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1、1 / 7 例析反函数的几种题型及解法 反函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。在历年高考中也占有一定的比例。 为了更好地掌握反函数相关的内容，本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法。 一 . 反函数存在的充要条件类型 例 1. （ 2004 年北京高考）函数 f xxax( ) 2 23在区间12，上存在反函数的充要条件是（） A. a，1B. a2， C. a，12D. a12， 解读：因为二次函数fxxax( ) 2 23不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间，a 或a， 上是单调函数。 而已知函数fx( )在区间 1，2上存在反函数 所以12，a 或者12，a
2、 即a 1或a2 故选（ C） 评注：函数yf x( )在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。特别 地：如果二次函数yfx( )在定义域内的单调函数，那么函数f（ x）必存在反函数；如果函数f（x）不是 定义域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数f（ x）在这个子区间上必存在 反函数。 二 . 反函数的求法类型 例 2.（2005 年全国卷）函数yxx 23 10()的反函数是（） A. yxx() ()11 3 B. yxx() ()11 3 C. yxx() ()10 3 D. y xx() ()10 3 2 / 7 解读：由x0可得x2
3、3 0，故y1 从yx 23 1解得xy()1 3 因x0 所以xy()1 3 即其反函数是yxx() ()11 3 故选（ B）。 评注：这种类型题目在历年高考中比较常见。在求反函数的过程中必须注意三个问题： （1）反函数存在的充要条件是该函数在某一区间上是一一映射； （2）求反函数的步骤：求原函数的值域，反表示，即把x 用 y 来表示，改写，即把x 与 y 交 换，并标上定义域。其中例3 在反表示后存在正负两种情况，由反函数存在的充要条件可知，只能根据函 数的定义域（x0）来确定xy()1 3 ，再结合原函数的值域即可得出正确结论。另外，根据反函数 的定义域即为原函数的值域，所以求反函数时
4、应先求出原函数的值域，不应该直接求反函数的定义域。例 如：求yxxx 2 231()的反函数。 由x1可得y y|0 反表示解出xy14 由x1应取xy14 即xy14 所以y xx140()为其反函数。 （3） f（x）与fx 1( ) 互为反函数，对于函数yfx()1来说，其反函数不是yfx 1 1()，而是 yfx 1 1( )。同理yfx 1 1()的反函数也不是yf x()1，而是yfx( )1。 三 . 求反函数定义域、值域类型 例3. （ 2004年北京春季）若fx 1( ) 为函数fxx( )lg()1的反函数，则f 1 （ x）的值域为 _ 。 解读：通法是先求出f（x）的反
5、函数fx x1 101( )，可求得f 1 （x）的值域为()1，而利 用反函数的值域就是原函数的定义域这条性质，立即得f 1（x）的值域为 ()1，。 3 / 7 评注：这种类型题目可直接利用原函数的定义域、值域分别是反函数的值域和定义域这一性质求解。 四 . 反函数的奇偶性、单调性类型 例 4.函数y ee xx 2 的反函数是（） A. 奇函数，在（0，）上是减函数 B. 偶函数，在（0，）上是减函数 C. 奇函数，在（0，）上是增函数 D. 偶函数，在（0，）上是增函数 解读：因为e x 在（0，）上是增函数，e x 在（0，）上是减函数 所以y ee xx 2 在（0，）上是增函数
6、易知y ee xx 2 为奇函数 利用函数yfx( )与 f 1 （ x）具有相同的单调性，奇函数的反函数也为奇函数这两条性质，立即选 （C）。 五 . 反函数求值类型 例5. （ 2005年 湖 南 省 高 考 ） 设 函 数f（ x ） 的 图 象 关 于 点 （ 1 ， 2 ） 对 称 ， 且 存 在 反 函 数 fxf 1 40( )( )，则f 1 4( )_。 解读：由f ( )40，可知函数f（x）的图象过点（4，0）。而点（ 4，0）关于点（ 1，2）的对称点 为（ -2，4）。由题意知点（-2，4）也在函数f（ x）的图象上，即有f ()24，所以f 1 42( )。 评注：
7、此题是关于反函数求值的问题，但又综合了函数图象关于点的对称问题。在反函数求值时经常 要用到这条性质：当函数f（x）存在反函数时，若af b( )，则b fa 1 ( )。 如 （ 2004年 湖 南 省 高 考 ） 设f 1 （ x ） 是 函 数fxx( )log () 2 1的 反 函 数 ， 若 118 11 fafb( )( )，则f ab()的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 / 7 log23 分析：直接利用：若af b( )，则bfa 1( ) 。 选（ B）。 六 . 反函数方程类型 例6. （ 2004年 上 海 市 高 考 ） 已 知 函 数f x x (
8、)log 3 4 2， 则 方 程f 1 （ x ） =4的 解 x=_。 解读：当函数f（x）存在反函数时，若af b( )，则bfa 1( ) 。所以只需求出f ( )4的值即为f 1 （x）=4 中的 x 的值。易知f ( )41，所以x1即为所求的值。 评注：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求。即先求出反函数f 1（x）的解读式，再解方程 f 1（x）=4，也可得 x1。 七 . 反函数不等式类型 例 7. （2005 年天津市高考）设f 1（x）是函数 fx aa a xx ( )() 2 1的反函数，则f 1（x）1 成 立时 x 的取值范围是（） A. a a 2 1 2
9、， B. ， a a 2 1 2 C. a a a 2 1 2 ，D. ()a， 解读：由a1，知函数f（x）在 R 上为增函数，所以f 1（ x）在 R 上也为增函数。 故由 f 1（x）1，有 xf ( )1 而fa a a a ( )1 1 2 11 2 2 可得x a a 2 1 2 故选（ A）。 评注：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求，但比较繁琐。而下面的题目选用常规方法解则 5 / 7 更为简便。 如（ 2004 年湖南省高考）设f 1 （x）是函数fxx( )的反函数，则下列不等式中恒成立的是（） A. fxx 1 21( )B. fxx 1 21( ) C. fxx
10、1 21( )D. fxx 1 21( ) 分析：依题意知 fxxx 12 0( )()。画出略图，故选（A）。 八 . 反函数的图象类型 例 8. （2004 年福建省高考）已知函数yxlog 2 的反函数是 yfx 1( ) ，则yfx 1 1()的图象是 （） 解读：由题意知fx x1 2( ) 则fx xx x 111 1 122 1 2 () () 所以yfx 1 1()的图象可由y x 1 2 的图象向右平移1 个单位而得到。 故选（ C）。 评注：解反函数的图象问题，通常方法有：平移法，对称法等。对称法是指根据原、反函数的图象关 于直线yx对称来求解；特殊地，若一个函数的反函数是
11、它本身，则它的图象关于直线y=x 对称，这种函 数称为自反函数。 九 . 与反函数有关的综合性类型 例 9.（2003 年黄冈市模考）设xR，f（x）是奇函数，且fx aa x x ()2 4 41 2 。 （1）试求 f（ x）的反函数f 1 （x）的解读式及f 1 （x）的定义域； 6 / 7 （2）设g x x k ( )log 2 1 ，若x 1 2 2 3 ，时，fxg x 1( ) ( )恒成立，求实数k 的取值范围。 解读：（ 1）因为 f（x）是奇函数，且xR 所以fa a ( )00 1 0 2 ，即 得a1 所以fx x x ( ) 21 21 可求得fx( )()11，
12、令y x x 21 21 ，反解出 2 1 1 1 1 2 x y y x y y ，log 从而fx x x x 1 2 1 1 11( )log()， （2）因为x 1 2 2 3 ，所以k0 由f xg x 1 ( )( )得 logloglog 2 2 2 2 1 1 11x x x k x k 所以 1 1 1 2 x x x k 即kx 22 1对x 1 2 2 3 ，恒成立 令h xx( )1 2 其在 1 2 2 3 ，上为单调递减函数 则h xh( )min 2 3 5 9 所以kh x 2 5 9 ( )min 7 / 7 又k0，故实数k 的取值范围是0 5 3 k 评注：本题综合了反函数与函数的奇偶性，换元法求函数的解读式，对数不等式的解法以及含参不等 式在定区间上恒成立等知识，是一道综合性较强的好题。