高考数学-三角函数大题综合训练.pdf

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1、三角函数大题综合训练 一解答题（共30 小题） 1（2016?白山一模）在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为a， b， c， 已知= （1）求角 C 的大小， （2）若 c=2，求使 ABC 面积最大时a，b 的值 2 （ 2016?广州模拟）在 ABC 中，角 A、B、C 对应的边分别是a、b、 c，已知 3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos 2 A （I）求角 A 的大小； （）若 ABC 的面积 S=5，b=5，求 sinBsinC 的值 3 （ 2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos 2x sinxcosxsin 2x （）求函数f（x）取得最大值时

2、x 的集合； （）设 A、B、C 为锐角三角形ABC 的三个内角，若cosB=，f（C） =，求 sinA 的 值 4 （2016?台州模拟） 已知 a，b，c 分别是 ABC 的三个内角A，B，C 所对的边， 且 c 2=a2+b2 ab （1）求角 C 的值； （2）若 b=2， ABC 的面积，求 a 的值 5（2016?惠州模拟） 如图所示， 在四边形ABCD 中，D=2B， 且 AD=1 ， CD=3 ， cosB= （）求 ACD 的面积； （）若 BC=2，求 AB 的长 6 （2015?山东） ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 cosB=，sin （A

3、+B ） =，ac=2，求 sinA 和 c 的值 7 （ 2015?新课标 I）已知 a，b，c 分别是 ABC 内角 A，B，C 的对边， sin 2B=2sinAsinC （）若a=b，求 cosB； （）设 B=90 ，且 a=，求 ABC 的面积 8 （ 2015?湖南）设 ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为a，b，c，a=btanA （）证明： sinB=cosA ； （）若sinCsinAcosB=，且 B 为钝角，求A，B，C 9 （2015?新课标 II）ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分 BAC ，ABD 面积是 ADC 面积的 2 倍 （1）求； （

4、2）若 AD=1 ， DC=，求 BD 和 AC 的长 10 （2015?湖南）设 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，a=btanA，且 B 为钝 角 （）证明： BA=； （）求sinA+sinC 的取值范围 11 （2015?四川）已知 A、B、C 为ABC 的内角， tanA，tanB 是关于方程x 2+ pxp+1=0 （p R）两个实根 （）求 C 的大小 （）若 AB=3 ，AC=，求 p 的值 12 （2015?河西区二模） 设 ABC 的内角 A，B，C 的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c） （ab+c）=ac （）求 B （）若sinAsinC=，

5、求 C 13 （2015?浙江）在 ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 A=，b 2 a2= c 2 （1）求 tanC 的值； （2）若 ABC 的面积为3，求 b 的值 14 （2015?陕西） ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c向量=（a，b） 与=（cosA，sinB）平行 （）求 A； （）若a=，b=2，求 ABC 的面积 15 （2015?江苏）在 ABC 中，已知AB=2 ，AC=3 ，A=60 （1）求 BC 的长； （2）求 sin2C 的值 16 （2015?天津）在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知

6、ABC 的面 积为 3，b c=2，cosA= （）求a和 sinC 的值； （）求cos（2A+）的值 17 （2015?怀化一模）已知a，b，c 分别为 ABC 三个内角A，B， C 的对边， c=asinC ccosA （1）求角 A； （2）若 a=2， ABC 的面积为，求 b，c 18 （2015?甘肃一模）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 bcosC=3acosB ccosB （）求cosB 的值； （）若，且，求 a 和 c 的值 19 （2015?衡水四模） 在ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为a， b， c， 函数 f （ x） =2c

7、osxsin （xA）+sinA （x R）在 x=处取得最大值 （1）当时，求函数f（x）的值域； （2）若 a=7 且 sinB+sinC=，求 ABC 的面积 20 （2015?潍坊模拟）已知函数f（x）=2cos 2x+2 sinxcosx （x R） （）当x 0，时，求函数f（x）的单调递增区间； （）设 ABC 的内角 A，B，C 的对应边分别为a，b，c，且 c=3，f（ C）=2，若向量= （1，sinA）与向量=（ 2，sinB）共线，求a，b 的值 21 （2015?济南二模）已知向量=（cos（2x） ， cosx+sinx） ，=（1，cosxsinx） ， 函数 f

8、（x）= （）求函数f（x）的单调递增区间； （）在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 f（A）=，a=2，B=， 求 ABC 的面积 S 22 （2015?和平区校级三模）在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a，b，c，且 a=3， b=4，B=+A （1）求 cosB 的值； （2）求 sin2A+sinC 的值 23 （2015?洛阳三模）在锐角ABC 中，= （1）求角 A； （2）若 a=，求 bc 的取值范围 24 （2015?河北区一模）在ABC 中， a，b， c 分别是角A，B，C 的对边，且 2cosAcosC+1=2sinAsinC （）

9、求 B 的大小； （）若，求 ABC 的面积 25（2015?云南一模）在ABC 中， a， b， c 分别是内角A， B， C 的对边，且= （sinA+sinB+sinC ， sinC） ，=（sinB，sinB+sinC sinA） ，若 （1）求 A 的大小； （2）设为ABC 的面积，求的最大值及此时B 的值 26 （2015?历下区校级四模）已知向量， 若 （）求函数 f（ x）的最小正周期； （）已知 ABC 的三内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，且 a=3， （A 为锐角），2sinC=sinB，求 A、c、b 的值 27 （2015?高安市校级模拟）在ABC 中，角 A

10、、B、C 所对的边分别为a、b、c，已知 sin （A+） +2cos（B+C ）=0， （1）求 A 的大小； （2）若 a=6，求 b+c 的取值范围 28 （2015?威海一模） ABC 中， A，B，C 所对的边分别为a，b，c， sin（BA） =cosC （）求 A，B，C； （）若SABC=3+ ，求 a，c 29 （2015?新津县校级模拟）已知向量 ，函数 f（x）= （）求函数f（x）的单调递增区间； （）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 f（ B）=1，b=，sinA=3sinC ， 求 ABC 的面积 30 （2015?和平区二模）在ABC 中

11、，角 A， B，C 为三个内角，已知cosA=，cosB=， BC=5 （）求 AC 的长； （）设 D 为 AB 的中点，求CD 的长 三角函数大题综合训练 参考答案与试题解析 一解答题（共30 小题） 1（2016?白山一模）在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为a， b， c， 已知= （1）求角 C 的大小， （2）若 c=2，求使 ABC 面积最大时a，b 的值 【考点】 正弦定理；余弦定理 【专题】 解三角形 【分析】 （1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角 和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA 不为 0 求出 cosC

12、的值，即可确定出C 的度数； （2）利用余弦定理列出关系式，将 c 与 cosC 的值代入并利用基本不等式求出ab 的最大值， 进而确定出三角形ABC 面积的最大值，以及此时a 与 b 的值即可 【解答】 解： （1） A+C= B，即 cos（A+C ）=cosB， 由正弦定理化简已知等式得：=， 整理得： 2sinAcosC+sinBcosC= sinCcosB，即 2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin （B+C） =sinA ， sinA 0， cosC=， C 为三角形内角， C=； （） c=2，cosC=， 由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC，即

13、 4=a2+b 2+ab 2ab+ab=3ab， ab ， （当且仅当a=b 时成立）， S=absinC=ab， 当 a=b 时， ABC 面积最大为，此时 a=b=， 则当 a=b=时， ABC 的面积最大为 【点评】 此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌 握定理及公式是解本题的关键 2 （ 2016?广州模拟）在 ABC 中，角 A、B、C 对应的边分别是a、b、 c，已知 3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos 2 A （I）求角 A 的大小； （）若 ABC 的面积 S=5，b=5，求 sinBsinC 的值 【考点】 正弦定理；余弦

14、定理 【专题】 解三角形 【分析】（I）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简 3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos 2 A，得到 cosA 的值，即可求解A （II ）通过三角形的面积求出b、c 的值，利用余弦定理以及正弦定理求解即可 【解答】 解： （I）由 3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos 2A，得 2cos 2A+3cosA 2=0，（ 2 分） 即（ 2cosA 1） （cosA+2）=0 解得 cosA=或 cosA=2（舍去）（4 分） 因为 0 A ，所以 A=（6 分） （II ）由 S=bcsinA=bc?=bc=5，得 bc=20

15、又 b=5，所以 c=4（8 分） 由余弦定理，得a 2=b2+c22bccosA=25+16 20=21，故 a= （ 10 分） 又由正弦定理，得sinBsinC=sinA ? sinA=?sin2A= =（12 分） 【点评】 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以 及计算能力 3 （ 2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos 2x sinxcosxsin 2x （）求函数f（x）取得最大值时x 的集合； （）设 A、B、C 为锐角三角形ABC 的三个内角，若cosB=，f（C） =，求 sinA 的 值 【考点】 正弦定理；三角函数中的恒等变换应用

16、 【专题】 转化思想；综合法；解三角形 【分析】（）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的值域求得函 数 f（x）取得最大值时x 的集合 （）由条件求得cos（2C+）=，C=，求出 sinB 的值，再根据sinA=sin （B+C） 求得它的值 【解答】 解： （）函数f（x）=cos 2x sinxcosxsin 2x=cos2x sinxcosx+（cos 2x sin 2x ） =sin2x+cos2x=+cos（ 2x+） ， 故函数取得最大值为，此时， 2x+=2k时，即 x 的集合为x|x=k ， k Z （） 设 A、B、C 为锐角三角形ABC 的三个内角，

17、若 cosB= ，f（C）=+cos（2C+） =， cos （ 2C+） =， 又 A、 B、 C 为锐角三角形ABC 的三个内角， 2C+=， C= cosB=， sinB=， sinA=sin （B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+= 【点评】 本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的值域，同角三角函数的基本关系，属于中 档题 4 （2016?台州模拟） 已知 a，b，c 分别是 ABC 的三个内角A，B，C 所对的边， 且 c 2=a2+b2 ab （1）求角 C 的值； （2）若 b=2， ABC 的面积，求 a 的值 【考点】 余弦定理；三角形的面积公式 【专题】 解三角形

18、 【分析】（1）利用余弦定理，可求角C 的值； （2）利用三角形的面积公式，可求a 的值 【解答】 解： （1） c2=a2+b2ab， cosC=， 0 C180 ， C=60 ； （2） b=2，ABC 的面积， =， 解得 a=3 【点评】 本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，正确运用公式是关键 5（2016?惠州模拟） 如图所示， 在四边形ABCD 中，D=2B， 且 AD=1 ， CD=3 ， cosB= （）求 ACD 的面积； （）若 BC=2，求 AB 的长 【考点】 余弦定理的应用；正弦定理 【专题】 解三角形 【分析】（）利用已知条件求出D 角的正弦函数值，然后求

19、ACD 的面积； （）利用余弦定理求出AC ，通过 BC=2，利用正弦定理求解AB 的长 【解答】（共 13 分） 解： （）因为D=2B， 所以 （3 分） 因为 D （0， ） ， 所以 （ 5 分） 因为AD=1 ，CD=3 ， 所以 ACD 的面积 （7 分） （）在 ACD 中， AC 2=AD2+DC2 2AD ?DC?cosD=12 所以 （9 分） 因为， （11 分） 所以 所以AB=4 （13 分） 【点评】 本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本知识的考查 6 （2015?山东） ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 cosB=，sin （A+B

20、） =，ac=2，求 sinA 和 c 的值 【考点】 正弦定理；两角和与差的正弦函数 【专题】 解三角形 【分析】 利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得； 利用正弦定理解之 【解答】 解： 因为 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c 已知 cosB=， sin（A+B ）=， ac=2，所以 sinB=，sinAcosB+cosAsinB=， 所以 sinA+cosA=，结合平方关系sin 2A+cos2A=1， 得 27sin2A 6 sinA16=0， 解得 sinA=或者 sinA= （舍去）； 由正弦定理，由 可知 sin（A+B ）=sinC=，s

21、inA=， 所以 a=2c，又 ac=2，所以 c=1 【点评】 本题考查了利用三角函数知识解三角形，用到了两角和与差的正弦函数、同角三角 函数的基本关系式、正弦定理等知识 7 （ 2015?新课标 I）已知 a，b，c 分别是 ABC 内角 A，B，C 的对边， sin 2B=2sinAsinC （）若a=b，求 cosB； （）设 B=90 ，且 a=，求 ABC 的面积 【考点】 正弦定理；余弦定理 【专题】 解三角形 【分析】（I）sin2B=2sinAsinC ，由正弦定理可得： b 2 =2ac，再利用余弦定理即可得出 （II ）利用（ I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公

22、式即可得出 【解答】 解： （I） sin2B=2sinAsinC ， 由正弦定理可得：0， 代入可得（ bk） 2=2ak?ck， b2=2ac， a=b， a=2c， 由余弦定理可得：cosB= （II ）由（ I）可得： b2=2ac， B=90 ，且 a=， a2+c 2=2ac，解得 a=c= SABC= =1 【点评】 本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题 8 （ 2015?湖南）设 ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为a，b，c，a=btanA （）证明： sinB=cosA ； （）若sinCsinAcosB=，

23、且 B 为钝角，求A，B，C 【考点】 正弦定理 【专题】 解三角形 【分析】（）由正弦定理及已知可得=，由 sinA 0，即可证明sinB=cosA （）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinCsinAcosB=cosAsinB=，由（ 1） sinB=cosA ，可得 sin 2B= ，结合范围可求B，由 sinB=cosA 及 A 的范围可求A，由三角形 内角和定理可求C 【解答】 解： （）证明：a=btanA =tanA， 由正弦定理：，又 tanA=， =， sinA 0， sinB=cosA 得证 （） sinC=sin （ A+B ）=sin（A+B ） =sinAcosB+

24、cosAsinB ， sinCsinAcosB=cosAsinB=，由（ 1）sinB=cosA ， sin 2B= ， 0B ， sinB=， B 为钝角， B=， 又 cosA=sinB=， A=， C= AB=， 综上， A=C=，B= 【点评】 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属 于基础题 9 （2015?新课标 II）ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分 BAC ，ABD 面积是 ADC 面积的 2 倍 （1）求； （2）若 AD=1 ， DC=，求 BD 和 AC 的长 【考点】 正弦定理；三角形中的几何计算 【专题】 解三角形 【

25、分析】（1）如图，过A 作 AEBC 于 E，由已知及面积公式可得BD=2DC ，由 AD 平分 BAC 及正弦定理可得sinB=， sinC=，从而得解 （2）由（1）可求 BD=过 D 作 DM AB 于 M ，作 DNAC 于 N，由 AD 平分 BAC ， 可求 AB=2AC ，令 AC=x ，则 AB=2x ，利用余弦定理即可解得BD 和 AC 的长 【解答】 解： （1）如图，过A 作 AEBC 于 E， =2 BD=2DC ， AD 平分 BAC BAD= DAC 在 ABD 中，=， sin B= 在 ADC 中，=， sin C=； = 6 分 （2）由（ 1）知， BD=2

26、DC=2 = 过 D 作 DM AB 于 M，作 DN AC 于 N， AD 平分 BAC ， DM=DN ， =2， AB=2AC ， 令 AC=x ，则 AB=2x ， BAD= DAC ， cosBAD=cos DAC ， 由余弦定理可得：=， x=1， AC=1 ， BD 的长为， AC 的长为 1 【点评】 本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知 识的考查 10 （2015?湖南）设 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，a=btanA，且 B 为钝 角 （）证明： BA=； （）求sinA+sinC 的取值范围 【考点】 正弦定理 【

27、专题】 解三角形 【分析】（）由题意和正弦定理可得sinB=cosA ，由角的范围和诱导公式可得； （）由题意可得A （0，） ，可得 0 sinA，化简可得sinA+sinC= 2（sinA） 2+ ，由二次函数区间的最值可得 【解答】 解： （）由 a=btanA 和正弦定理可得=， sinB=cosA ，即 sinB=sin（+A） 又 B 为钝角，+A （， ） ， B=+A ， BA=； （）由（）知C= （ A+B ） = （ A+A ）=2A0， A （0，） ， sinA+sinC=sinA+sin （2A） =sinA+cos2A=sinA+1 2sin 2A =2（sinA

28、） 2+ ， A （0，） ， 0sinA， 由二次函数可知 2（sinA） 2+ sinA+sinC 的取值范围为（， 【点评】 本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题 11 （2015?四川）已知 A、B、C 为ABC 的内角， tanA，tanB 是关于方程x 2+ pxp+1=0 （p R）两个实根 （）求 C 的大小 （）若 AB=3 ，AC=，求 p 的值 【考点】 正弦定理的应用；两角和与差的正切函数 【专题】 函数的性质及应用；解三角形 【分析】 （） 由判别式 =3p 2+4p4 0，可得 p 2，或 p ，由韦达定理， 有 tanA+tanB

29、= p，tanAtanB=1 p，由两角和的正切函数公式可求tanC= tan（A+B ）=，结合 C 的范围即可求C 的值 （）由正弦定理可求sinB=，解得 B，A，由两角和的正切函数公式可求 tanA=tan75 ，从而可求p=（tanA+tanB ）的值 【解答】 解： （）由已知，方程x 2+ pxp+1=0 的判别式： =（p） 24（ p+1） =3p 2+4p4 0， 所以 p 2，或 p 由韦达定理，有tanA+tanB= p，tanAtanB=1 p 所以， 1tanAtanB=1 （ 1p）=p 0， 从而 tan（A+B ）= 所以 tanC=tan（A+B ）=， 所

30、以 C=60 （）由正弦定理，可得sinB=， 解得 B=45 ，或 B=135 （舍去） 于是， A=180 BC=75 则 tanA=tan75 =tan（45 +30 ） =2+ 所以 p=（tanA+tanB ）=（2+）=1 【点评】 本题主要考查了和角公式、诱导公式、 正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力， 考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题 12 （2015?河西区二模） 设 ABC 的内角 A，B，C 的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c） （ab+c）=ac （）求 B （）若sinAsinC=，求 C 【考点】 余弦定理；两角和与差的正弦函数

31、 【专题】 解三角形 【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定 理表示出cosB，将关系式代入求出cosB 的值， 由 B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函 数值即可求出B 的度数； （II ）由（ I）得到 A+C 的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（AC） ，变形后 将 cos（A+C ）及 2sinAsinC 的值代入求出cos（AC）的值，利用特殊角的三角函数值求 出 AC 的值，与A+C 的值联立即可求出C 的度数 【解答】 解： （I）（ a+b+c） （ab+c）=（ a+c）2b2=ac， a2+c 2b2=ac， cos

32、B=， 又 B 为三角形的内角， 则 B=120 ； （II ）由（ I）得： A+C=60 ， sinAsinC=，cos（A+C）=， cos（AC）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC sinAsinC+2sinAsinC=cos （A+C ） +2sinAsinC=+2=， AC=30 或 AC=30 ， 则 C=15 或 C=45 【点评】 此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟 练掌握余弦定理是解本题的关键 13 （2015?浙江）在 ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 A=，b 2 a2= c 2 （1）

33、求 tanC 的值； （2）若 ABC 的面积为3，求 b 的值 【考点】 余弦定理 【专题】 解三角形 【分析】 （1） 由余弦定理可得：， 已知 b 2a2= c 2 可得 ， a=利用余弦定理可得cosC可得 sinC=，即可得出tanC= （2）由=3，可得 c，即可得出b 【解答】 解： （1）A=，由余弦定理可得：，b2a2= bc c2， 又 b2a 2= c 2 bcc2= c 2 b=c可得， a2=b 2 =，即 a= cosC= C （0， ） ， sinC= tanC=2 （2）=3， 解得 c=2 =3 【点评】 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角

34、形面积计算公式，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题 14 （2015?陕西） ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c向量=（a，b） 与=（cosA，sinB）平行 （）求 A； （）若a=，b=2，求 ABC 的面积 【考点】 余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示 【专题】 解三角形 【分析】（）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A； （）利用A，以及 a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解 ABC 的面积 【解答】 解： （）因为向量=（a，b）与=（cosA， sinB）平行， 所以 asinB=0，由正弦定理可知：sinAsinB sinBcos

35、A=0 ，因为 sinB 0， 所以 tanA=，可得 A=； （） a=，b=2，由余弦定理可得：a 2 =b 2+c22bccosA，可得 7=4+c22c，解得 c=3， ABC 的面积为：= 【点评】 本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力 15 （2015?江苏）在 ABC 中，已知AB=2 ，AC=3 ，A=60 （1）求 BC 的长； （2）求 sin2C 的值 【考点】 余弦定理的应用；二倍角的正弦 【专题】 解三角形 【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可 （2）利用正弦定理求出C 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可 【解答】 解： （1）

36、由余弦定理可得：BC 2=AB2 +AC 22AB ?ACcosA=4+9 2 2 3 =7， 所以 BC= （2）由正弦定理可得：，则 sinC=， AB BC， C 为锐角， 则 cosC= 因此 sin2C=2sinCcosC=2 = 【点评】 本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的 解题的关键 16 （2015?天津）在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 ABC 的面 积为 3，b c=2，cosA= （）求a和 sinC 的值； （）求cos（2A+）的值 【考点】 余弦定理的应用；正弦定理的应用 【专题】 解三角形 【分

37、析】（）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC 的值； （）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+） ，然后直接求解即可 【解答】解： （）在三角形ABC 中，由 cosA= ， 可得 sinA=， ABC 的面积为3， 可得：， 可得 bc=24，又 bc=2，解得 b=6，c=4，由 a 2=b2+c22bccosA，可得 a=8， ，解得 sinC=； （） cos（2A+）=cos2Acos sin2Asin= 【点评】 本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能 力 17 （2015?怀化一模）已知a，b，c 分别为 ABC 三

38、个内角A，B， C 的对边， c=asinC ccosA （1）求角 A； （2）若 a=2， ABC 的面积为，求 b，c 【考点】 正弦定理；余弦定理的应用 【专题】 计算题 【分析】（1）把已知的等式利用正弦定理化简，根据sinC 不为 0，得到一个关系式，再利 用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A 的 度数即可； （2）由 A 的度数求出sinA 和 cosA 的值，由三角形ABC 的面积，利用面积公式及sinA 的 值，求出bc 的值，记作 ；由 a与 cosA 的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方 公式变形后，把bc 的值代入求出b+c

39、 的值，记作 ，联立 即可求出b 与 c 的值 【解答】 解： （1）由正弦定理=化简已知的等式得：sinC=sinAsinC sinCcosA， C 为三角形的内角，sinC 0， sinAcosA=1 ， 整理得： 2sin（A） =1，即 sin（A）=， A=或 A=， 解得： A=或 A= （舍去）， 则 A=； （2） a=2，sinA=，cosA=，ABC 的面积为， bcsinA=bc=，即 bc=4 ； 由余弦定理a2=b 2+c22bccosA 得： 4=b2+c2bc=（b+c）23bc=（b+c）2 12， 整理得： b+c=4 ， 联立 解得： b=c=2 【点评】

40、此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数 值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键 18 （2015?甘肃一模）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 bcosC=3acosB ccosB （）求cosB 的值； （）若，且，求 a 和 c 的值 【考点】 正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理 【专题】 计算题；转化思想 【分析】（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3 2RsinAcosB 2RsinCcosB， 然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可 （2）由向量数量积的定义可得acc

41、osB=2，结合已知及余弦定理可得a2+b 2=12，再根据完全 平方式易得a=c= 【解答】 解： （I）由正弦定理得a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC， 则 2RsinBcosC=6RsinAcosB 2RsinCcosB， 故 sinBcosC=3sinAcosB sinCcosB， 可得 sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB ， 即 sin（B+C） =3sinAcosB ， 可得 sinA=3sinAcosB 又 sinA 0， 因此 （ 6 分） （II ）解：由，可得 accosB=2， ， 由 b2=a2+c22accosB， 可得 a

42、2+c2=12， 所以（ ac）2=0，即 a=c， 所以 （13 分） 【点评】 本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积 的定义等基础知识，考查了基本运算能力 19 （2015?衡水四模） 在ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为a， b， c， 函数 f （ x） =2cosxsin （xA）+sinA （x R）在 x=处取得最大值 （1）当时，求函数f（x）的值域； （2）若 a=7 且 sinB+sinC=，求 ABC 的面积 【考点】 正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域 【专题】 解三角形 【分析】利用三角函数的恒等变换

43、化简函数f （x） 的解析式为sin （2xA） ， 由于函数在 处取得最大值令，其中 k z，解得 A 的值， （1）由于 A 为三角形内角，可得A 的值，再由x 的范围可得函数的值域； （2）由正弦定理求得b+c=13，再由余弦定理求得bc 的值，由ABC 的面积等于， 算出即可 【解答】 解：函数f（x）=2cosxsin（xA）+sinA =2cosxsinxcosA 2cosxcosxsinA+sinA =sin2xcosA cos2xsinA=sin （2xA） 又函数f（x）=2cosxsin（xA）+sinA （x R）在处取得最大值 ，其中 k z， 即，其中 k z， （1

44、） A （0， ） ， A= ， 2xA ，即函数f（x）的值域为： （2）由正弦定理得到，则 sinB+sinC=sinA， 即， b+c=13 由余弦定理得到a 2=b2+c22bccosA=（b+c）22bc2bccosA 即 49=1693bc， bc=40 故 ABC 的面积为： S= 【点评】 本题主要考查三角函数的恒等变换，正、余弦定理的应用，正弦函数的值域，属于 中档题 20 （2015?潍坊模拟）已知函数f（x）=2cos 2x+2 sinxcosx （x R） （）当x 0，时，求函数f（x）的单调递增区间； （）设 ABC 的内角 A，B，C 的对应边分别为a，b，c，且

45、 c=3，f（ C）=2，若向量= （1，sinA）与向量=（ 2，sinB）共线，求a，b 的值 【考点】 正弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算 【专题】 解三角形 【分析】（I）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为令 ，k z，求得 x 的范围，结合，可得 f（ x） 的递增区间 （） 由 f（C）=2，求得，结合 C 的范围求得C 的值 根据向量=（ 1， sinA）与向量=（2，sinB）共线，可得，故有= ，再由余弦定理得9=a 2+b2 ab ，由 求得 a、b 的值 【解答】 解： （I） = 令， 解得，即， ， f（x）的递增区间为 （）由，

46、得 而 C （0， ） ，可得 向量向量=（ 1，sinA ）与向量=（2，sinB）共线， 由正弦定理得：= 由余弦定理得：c2=a2+b22ab?cosC，即 9=a 2+b2ab ， 由 、 解得 【点评】 本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的增区间，正弦定理、余弦定理的应 用，两个向量共线的性质，属于中档题 21 （2015?济南二模）已知向量=（cos（2x） ， cosx+sinx） ，=（1，cosxsinx） ， 函数 f（x）= （）求函数f（x）的单调递增区间； （）在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 f（A）=，a=2，B=， 求 ABC 的面积 S 【考点】 正弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用 【专题】 三角函数的图像与性质 【分析】（）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用 两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的