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1、1 第九节函数与方程 知识能否忆起 1函数的零点 (1)定义： 对于函数 yf(x)(xD)，把使 f(x)0 成立的实数x 叫做函数yf(x)(xD)的零点 (2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x 轴交点间的关系： 方程 f(x)0 有实数根 ? 函数 yf(x)的图象与x 轴有交点 ? 函数 yf(x)有零点 (3)函数零点的判定(零点存在性定理)： 如果函数yf(x)在区间 a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)0)的图象与零点的关系 0 0 0 二次函数yax2bx c (a0)的图象 与 x 轴的交点(x1,0)， (x2,0) (x1,0)无交点 零点
2、个数两个一个零个 3.二分法 对于在区间 a，b上连续不断且f(a) f(b)0.函数 f(x)在 R 上单调递增 f(1) e 1(1)4 5 e10，f(1)f(2)0， 则函数 yf(f(x)1 的零点个 数是 () A4 B3 C2 D1 自主解答 (1)在同一平面直角坐标系内作出y1x1 2与 y2 1 2 x 的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点，因此函 数 f(x)x1 2 1 2 x 只有 1 个零点 (2)由 f(f(x)10 可得 f(f(x) 1， 又由 f(2)f 1 2 1. 可得 f(x) 2 或 f(x) 1 2. 若 f(x) 2，则 x 3 或 x1
3、4； 若 f(x)1 2，则 x 1 2或 x 2， 综上可得函数yf(f(x)1 有 4 个零点 答案 (1)B(2)A 由题悟法 判断函数零点个数的常用方法 (1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点 (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a) f(b)0 时， f(x)0，函数 f(x)在(0， )上是增函数 故 f(x)minf(0)1a. 若函数 f(x)有零点，则f(x)min0， 即 1a0，得 a 1. 答案 (， 1 若函数变为f(x)ln x2xa，其他条件不变，求a的取值范围 解： f(x)ln x
4、2xa， f(x) 1 x2. 令 f(x)0，得 x1 2. 当 01 2时， f (x)1， 则函数 f(x)的零点为 () A. 1 2，0 B 2,0 C.1 2 D0 解析： 选 D当 x 1 时，由 f(x)2x10，解得 x0；当 x1 时，由 f(x)1log2x 0，解得 x 1 2，又因为 x1，所以此时方程无解综上函数f(x)的零点只有0. 2设 f(x)x 3bxc 是1,1上的增函数，且 f 1 2 f 1 2 0，f(3)0，f(5)0，所以 y2x没有零点，同 样 y 2 x 也没有零点；f(x)xx 1，当 x0 时， f(x)2，当 x0， 0，x0， 1 x
5、，x0 可得其 中一个零点x0_，第二次应计算_ 解析：因为 f(x)x33x1 是 R 上的连续函数， 且 f(0)0 ，则 f(x)在 x (0,0.5) 上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号 答案： (0,0.5)f(0.25) 8若函数f(x)a xx a(a0 且 a1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是_ 解析： 函数 f(x)的零点个数就是函数yax与函数yxa 的图象交点的个数，易知当 a1 时，两图象有两个交点；当00，则应有f(2)0)的解集为 P，则 P 中所 有元素的和可能是() A3,6,9 B 6,9,12 C9,12,15 D 6,12,15 解
6、析： 选 B如图， 函数 y|x 26x|的图象关于直线 x3 对称， 将直 线 ya 从下往上移动可知：P 中所有元素的和可能是6,9,12. 2 已知函数f(x) x2，x0， x 2bxc，x0 满足 f(0) 1， 且 f(0)2f(1)0， 那么函数g(x) f(x)x 的零点个数为_ 解析： f(0)1， c 1.又 f(0) 2f(1)0， f(1) 1b1 1 2，得 b 1 2. 当 x0 时， g(x)2x20 有唯一解 x 1；当 x0 时， g(x) x23 2x1，令 g(x)0， 得 x2(舍去 )或 x 1 2，即 g(x)0 有唯一解综上可知， g(x)f(x)
7、x 有 2 个零点 答案： 2 3已知二次函数f(x)ax 2bxc. (1)若 abc，且 f(1)0，试证明f(x)必有两个零点； (2)若对 x1， x2R，且 x1bc， a0，c0，方程 ax 2bxc0 有两个不等实根，函数 f(x)有两个 零点 (2)令 g(x)f(x) 1 2f(x1)f(x2)，则 g(x1)f(x1) 1 2f(x1)f(x2) f x1f x2 2 ， g(x2)f(x2) 1 2f(x1)f(x2) f x2f x1 2 ， g(x1) g(x2) f x1f x2 2 f x2f x1 2 1 4f(x1)f(x2) 2. f(x1)f(x2)， g
8、(x1) g(x2)x，故函数 f(x)2x不存在等值区间；由于x3x 有三个不相等的实根x1 1，x2 0， x31，故函数 f(x) x 3 存在三个等值区间1,0，0,1， 1,1；由于 sin xx 只有唯一的 实根 x 0，结合函数图象，可知函数f(x)sin x不存在等值区间；由于log2x1x 有实根 x11，x22，故函数 f(x)log2x1 存在等值区间 1,2 答案： 2m 为何值时， f(x)x 22mx3m 4. (1)有且仅有一个零点； (2)有两个零点且均比1 大 解： (1)若函数 f(x)x22mx3m4 有且仅有一个零点， 则等价于 4m24(3m4)0， 即 m 23m40， 解得 m4 或 m 1. (2)设两零点分别为x1，x2，且 x11，x21， x1x2. 则 x1x2 2m，x1 x23m 4， 故只需 4m 24 3m4 0， x11 x2 1 0， x11 x21 0 ? m 23m40， 2m20， 3m4 2m 10 ? m4， m 5. 故 m 的取值范围是m|5m1