，f(3) 32 13 2 9 10， f 1 3 1 3 2 1 1 3 2 1 10，f(4) 42 14 216 17， f 1 4 1 4 2 1 1 4 2 1 17，所以 f(1)f(2)f 1 2 f(3)f 1 3 f(4)f 1 4 1 2 4 5 1 5 9 10 1 10 16 17 1 17 7 2. 解法二：由(1)知 f(a)f 1 a 1，所以 f(2)f 1 2 1，f(3)f 1 3 1， f(4)f 1 4 1，又 f(1) 12 11 2 1 2， 所以

24、 f(1)f(2)f 1 2 f(3)f 1 3 f(4)f 1 4 1 2111 7 2. 课时 7函数的定义域、值域 1函数的定义域是自变量的取值集合 2函数的值域是函数值的取值集合 3函数定义域的求法 (1)y 1 f x 中 f(x)0. (2)yf x 中 f(x)0. (3)yf(x)0中 f(x)0. (4)当 f(x)由几部分构成时， 定义域是使各部分都有意义的实数的 集合 (5)若 f(x)是由实际问题列出的， 则定义域是使解析式本身有意义 且符合实际意义的实数的集合. 知识点一 已知函数解析式求定义域 1.2016 郑州高一检测 函数 y1xx的定义域为 () Ax|x1

25、Bx|x0 Cx|x1，或 x0 Dx|0x1 答案D 解析由 1x0， x0， 解得 0x1，故选 D. 22016 重庆一中高一检测函数f(x) 2x3 x1 的定义域是 _ 答案x x 3 2 且x1 解析若使函数有意义，则2x30 且 x10. x 3 2 且 x1. 定义域为x x 3 2且x1 . 知识点二 抽象函数的定义域 3.已知函数f(x)的定义域为 1,1，则函数f(2x1)的定义域为 _ 答案0,1 解析f(x)的定义域为 1,1， 12x11，0x1. 函数 f(2x1)的定义域为 0,1. 知识点三 简单函数的值域 4.2016 荆门高一检测 若函数yf(x)的定义域

26、为 x|3x8， x5，值域为 y|1y2，y0，则 yf(x)的图象可能是 () 答案B 解析由 yf(x)的定义域为 x|3x8 且 x5，排除 A、D， 再由函数的定义知，对任意一个x 值都有唯一确定的y 值与它对应， 排除 C，故选 B. 5已知函数 f(x)x 22x(1x2) (1)画出 f(x)的图象； (2)根据图象写出 f(x)的值域 解(1)f(x)的图象如图所示 (2)观察 f(x)的图象可知， f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围 是1,3，则 f(x)的值域是 1,3. 易错点 求函数定义域时忽视细节致误 6.求函数 y11 x的定义域 易错分析解本题时考虑到 11

27、 x0 解出 x 的取值范围，未考虑 到 x0 导致定义域解错 正解 11 x0 x0 解得 x1 或 x0. 所以函数的定义域为 (， 1(0， ) 一、选择题 12016 广东深圳中学月考 已知函数 y 1x 2x 23x2，则其定义 域为() A(，1 B(， 2 C. ， 1 2 1 2，1 D. ， 1 2 1 2，1 答案D 解析要使式子 1x 2x23x2有意义， 则 1x0 2x23x20 ，即 x1 x2且x1 2 ， 所以 x1 且 x 1 2， 即该函数的定义域为， 1 2 1 2 ，1 ，故选 D. 22016 北京海淀期末 函数 yx21，1x0 时，值域为 1，)，

28、a0 时，值域为 4a1 4a ， ； D 中函数的值域为 4a2 4 ， . 5下列函数中，值域为 (0，)的是() AyxBy 1 x Cy1 x Dyx21 答案B 解析A 中 x0，所以 y0；B 中 x0，所以 y0；C 中 x0， 所以 y0；D 中，xR，所以 y1，故选 B. 二、填空题 6已知函数 f(x)2x3，xxN|1x5 ，则函数 f(x)的值 域为_ 答案1,1,3,5,7 解析xxN|1x51,2,3,4,5 ，x1 时 y1；x2 时 y1；x3 时，y3；x4 时，y5；x5 时，y7，y 1,1,3,5,7 7已知f(2x1)的定义域为 1,1，则函数f(x

29、)的定义域为 _ 答案3,1 解析f(2x1)的定义域为 1,1， x1,1 令 t2x1， 3t1. f(x)的定义域为 3,1 8若函数 f(x)的定义域是 0,1，则函数 f(2x)f x 2 3 的定义域为 _ 答案0， 1 3 解析由 02x1， 0x 2 31， 得 0x1 2， 2 3x 1 3. 即 x 0， 1 3 . 三、解答题 9求下列函数的定义域 (1)f(x) 5x |x|3 ； (2)yx11x. 解(1)要使函数有意义， 则 5x0， |x|30， 即 x5， x 3， 在数轴上标出， 如图，即 x0 ， 1 x0 ， x21 x0 ，NR，f：x|y|x2 BM

30、2,0,2，N4 ，f：xyx2 CMR，Ny|y0 ，f：xy 1 x2 DM0,2 ，N0,1 ，f：xy x 2 答案D 解析A 中，当 x2 时，y 4，不符合； B 中，x0，没有 y 与之对应，不符合； C 中，x0 时，没有 y 与之对应，不符合，选 D. 知识点三 分段函数的应用 4.李明放学回家的路上，开始和同学边走边讨论问题，走得比较 慢， 然后他们索性停下来将问题彻底解决， 最后他快速地回到了家 下 列图象中与这一过程吻合得最好的是() 答案D 解析由题意可知李明同学离家的距离先是变化得比较慢，然后 保持不变，最后快速变化直至为0，只有 D 项符合题意 5已知 f(x)

31、x2，x1， 2x，10 时，1a1，由 f(1a)f(1a)可得 2 2aa1a2a，解得 a 3 2，不合题意；当 a1,1 a0. 若 f(4)f(0)，f(2) 2，则关于 x 的方程 f(x)x 的解的个数为 () A1 B2 C3 D4 答案C 解析由 f(4)f(0)，f(2)2，得 4 24bcc， 2 22bc2， 解得 b4， c2. f(x) x24x2 x0 ， 2 x0 . 方程 f(x)x 等价于 x0， 2x 或 x0， x 24x2x. 解得 x2 或 x1 或 x2，选 C. 52016 济宁高一检测 已知 f(x) 2x，x0， f x1 ，x0， 则 f

32、4 3 f 4 3 等于() A2 B4 C2 D4 答案B 解析由题意知 f 4 3 24 3 8 3 ， f 4 3 f 4 31 f 1 3 f 1 31 f 2 3 2 2 3 4 3，f 4 3 f 4 3 8 3 4 34. 二、填空题 6函数 f(x) 2xx 2，00 且 l 2x x 2 0， 解得 00. 一、选择题 1下列表格中的 x 与 y 能构成函数的是 () 答案C 解析选项 A 中 x0 时，分别对应 1， 1，不符合函数定义； 选项 B 中的偶数没有对应值，不符合函数定义；选项D 中的自然数 分别对应 1,0，1，不符合函数定义故选C. 2已知 f(x1)x 2

33、1，则 f(x)的表达式为 ( ) Af(x)x 22x Bf(x)x22x Cf(x)x 22x2 Df(x)x22x2 答案B 解析解法一：令 x1t，则 xt1，所以 f(t)(t1)21 t 22t.故 f(x)x22x.故选 B. 解法二：f(x1)x21(x11) 21，即 f(x)(x1)21x2 2x，故选 B. 32016 福建厦门一中月考 函数 f(x)|x1|的图象是 () 答案B 解析由 f(x)|x1|得 f(x) x1，x1 1x，x1. 三、解答题 9设 f(x)是 R 上的函数， 且满足 f(0)1，并且对任意实数 x，y， 有 f(xy)f(x)y(2xy1)

34、，求 f(x)的解析式 解对任意实数 x，y，有 f(xy)f(x)y(2xy1)， 令 yx， 有 f(0)f(x)x(2xx1)， 即 f(0)f(x)x(x1)又 f(0)1， f(x)x(x1)1x2x1. 故 f(x)x2x1. 102016 甘肃庆阳一中月考 在交通拥挤及事故多发地段， 为了 确保交通安全， 规定在此地段内， 车距 d(米)是车速 v(千米/小时)的平 方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的 一半现假定车速为50 千米/小时，车距恰好等于车身长，试写出d 关于 v 的函数关系式 (其中 S为常数 ) 解根据题意可设 dkv2S(k0) 当 v

35、50 时，dS，代入 dkv2S中，解得 k 1 2500. d 1 2500v 2S.当 dS 2时，解得 v25 2. d S 2，0v0时， 0，当x0时， 1，当x0 时，sgnx1， 方程为 x12x1，解得 x2； 当 x0 时，sgnx0， 方程为 x11，解得 x0； 当 x0) 在区间 1,3上有最大值 5 和最小值 2，求 a，b 的值 解依题意，函数 f(x)的图象的对称轴为直线x1，函数 f(x)的 值在1,3上随着 x 的增大而增大， 故当 x3 时， 该函数取得最大值，即 f(x)maxf(3)3ab35， 当 x1 时，该函数取得最小值， 即 f(x)minf(1

36、)ab32， 所以联立方程得 3ab2 ab1 ，解得 a3 4，b 1 4. 12当 m 为何值时，方程 x24|x|5m 有四个互不相等的实数 根？并讨论m 为何值时，方程有三个实数根，两个实数根，没有实 数根 解直接解方程会比较麻烦， 借助于图象较容易找到答案 先作 出 yx24|x|5 的图象，如下图所示，从图中可以直接看出：当 15 或 m1 时，方程有 2 个不相等的实数根； 当 mf(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D 上是减 函数 (3)如果函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函 数 yf(x)在这一区间具有 (严格的)单调性，区间 D 叫做 yf(x)

37、的单调 区间 2用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值 (2)作差变形 (3)判断符号 (4)结论 知识点一 函数单调性的概念 1.对于函数 yf(x)，在给定区间内有两个值x1，x2，且 x14，x1x240， f(x1)f(x2)2，由于忽视了端点值而得出a2 的错误结论 答案a2 正解y x xa1 a xa依题意，得函数的单调增区间为 (， a)，(a， )，要使函数在 (2， )上为增函数，只要 2 a，即 a2. 一、选择题 1设函数 f(x)(2a1)xb 是 R 上的减函数，则有 () Aa1 2 Ba1 2 Ca1 2 Da0 B(x1x2)f(x1)f(x2)0 Cf(a)

38、0 答案C 解析f(x)在a，b上是增函数，对于任意的x1，x2a， b(x1x2)，x1x2与 f(x1)f(x2)的符号相同，故 A、B、D 都正确 5函数 f(x)在区间 (2,3)上是增函数，则yf(x4)的递增区间 是() A(2,7) B(2,3) C(6，1) D(0,5) 答案C 解析由 f(x)在(2,3)上是增函数知， 20，x1x20， f(x1)0)，试 判断 F(x) 1 f x 在(0，)上的单调性，并加以证明 解F(x) 1 f x 在(0，)上为减函数 证明如下：任取x1，x2，使 00 时，f(x)0. 又yf(x)在(0，)上为增函数， f(x2)f(x1)

39、，即 f(x1)f(x2)0 时，它的单调增区间为 (， ) 当 a0 时，它的单调增区间为 b 2a， ，它的单调减区间 为 ， b 2a . 当 a0)的单调递减区间为 (， 0)，(0，) yk x(k1 的减区间是 _ 答案(0,1 解析作出 f(x)的图象，如图所示，可知函数在 (0,1上为减函数， f(x)的减区间为 (0,1 知识点二 比较大小 3.已知函数 f(x)在(，)内是减函数，a， bR， 且 ab0， 则一定有 () Af(a)f(b)f(a)f(b) Bf(a)f(b)f(a)f(b) Cf(a)f(b)f(a)f(b) Df(a)f(b)f(a)f(b) 答案D

40、解析ab0，ab，且 ba. f(x)在(，)内是减函数， f(a)f(b)且 f(b)f(a) f(a)f(b)f(a)f(b) 42016 益阳高一检测 设函数 f(x)满足：对任意的 x1，x2R 都 有(x1x2)f(x1)f(x2)0，则 f(3)与 f()的大小关系是 _ 答案f(3)f() 解析由(x1x2)f(x1)f(x2)0 可知函数f(x)为增函数，又因为 3 ，所以 f(3)f(). 知识点三 函数单调性的简单应用 5.已知 f(x)是定义在区间 1,1上的增函数，且 f(x2)2a1 来解，容易忽视定义域 (1,1)导致错误 正解由题意知： 12a1 解得： 0f(m

41、9)，则实数 m 的取值范围是 () A(， 3) B(0， ) C(3， ) D(， 3)(3， ) 答案C 解析因为函数 yf(x)在 R 上为增函数，且f(2m)f(m9)， 所以 2mm9，即 m3，故选 C. 42015 衡水高一调研 已知函数f(x) a3 x4，x1 2a x ，x1 是 (， )上的减函数，那么a 的取值范围是 () A(0,3) B(0,3 C(0,1) D(0,1 答案D 解析若 f(x)在 R 上递减，则 a30， a3 42a， 解得 0f(x2)，则 x1与 x2的大小关系 是_ 答案x1x2 解析因为 f(x)是 R 上的增函数，所以f(x1)f(x

42、2)时，x1x2. 7函数 f(x) ax1 x2 (a 为常数 )在(2,2)内为增函数， 则实数 a 的 取值范围是 _ 答案a1 2 解析函数 f(x)ax1 x2 a 12a x2 ，由于 f(x)存在增区间，所以 12a0，即 a1 2. 8已知函数 yf(x)在0，)上是减函数，则 f 3 4 _f(a2 a1)(填“”“” “”“x11，所以 x2 110，x 2 210，x2x10，x2x10， 所以 f(x1)f(x2)0， 即 f(x1)f(x2)， 所以函数 f(x) 1 x 21在(1，)上是减函数 10已知定义在 R 上的函数 f(x)，对任意 x1，x2R，且 x1x2， 总有(x1x2)f(x1)f(x2)0，且函数 f(x)的图象经过点 A(5，2)，若 f(2m1)2，求 m 的取值范围 解对任意x1，x2R，且 x1x2，总有 (x1x2)f(x1)f(x2) 0， f(x)在 R 上是增函数 又 f(x)的图象经过点 A(5，2)，f(