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1、第二课时 函数的最大(小)值,目标导航,新知导学素养养成,1.最大值 (1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: 对于任意的xI,都有f(x) M; 存在x0I,使得 . 那么,称M是函数y=f(x)的最大值. (2)几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最 点的 坐标.,思考1:若函数f(x)M,则M一定是函数的最大值吗? 答案:不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是.,f(x0)=M,高,纵,2.最小值 (1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足; 对于任意的xI,都有f(x) M; 存
2、在x0I,使得 . 那么,称M是函数y=f(x)的最小值. (2)几何意义:函数y=f(x)的最小值是图象最 点的 坐标.,思考2:已知函数y=f(x)在定义域a,b上单调,如何求函数的最值? 答案:如果函数y=f(x)在定义域a,b上单调递增,则 f(x)max=f(b),f(x)min=f(a);如果函数y=f(x)在定义域a,b上单调递减,则f(x)max=f(a),f(x)min=f(b).,f(x0)=M,低,纵,思考3:函数的最大(小)值与函数值域有什么关系?,答案:(1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质,针对的是整个定义域. (2)函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不
3、一定存在. (3)若函数的最值存在,则一定是值域中的元素.,名师点津,关于函数最值的说明 (1)最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素,如函数y=x2(xR)的最小值是0,有f(0)=0. (2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式,即对于定义域内的全部元素,都有f(x)M(f(x)M)成立,也就是说,函数y=f(x)的图象不能位于直线y=M的上(下)方. (3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立,也就是说y=f(x)的图象与直线y=M至少有一个交点.,课堂探究素养提升,(2)求函数f(x)在1,4上的最值.,方法技巧
4、,利用函数单调性求最值的步骤:确定函数的单调性;借助最值与单调性的关系写出函数的最值.,(2)求f(x)在区间2,5上的最值.,求函数f(x)在3,5上的值域.,对于中的函数在区间A上的值域是4,5,求区间长度最大的A(注:区间长度=区间的右端点-区间的左端点); 若中的函数的定义域是2,+),解不等式f(a2-a)f(2a+4).,解:作出函数f(x)的图象(如图). 由图象可知,当x=1时,f(x)取最大值为f(1)=1. 当x=0时,f(x)取最小值f(0)=0, 故f(x)的最大值为1,最小值为0.,方法技巧,(1)分段函数的最大(小)值是各段函数在其定义域上的最大(小)值中较大(小)
5、的一个. (2)分段函数的最值问题,若函数在各段上均为单调函数,可根据函数单调性确定最值.若函数在各段上不具有单调性,可借助函数图象求最值.,即时训练2-1:已知函数f(x)=|x|(x+1),试画出函数 f(x)的图象,并根据图象解决下列两个问题.,(1)写出函数f(x)的单调区间;,解:因为y=-x2+4x-1=-(x-2)2+3(x0)且y=x-1(x0), 所以函数图象如图所示, 因此函数值域为y|y3.,题型三 二次函数的最值 例3 已知f(x)=x2-4x+3,求函数f(x)在下列区间上的值域. (1)-1,1;,解:因为f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1, 所以函数f(x
6、)在(-,2上是减函数, 在2,+)上是增函数. (1)因为x-1,1, 所以f(x)在-1,1上是减函数, 又f(-1)=8,f(1)=0, 所以函数f(x)在-1,1上的值域为0,8.,(2)-2,3;,解:(2)因为x-2,3,且f(x)的对称轴方程是x=2, 所以当x-2,2时,函数f(x)是减函数, 此时函数的值域为y|f(2)yf(-2), 即y|-1y15. 当x2,3时,函数f(x)是增函数, 此时函数的值域为y|f(2)yf(3), 即y|-1y0. 所以x-2,3时,函数的值域为y|-1y15.,(3)0,a.,解:(3)因为f(x)的对称轴方程是x=2, 所以当a2时,函
7、数f(x)在0,a上是减函数, 此时函数的值域为y|f(a)yf(0), 即a2-4a+3,3, 当24时,函数在x=2处取得最小值,最大值为f(a), 故函数的值域为-1,a2-4a+3.,一题多变:(1)求f(x)=x2-4x+3在-2,7和3,7上的值域;,解:(1)由本例题(2)的解答知,x-2,2时,函数f(x)是减函数,当x2,7时,函数f(x)是增函数,且f(-2)=15,f(2)=-1,f(7)=24, 所以x-2,7时,函数的值域为-1,24. 又因为x3,7,所以f(x)在3,7上是增函数, 因为f(3)=0,f(7)=24, 所以函数的值域为0,24. 故当x-2,7时,
8、函数值域为-1,24, 当x3,7时,函数值域为0,24.,(2)求函数f(x)=x2-4x+3在区间t,t+1(tR)上的最大值g(t)与最小值h(t);,解:(2)由f(x)=(x-2)2-1知, 当t+12时,即t1时,函数f(x)=x2-4x+3, 在t,t+1上是减函数,最大值为g(t)=f(t)=t2-4t+3, 最小值为h(t)=f(t+1)=(t-1)2-1=t2-2t, 当t2时,函数f(x)=x2-4x+3在t,t+1上是增函数, 最大值为g(t)=f(t+1)=t2-2t, 最小值为h(t)=f(t)=t2-4t+3, 当t2t+1,即1t2时,函数f(x)=x2-4x+
9、3, 在t,t+1上的最小值为h(t)=f(2)=-1.,(3)若将函数f(x)=x2-4x+3变为“f(x)=x2-2ax+3”,求函数f(x)在区间 -1,1上的最小值.,方法技巧,求解给定区间的二次函数最值问题,应根据二次函数的对称轴确定所求区间上的最值,此类问题主要有以下两种情况:当所给区间不包含对称轴时,函数在所给区间上是严格单调函数,利用函数的单调性可求值域;当所给区间包含对称轴时,若开口向上,则在对称轴处取最小值(若开口向下,则在对称轴处取最大值),而另一个最值则在离对称轴较远处的区间端点取到.,备用例3 (1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a0). 若f(-1)=0,
10、且对任意实数x均有f(x)0,求f(x)的表达式;,解:(1)因为f(x)=ax2+bx+1(a0)且f(-1)=0, 所以f(-1)=a-b+1=0,所以b=a+1. 又因为f(x)0,且a0,开口向上, 所以函数图象与x轴有一个交点或没有交点, 所以=(a+1)2-4a0,即(a-1)20, 所以a-1=0,所以a=1, 所以f(x)=x2+2x+1.,在的条件下,当x-2,2时,设g(x)=f(x)-kx,求g(x)的最小值.,(2)若函数f(x)=x2-2x+4-m在区间0,3上恒有f(x)0成立,求实数m的取值范围.,解:(2)因为f(x)=x2-2x+4-m0在区间0,3上恒成立,
11、 所以mx2-2x+4在0,3上的最大值, 记h(x)=x2-2x+4, 则h(x)在0,3上的最大值为h(3)=7.所以m7.,(3)已知二次函数y=-x2+2ax+(a-2)在x-1,2上有最大值4,求实数a的值.,解:(3)y=-x2+2ax+(a-2)=-(x-a)2+a2+a-2. 若a-1,2,则当x=a时,ymax=a2+a-2. 由题意知a2+a-2=4, 即a2+a-6=0,得a=-3或a=2. 因为a-1,2,所以a=2符合条件.,若a-1,因为二次函数y=f(x)在a,+)上单调递减, 即在-1,2上单调递减, 所以当x=-1时,ymax=-1-2a+a-2=-a-3.
12、由-a-3=4,得a=-7(小于-1), 所以a=-7符合条件.,若a2,则二次函数y=f(x)在-1,2上单调递增, 所以当x=2时,ymax=-4+4a+a-2=5a-6. 由5a-6=4,得a=2(不大于2), 所以此时不存在符合条件的a. 综上,符合条件的a的值为2或-7.,题型四 易错辨析 例4 函数f(x)=ax+1在1,2上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值为( ) (A)2 (B)-2 (C)2或-2 (D)0,错解:由于f(x)=ax+1在1,2上的最大值是2a+1,最小值是a+1, 所以(2a+1)-(a+1)=2.故a=2,选A. 纠错:由于f(x)=ax+1中a的值
13、不确定,因此要按a0和a0两种情况讨论,解法中忽视了对a的讨论.,正解:当a0时,(同错解)得a=2. 当a0时,函数f(x)=ax+1在1,2上是减函数,最大值为f(1)=a+1,最小值为f(2)=2a+1,故(a+1)-(2a+1)=-a=2,此时a=-2.故选C.,学霸经验分享区,若函数f(x)在闭区间a,b上单调,则f(x)的最值必在区间端点处取得,即最大值是f(a)或f(b),最小值是f(b)或f(a).,(2)二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出二次函数在给定区间上的图象,结合图象求最值,而对于含参数的二次函数在给定区间上的最值,应按二次函数的
14、对称轴与区间的相对位置关系分类讨论(一般是按对称轴在区间两侧或对称轴在区间内分类讨论).,课堂达标,1.函数y=f(x)在区间-3,3上的图象如图所示,则此函数的最大、小值分别是( ) (A)4,f(2) (B)f(2),-3 (C)4,-3 (D)4,-4,C,2.已知函数f(x)=x2-2,其中x0,2,这个函数的最大值和最小值分别为( ) (A)-2和1 (B)2和-2 (C)2和-1 (D)-1和2,B,解析:当x=0时,f(x)有最小值f(0)=-2, 当x=2时,f(x)有最大值f(2)=2.,解析:因为x1,2时,f(x)max=22+6=10, f(x)min=21+6=8; x-1,1时,f(x)max=1+7=8, f(x)min=-1+7=6, 所以f(x)max=10,f(x)min=6.,A,5.已知函数f(x)=|x|,x-3,2,则函数f(x)的最大值为 .,解析:易知f(x)=|x|在-3,0上是减函数,在0,2上是增函数,又f(-3)f(2),故f(x)=|x|在-3,2上的最大值为3. 答案:3,