《2020版新学优数学同步北师大必修五课件：第一章 数列1.4 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版新学优数学同步北师大必修五课件：第一章 数列1.4 .pptx（32页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、4 数列在日常经济生活中的应用,1.储蓄利息的计算方法 (1)单利:单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为:利息=本金利率存期. 以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金与利息和(以下简称本利和),则有S=P(1+nr). (2)复利:把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是S=P(1+r)n. 【做一做1】某人从2016年1月1日起,每年的这一天都到银行存一年定期存款a元,若年利率r保持不变,且每年到期的存款将本金和利息都再存入新一年的定期中,到2020年1月1日,将所有的存款、利息全部取回,他可取
2、回的钱数为 .,2.三种银行储蓄业务模型 (1)“零存整取”模型 银行有一种叫作“零存整取”的储蓄业务,即每月定时存入一笔 相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.(暂不考虑利息税),【做一做2】某人从1月起每月第一天存入100元,到12月最后一天取出全部本金和利息,已知月利率是0.165%,按单利计息,那么实际取出多少钱? 解:实际取出的钱等于本金+利息. 到12月最后一天取款时, 第1个月存款利息为100120.165%, 第2个月存款利息为100110.165%, 第11个月存款利息为10020.165%, 第12个月存款利息为100
3、10.165%, 所以S12=100120.165%+100110.165%+ +10020.165%+10010.165% =1000.165%(1+2+3+12),所以实际取出10012+12.87=1 212.87(元).,(2)“定期自动转存”模型 银行有另一种储蓄业务为“定期存款自动转存”. 例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和,则银行自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.,(3)“分期付款”模型 分期付款是一种新的付款方式,就是可以不一次性将款付清,就使用商品(或贷款),还款时可以分期将款逐步还清; 分期付款中,一般规定每次付款额相同,每期
4、付款的时间间隔相同; 分期付款中,每月按利息复利计算,即上月(年)的利息要计入下月(年)的本金; 分期付款中,贷款(或商品价值)与每期付款额在贷款付清之前,会随时间推移而不断增值,即分期付款的总额高于一次性付款的总额; 分期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和,等于商品售价及从购物到最后一次付款时的利息之和,即每期付款产生的本利和的累加与商品的付款总额相等,解决分期付款问题的数学方法就是等比数列求和.这也是等比数列在日常经济生活中的一个重要应用.,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)银行储蓄中,本金与月利率均相同,存期1年,则使用复利计算应大
5、于使用单利计算所得的本利和. ( ) (2)某产品计划每年成本降低m%,若三年后成本为a元,则现在成本是a(1+m%)3. ( ) (3)某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%,q%,则这两年的平均增长率是 .( ) 答案:(1) (2) (3),探究一,探究二,探究三,规范解答,【例1】 某产品按质量分10个档次,生产最低档次的产品的利润是8元/件,每提高一个档次,利润每件增加2元,同时每提高一个档次,产量减少3件,在相同的时间内,最低档次的产品可生产60件.试问:在相同的时间内,应选择生产第几档次的产品可获得最大利润?(设最低档次为第1档次) 分析:由于总利润=第n档次的件数第n档
6、次每件的利润,因此需要求出第n档次的件数及第n档次的利润的表达式.,探究一,探究二,探究三,规范解答,解:设在相同的时间内,从低到高每档次产品生产的件数分别为a1,a2,a10(单位:件),对应每档次产品的利润分别为b1,b2,b10(单位:元),则an,bn均为等差数列,且a1=60,d=-3,b1=8,d=2, an=60-3(n-1)=-3n+63, bn=8+2(n-1)=2n+6, 利润f(n)=anbn=(-3n+63)(2n+6) =-6n2+108n+378=-6(n-9)2+864. 显然,当n=9时,f(n)max=f(9)=864元. 答:在相同的时间内,生产第9档次的产
7、品可以获得最大利润.,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟1.在实际问题中,若变化量在每次增加(或减少)的过程中不重复计算,增加(或减少)的量相同,且与正整数有关,则可以建立等差数列模型解决问题. 2.建立等差数列模型后,可以根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d与前n项和公式,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练1 教育储蓄是一种零存整取的定期储蓄存款方式,它享受整存整取利率,利息免税.教育储蓄的对象为在校小学四年级(含四年级)以上的学生.假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为2.325.按规定,3年期教育储蓄的存款总额不得超过2万元. (1)欲在3年后
8、一次性支取本利和2万元,每月大约需存入多少元? (2)零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元?此时3年后本利和约为多少?(精确到1元),探究一,探究二,探究三,规范解答,解:(1)设每月存入A元,则有A(1+2.325)+A(1+22.325)+ +A(1+362.325)=20 000.,探究一,探究二,探究三,规范解答,(1)设n年内(本年度为第1年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an,bn的表达式. (2)至少经过几年旅游业的总收入将超过6 400万元? 分析: (1)从题意出发,从条件中提取有用的信息, 构造出等比数列,可用等比数列的前n项和公式求解. (2)令bn6
9、 400,解不等式即可.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟1.在实际问题中,若变化量每次增加(或减少)的百分数相同,且与正整数有关,则可以建立等比数列模型解决问题. 2.建立等比数列模型后,可利用等比数列的通项公式an=a1qn-1=amqn-m,前n项和公式,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练2某厂去年产值为a,计划在5年内每年比上一年产值增长10%,从今年起五年内这个工厂的总产值是( ) A.1.14 a B.1.15 a C.10(1.15-1)a D.11(1.15-1)a 解析:由题意知,从今年起,
10、这个工厂每年的产值构成以1.1a为首项,1.1为公比的等比数列. 答案:D,探究一,探究二,探究三,规范解答,【例3】小张老师年初向银行贷款2万元用于买车,银行贷款的年利率为10%,按复利计算.若这笔贷款要分10年等额还清,每年年初还一次,并且从借款后次年年初开始归还,问每年应还多少元?(精确到1元) 分析:从以下两点考虑:(1)每年按复利计算,即本年利息计入次年的本金生息;(2)分期付款,各期所付的款以及到最后一次付款时所生的利息合计,应等于2万元及2万元到最后一次付款时所生的利息之和.,探究一,探究二,探究三,规范解答,解:设每年还款x元,需10年还清,则每年还款及利息情况如下: 第10年
11、还款x元,此次欠款全部还清; 第9年还款x元,过1年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)元; 第8年还款x元,过2年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)2元; 第1年还款x元,过9年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)9元. 根据题意可得: x+x(1+10%)+x(1+10%)2+x(1+10%)9=20 000(1+10%)10,每年应还款3 255元.,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟分期付款的相关规定:(1)分期付款中,每期的利息均按复利计算,分期付款中规定每期所付款额相同;(2)各期所付款额连同到最后一次付款时所产生的利息之和
12、等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和(此为列方程的依据);(3)每期付款增值后的款数及售价增值后的款数均按S=P(1+r)n来计算,其中P代表本金(可以是每期付款额x,也可以是商品售价),n代表存期(月数或年数),r代表利率,S代表本利和.,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练3 某百货公司采用分期付款的办法销售家用空调机,售价为15 000元,分6个月付清,每月付一次,月利率以6%的单利计算,问购买者每月应付 元(不满1元的舍去). 解析:设每月应付款为x元,则自第一月至付清本利合计为 x(1+0.065)+x(1+0.064)+x(1+0.061)+x =x6+0.06(5
13、+4+3+2+1)=6.9x. 另一方面,15 000元在5个月的本利合计为 15 000(1+0.065)=19 500,6.9x=19 500,即x2 826(元). 答案:2 826,探究一,探究二,探究三,规范解答,递推数列模型在实际中的应用 【典例】某地区位于沙漠边缘地区,人与沙漠进行长期不懈的斗争,到2014年底全地区的绿化率已达到30%,从2015年开始,每年将出现以下变化:原有沙漠面积的16%将栽上树,改造为绿洲,同时,原有绿洲面积的4%又被侵蚀,变为沙漠.,分析:本题可以先建立递推数列关系,然后构造成所证明的数列结构,再间接求出an,进而求出所需年数.,探究一,探究二,探究三
14、,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思提升如果某一个量,每一期以一个固定的百分数增加(或减少),或以一个固定的具体量增加(或减少)时,我们称这样的模型为生长模型,如分期付款、森林生长与砍伐、沙漠治理等问题就属于生长模型.,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练 一牧羊人赶着一群羊通过36个关口,每过一个关口,守关口人将拿走当时羊的一半,然后退还一只,过完这些关口后,牧羊人只剩下2只羊,问原来牧羊人赶了多少只羊? 解:设过第n关后牧羊人剩下an+1只羊,第n关前的羊数为an只,即2an+1=an+2(n=1,2,3,). 由递推关系式得an=2(
15、an+1-1), 将a36=2代入上式可得a35=a34=a1=2, 则a1即为牧羊人原来羊的只数2只.,1,2,3,4,5,1.有一套丛书共6册,计划2016年出版第一册,每两年出版一册,则出版齐这套丛书的年份是( ) A.2024 B.2026 C.2028 D.2029 解析:由已知得出版齐这套丛书的年份是2016+(6-1)2=2026. 答案:B,1,2,3,4,5,2.某种细胞开始有2个,1小时后分裂成4个,2小时后分裂成8个,3小时后分裂成16个,按此规律,6小时后细胞的个数是( ) A.63 B.64 C.127 D.128 解析:细胞分裂的个数依次构成等比数列, 记为an,则
16、a1=2,公比q=2, 则a7=a1q6=226=128. 答案:D,1,2,3,4,5,3.某种产品平均每三年价格降低 ,目前售价640元,则9年后此产品的价格为 元. 解析:由题意知9年后的价格为 答案:270,1,2,3,4,5,4.夏季高山上气温从山脚起每升高100米降低约0.7 ,已知山顶气温是14.1 ,山脚的气温是26 ,则山顶相对于山脚的高度约是 米. 解析:山顶气温与山脚气温相差26 -14.1 =11.9 . 气温每升高100米降低约0.7 , 山顶相对于山脚的高度约为 答案:1 700,1,2,3,4,5,5.某渔场养鱼,第一年鱼的质量增长200%,以后每年的质量增长率是前一年增长率的一半. (1)当饲养4年后,鱼的质量是原来的多少倍? (2)如果由于某种原因,每年损失预计质量的10%,那么经过多少年后鱼的总质量开始减少? 解:(1)设鱼原来的质量为a,n年后鱼的质量为an,则 a1=(1+2)a=3a,a2=3a(1+1)=6a,