《2020版人教A版高中数学必修一导练课件：1.3.2 第一课时 函数奇偶性的定义与判定 .ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版人教A版高中数学必修一导练课件：1.3.2 第一课时 函数奇偶性的定义与判定 .ppt（38页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.3.2 奇偶性 第一课时 函数奇偶性的定义与判定,目标导航,新知导学素养养成,1.奇函数、偶函数的定义 (1)偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内 一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫做偶函数. (2)奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内 一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫做奇函数.,任意,f(-x)=f(x),任意,f(-x)=-f(x),思考1:若函数具有奇偶性则它的定义域有何特点? 答案:定义域关于原点对称. 思考2:对于一个函数来说,它的奇偶性有哪些可能? 答案:对于一个函数来说,它的奇偶性有四种可能:是奇函数但不是偶函数;是偶函数但不是奇函数;既是奇函数又是
2、偶函数;既不是奇函数也不是偶函数.,2.奇、偶函数的图象特征 若函数y=f(x)是偶函数,那么它的图象关于 对称; 若函数y=f(x)是奇函数,那么它的图象关于 对称.,思考3:从函数图象看,奇、偶函数在对称区间上单调性是否一致? 答案:奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致,偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反. 思考4:若函数y=f(x)是奇函数,且点(a,f(a)是y=f(x)图象上一点,点(-a,-f(a)是否在函数图象上? 答案:由f(-a)=-f(a)知点(-a,-f(a)一定在函数y=f(x)图象上.,y轴,原点,名师点津,(2)若一个函数是奇函数且在x=0处有定义,则有f(0
3、)=0.,(3)设非零函数f(x),g(x)的定义域分别是F,G,若F=G,则奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性如下表所示:,注意:上述表格中不考虑f(x)g(x)=0;fg(x)中,需xG,g(x)F.,(4)常见的函数(一次、二次、反比例函数)奇偶性如下表所示:,课堂探究素养提升,题型一 函数奇偶性的判定 例1 (12分)判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3+x;,规范解答:(1)函数的定义域为R,关于原点对称. 1分 又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x), 2分 因此函数f(x)是奇函数. 3分,(3)函数f(x)的定义域是(-,-1)(-1,+),
4、 7分 不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.8分,方法技巧,根据函数解析式判断函数奇偶性的方法 (1)求函数f(x)的定义域; (2)判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称,若不关于原点对称,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数,若关于原点对称,则进行下一步; (3)结合函数f(x)的定义域,化简函数f(x)的解析式; (4)求f(-x); (5)根据f(-x)与f(x)之间的关系,判断函数f(x)的奇偶性;奇函数、偶函数,既奇又偶函数,非奇非偶函数;其中既奇又偶函数的表达式是f(x)=0,xA,A是关于原点对称的非空数集.,解:函数f(x)的定义域是(-,0)(0,+),关
5、于原点对称. 当x0时,-x0, 则f(-x)=(-x)3-3(-x)2+1=-x3-3x2+1=-(x3+3x2-1)=-f(x). 由知,当x(-,0)(0,+)时, 有f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.,备用例1 判断函数f(x)=|x+a|-|x-a|(aR)的奇偶性.,解:函数f(x)的定义域为(-,+),关于原点对称. 当a=0时,f(x)=|x+a|-|x-a|=0,函数既是奇函数又是偶函数. 当a0时,f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x). 此时函数为奇函数. 综上可知,当a=0时,函数既是奇函数又
6、是偶函数,当a0时,函数是 奇函数.,题型二 函数奇偶性的图象特征 例2 (1)如图是奇函数y=f(x)在x0部分的局部图象. 请根据奇函数性质比较f(3)与f(5)的大小.,解:(1)法一 根据奇函数图象关于原点对称的特征,作出奇函数在(0,+)部分图象如图所示,由图可知f(3)f(5). 法二 由函数的图象可知,函数y=f(x)在-5,-3上是减函数,由奇函数图象的性质可知,函数y=f(x)在3,5上是减函数,故f(3)f(5).,(2)如图是偶函数y=g(x)在x0部分的图象. 试根据图象写出不等式f(x)0的解集.,解:(2)根据偶函数y=g(x)的图象关于y轴对称的性质,作出函数y=
7、g(x)在(-,0)上的图象如图所示.由图象可知,f(x)0的解集为(-,-2)(2,+).,方法技巧,求解与奇偶函数有关的图象问题,常借助奇偶函数图象的对称性,根据已知的函数部分图象作出函数的另一部分图象,根据图象直观研究函数性质.,即时训练2-1:(1)已知奇函数f(x)在区间1,6上是增函数,且最大值为10,最小值为4,则在区间-6,-1上 f(x) 的最大值、最小值分别是( ) (A)-4,-10 (B)4,-10 (C)10,4 (D)不确定,解析:(1)依题意,作出函数y=f(x)在-6,-1和1,6上的图象(草图),如图所示,易知函数y=f(x)在-6,-1上的最小值为f(-6)
8、=-f(6)=-10,最大值为f(-1)=-f(1)=-4.因此选A.,答案:(1)A,(2)已知偶函数f(x)的定义域为-6,6,当x0,6时,f(x)的图象如图所示,不等式f(x)0的解集用区间表示为 .,解析:(2)作出y=f(x)在-6,0上的图象,如图所示,由图可知,f(x)0的解集是-3,3.,答案:(2)-3,3,备用例2 (1)设函数f(x)是奇函数,且在(0,+)内是增函数,又f(-3)=0,则f(x)3 (B)x|x3 (D)x|-3x0或0x3,解析:(1)依题意,作出函数y=f(x)在(-,0)和(0,+)上的示意图如图所示,由图易知f(x)0的解集是(-,-3)(0,
9、3).选B.,(2)如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,试作出f(x)在y轴右侧的图象,并求出f(3)的值;,解析:(2)奇函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x,-f(x)(x0)关于原点的对称点为P(x,f(x),如图为补充后的图象,易知f(3)=-2.,(3)如图,给出偶函数y=f(x)的局部图象,比较f(1)与f(3)的大小,并作出它位于y轴右侧的图象.,解析:(3)偶函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x,f(x)(x0)关于y轴的对称点为P(x,f(x),如图为补充后的图象.易知f(1)f(3).,题型三 利用函数奇偶性求参数 例3 (1)若函数f(x)=x3+
10、ax2+x是定义域为R的奇函数,则a的值为 .,解析:(1)法一 因为f(x)是奇函数, 所以f(-x)=-f(x). 所以-x3+ax2-x=-(x3+ax2+x), 整理得2ax2=0.即a=0. 法二 因为f(x)是奇函数, 所以f(-x)=-f(x). 所以f(-1)=-f(1), 所以(-1)+a+(-1)=-(1+a+1),所以a=0.,答案:(1)0,(2)若函数g(x)=(x-2)(x+b)是定义域为R的偶函数,则b的值为 .,答案:(2)2,方法技巧,利用函数奇偶性求参数的方法: (1)定义域含参数,根据定义域关于坐标原点对称,列式求解. (2)解析式含参数,根据f(-x)=
11、-f(x),f(-x)=f(x)列式,整理化简求解.,即时训练3-1:(1)已知y=f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为 .,解析:(1)因为f(x)是奇函数, 所以f(3)=-f(-3). 又x0时,f(x)=x2+ax, 所以f(-3)=9-3a. 又f(3)=6.所以f(-3)=-6. 所以9-3a=-6,所以a=5.,答案:(1)5,(2)(2019山东烟台市高一上期中)已知函数f(x)=ax2+(b-2)x+3, xa-3,2a是偶函数,则实数a= ,b= .,解析:(2)因为f(x)是偶函数, 所以a-3+2a=0,即a=1. 由f(-1)=
12、f(1),得b=2, 此时f(x)=x2+3是偶函数, 所以a=1,b=2.,答案:(2)1 2,(1)解析:因为f(x)是奇函数, 则f(-x)=-f(x). 又x0时,f(x)=3x2+2x,则-x0, 此时f(-x)=ax2-bx. 故3x2+2x=-(ax2-bx). 所以a=-3,b=2. 所以2a+b=-4. 答案:-4,学霸经验分享区,(1)判断函数奇偶性,一是用其定义判断,即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称,再检验f(-x)与f(x)的关系;二是用其图象判断,考察函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断,但必须注意它是函数这一大前提. (2)分段函数奇偶性的判断方法 一般
13、用定义法分段处理.分段函数的奇偶性应分段说明f(-x)与f(x)的关系,只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时,才能判断函数的奇偶性,否则该分段函数既不是奇函数也不是偶函数.要特别注意:若xa,b,-x-b,-a,在求f(-x)时,需代入区间-b,-a对应的函数解析式.,分段函数的奇偶性也可以通过函数图象的对称性加以判断.如f(x)=x|x|可通过图象判断. (3)应用函数的奇偶性求值、参数或函数的解析式,要根据函数奇偶性的定义,利用f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)对函数值及函数解析式进行转换.而对于填空选择题,也可以利用定义域内的特殊值验证,如奇函数中当x=0有定义时f(0)
14、=0等.,课堂达标,1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( ),解析:只有B选项中的函数图象关于y轴对称,是偶函数图象.,B,D,解析:由于函数定义域为x|x0,不关于原点对称,故是非奇非偶函数,选D.,3.已知函数f(x)是奇函数,且定义域为R,当f(3)=-2时,f(-3)= .,解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x), 所以f(-3)=-f(3)=2. 答案:2,解析:由题意知-3+a=0, 所以a=3.故f(3)=32+2=11. 答案:11,4.若函数f(x)=x2+2是定义在-3,a上的偶函数,则f(a)= .,解析:g(-3)=f(-3)=-f(3)=-32-3=-12. 答案:-12,