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1、上海交通大学 2005 至 2006第一学期线代数cA 卷期末考试试题 线 性 代 数(C) 试 卷-A卷2006-1-4 姓名_ _ _班级_ _ _学号 _ _ 题号一二三四总分 得分 一、单项选择题 （每题 3 分，共 15 分） 1.向量组可线性表示向量组，则 (A) 当时，向量组必线性相关； (B) 当时，向量组必线性相关； (C) 当时，向量组必线性相关； (D) 当时，向量组必线性相关。 2. 设三阶矩阵，已知伴随矩阵的秩为 1，则必有 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 3. 设是维非零实列向量 , 矩阵,，则_ (A) 至少有1 个特征值为 1； (B) 只有 1
2、 个特征值为 1； (C) 恰有个特征值为 1； (D) 没有 1 个特征值为 1。 4. (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 5. 设满足，若，则 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 二、填空题 （每题 3 分，共 15 分） 1已知为阶方阵，不是的特征值，且， 则。 2. 若 3 阶方阵有特征值，则行列式。 3已知 3 阶实对称矩阵的秩，且，若矩阵是 正定矩阵，则常数的取值范围为 _ 。 4. 已知为阶方阵，是的列向量组，行列式，其伴随 矩阵， 则齐次线性方程组的通解为。 5. 设 3 阶方阵的特征值为 1， 2， 3， 且相似于， 则行列式。 三、计算题 ( 每题
3、 9 分, 共 54 分) 1线性方程组为，问,各取何值时，线性方程组无解， 有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。 2. 设 3 阶方阵满足方程，试求矩阵，其中 ，。 3计算行列式，其中 ， 4. 已知 3 阶方阵的特征值 1，2，3 对应的特征向量分别为。 (1) 将向量用线性表示； (2)求，为自然数。 其中：，。 5. 已知，方程组有无穷多解，试求： （1）常数的值；（2） 正交矩阵，使为对角阵。 6. 设的两个基，；， （1） 求由基的过渡矩阵； （2） 已知向量，求向量在基下的坐标； (3) 求在基下有相同坐标的所有向量。 四、证明题 ( 每题 8分, 共 16 分) 1
4、设为矩阵，证明：存在非零矩阵，使的充分必要 条件为秩。 2.设是阶矩阵 ,是的特征多项式。证明 : 矩阵可 逆的充分必要条件为的特征值都不是的特征值。 线性代数（ C）（05061）期末试卷（ A）参考答案 一、选择题1.(B) 2.(B) 3.(C) 4.(D) 5.(A) 二、填空题1； 2. ； 3. ； 4. 是的极大线性无关组； 5. 三、计算题 1. 当2 时，方程组有唯一解；当2，1 时，方程组无解 当2，1 时，2 3 ，方程组有无穷多解 , 其通解为 ，为任意常数。 2. ， 3. ， 。 4.(1) 。 5（1）由， 得。 （2），。 6.(1) 设, (2) ，坐标 (3) 设 则 解得，故。 四、证明题 1设，则都是线性方程组的解。故 方程组有非零解。 2设是矩阵的特征值，则 ， 于是，行列式 故都不是的特征值。