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1、哈尔滨工业大学2004 至 2005 学年数学分析期末考试试题A 哈尔滨工业大学2004 -2005 学年 秋 季学期 工科数学分析期末考试试卷（答案）试题卷（ A） 考试形式（开、闭卷）：闭答题时间：150（分钟）本卷面成绩占课程成绩70% 题号一二三四五卷面总分平时成绩课程总成绩 分数 一选择题（每题2 分，共 10 分） 1下列叙述中不正确者为（D ） （A）如果数列收敛，那么数列一定有界。 （B）如果，则一定有。 （C）在点处可导的充要条件是在点处可微。 （D）如果函数在点处导数为，则必在该点处取得极值。 2设在 0，1上则下列不等式正确者为（ B ） （A）（B） （C）（D） 3若
2、在上可积，则下列叙述中错误者为（D） （A）连续（B）在上可积 （C）在上由界（D）在上连续 4若，则（D） （A） （B） （C） （D） 5（D） （A）（B） （C）（D） 二填空题（每题2 分，共 10 分） 1的间断点为：，其类型为：第一类间断点。 2的全部渐近线方程为：。 3摆线处的切线方程为：。 4=： 1 。 5设在上可导， 则=： 三计算下列各题： （每小题 4 分，本题满分20 分） 1若，求 解：2， 则 2， 解：， 3. 解： = = 4 解： 5. 已知，求 解： =， 所以。故 四解答下列各题：（每小题 5 分，本题满分10 分） 1.已知数列， 求证：收敛，并且
3、 证明： 1)证有界 因为,所以。假设， 则。故有界。 2）证单调 因为，故为单调上升数列。 由 1）和 2） 知道收敛。设，由，所以 有解得。而且为单调递增数列，所以。故 。 2设，曲线与三条直线所围平面部分绕x 轴旋转 成的旋转体的体积为取何值时，最大？ 解：， 由得，。当 时， 故当时，达到极大值，且为最大值。 五：证明下列各题：（1，2 题各 4 分， 3，4 题各 6 分，本题满分20 分） 1.证明方程至少有一个不超过的正根。 证明：设，显然它在上连续。 （i）若，则即为满足条件的根。 （ii）若，则。而， 由零点定理知存在，使得。即为满足条件的根。 2.设函数且，试证： 证明： 由知道，所以。 因为，故由积分中值定理知：，使得 ，即。 3.设在区间上有二阶导数。，证明：在区间内至 少存在一点，使 证明：将在与处展成一阶泰勒公式 (1) (2) 令，注意到，(1),(2)有 (3) (4) (4)- (3) 得： 所以： 取，即有。 4. 设在区间上连续 ，且 证明：存在一个使得 证明：令，显然在上连续，在内可导，又 ，即。在由罗尔 定理知，存在使得，即 =