《2020届高三文科数学总复习课件：9.4 双曲线及其性质 (数理化网).pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高三文科数学总复习课件：9.4 双曲线及其性质 (数理化网).pptx（24页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、9.4 双曲线及其性质,高考文数（课标专用）,考点一 双曲线的定义及其标准方程 考向基础 1.双曲线的定义 (1)双曲线的定义用符号表示为 |MF1|-|MF2|=2a,其中2a|F1F2|时,动点轨迹不存在.,考点清单,2.双曲线的标准方程 双曲线的标准方程是根据双曲线的定义,通过建立恰当的坐标系求出 的.若已知所求曲线是双曲线,也可利用待定系数法求方程.参数b= 是由于进一步化简方程的需要而引入的,但它同样具有明确的 几何意义,即b表示双曲线虚半轴的长.由双曲线的标准方程可确定双曲 线实半轴长a和虚半轴长b,再结合c2=a2+b2,就可得到双曲线的顶点、焦 点坐标,实轴长,虚轴长,焦距,离
2、心率,渐近线等性质. 求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去 考虑.“定形”是指对称中心在原点,以坐标轴为对称轴的情况下,焦点 在哪条坐标轴上;“定式”是根据“形”设双曲线方程的具体形式; “定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.若双曲线的焦点在x,轴上,可设双曲线方程为 - =1(a0,b0);若双曲线的焦点在y轴上,可 设双曲线方程为 - =1(a0,b0);若焦点位置无法确定,可设双曲线方 程为 - =1(mn0)或Ax2-By2=1(AB0)的形式,这样可避免讨论,减少运 算量.,【知识拓展】 过焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上,则AB与另一个焦点F2构
3、成的 ABF2的周长为4a+2|AB|.,例1 虚轴长为2,离心率e=3的双曲线的两焦点为F1,F2,过F1作直线交双 曲线的一支于A、B两点,且|AB|=8,则ABF2的周长为 ( ) A.3 B.16+ C.12+ D.24,考向突破 考向一 双曲线定义的应用,解析 由于2b=2,e= =3, b=1,c=3a,9a2=a2+1,a= . 由双曲线的定义知:|AF2|-|AF1|=2a= , |BF2|-|BF1|= , +得|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)= , 又|AF1|+|BF1|=|AB|=8, |AF2|+|BF2|=8+ ,则ABF2的周长为16+ ,故选B
4、.,答案 B,例2 (2015天津,5,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一个焦点为F(2, 0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. -y2=1 D.x2- =1,考向二 求双曲线的标准方程,解析 由题意知,双曲线的渐近线方程为y= x,即bxay=0,因为双曲线 的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,所以 = ,由双曲线的一个焦点为 F(2,0)可得a2+b2=4,所以|b|= ,所以b2=3,所以a2=1, 故双曲线的方程为x2- =1,故选D.,答案 D,考点二 双曲线的几何性质 考向基础,【知识拓展
5、】 1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 . 2.P为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且F1PF2=,则F1PF2 的面积为 .,3.焦点到渐近线的距离为b. 4.(1)等轴双曲线:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线. (2)双曲线为等轴双曲线双曲线离心率e= 两条渐近线互相垂直. 5.双曲线 - =1(a0,b0)的共轭双曲线为 - =1(a0,b0),它们有 共同的渐近线y= x,离心率满足的关系式为 + =1. 6.设P,A,B是双曲线上的三个不同的点,其中A,B关于原点对称,则直线 PA与PB的斜率之积为 . 考向突破,例3 (2019届广东惠州第一次调研,3
6、)已知双曲线C的中心在原点,焦点 在x轴上,其中一条渐近线的倾斜角为 ,则双曲线C的离心率为 ( ) A.2或 B.2或 C. D.2,考向一 求双曲线的离心率,解析 根据题意,可设双曲线C的方程为 - =1(a,b0),所以 = ,则e = = =2,故选D.,答案 D,考向二 求双曲线的渐近线方程,例4 (2019届广东佛山第一中学9月月考,3)已知双曲线 - =1(m0) 的焦点在圆x2+y2=25上,则双曲线的渐近线方程为 ( ) A.y= x B.y= x C.y= x D.y= x,解析 由双曲线 - =1(m0)知其焦点在x轴上,可设焦点坐标为 (c,0)(c0),(c)2=25
7、,解得c=5.又知c2=16+m,m=9.双曲线的渐近线 方程为y= x,故选C.,答案 C,考点三 直线与双曲线的位置关系 考向基础 1.直线与双曲线的位置关系:无交点;有一个交点,可能相切,也可能 相交;有两个交点,在一支上或在两支上. 2.研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代入双曲线方程, 消元,得关于x或y的方程,当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交于某 支上一点;当二次项系数不等于0时,用判别式来判定.,例5 已知直线y=1-x与双曲线ax2+by2=1(a0,b0)的渐近线交于A、B两 点,且过原点和线段AB中点的直线的斜率为- ,则 的值为 ( ) A.- B.-
8、C.- D.-,考向突破 考向 弦中点问题,解析 由双曲线ax2+by2=1知其渐近线方程为ax2+by2=0,设A(x1,y1),B(x2, y2),则有a +b =0,a +b =0,由-得a( - )=-b( - ).即a(x1+ x2)(x1-x2)=-b(y1+y2)(y1-y2),由题意可知x1x2,且x1+x20, = - ,设AB的中点为M(x0,y0),则kOM= = = =- ,又知kAB=-1,- (-1)=- , =- ,故选A.,答案 A,方法1 求双曲线的标准方程的方法 1.定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线的定义确定 2a,2c,然后确定a2,b2
9、的值,再结合焦点位置写出双曲线方程. 2.待定系数法:根据双曲线焦点的位置设出相应形式的标准方程,然后根 据条件列出关于a,b的方程组,解出a,b,从而写出双曲线的标准方程. 3.利用待定系数法求双曲线标准方程的常用设法:与双曲线 - =1 (a0,b0)共渐近线的双曲线方程可设为 - =(0);若双曲线的,方法技巧,渐近线方程为y= x,则双曲线方程可设为 - =(0);若双曲线 过两个已知点,则双曲线方程可设为 + =1(mn0),也可设为Ax2+By2= 1(AB0).,例1 设双曲线与椭圆 + =1有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个 交点的坐标为( ,4),则此双曲线的标准方程是 .
10、,解析 解法一:椭圆 + =1的焦点坐标是(0,3),设双曲线方程为 - =1(a0,b0),根据双曲线的定义知2a=| - |=4,故a=2.又b2=32-a2=5,故所求双曲线的标准方程为 - =1. 解法二:椭圆 + =1的焦点坐标是(0,3).设双曲线方程为 - =1(a 0,b0),则a2+b2=9,又点( ,4)在双曲线上,所以 - =1,联立, 解得a2=4,b2=5.故所求双曲线的标准方程为 - =1. 解法三:设双曲线的方程为 + =1(2736),由于双曲线过点( ,4),故 + =1, 解得1=32,2=0, 经检验,1=32,2=0都是分式方程的根,但=0不符合题意,应
11、舍去,所以= 32. 故所求双曲线的标准方程为 - =1.,答案 - =1,方法2 求双曲线的离心率(或取值范围)的方法 1.在解析几何中,解决求范围问题,一般可从以下几个方面考虑:与已 知范围联系,通过求函数值域或解不等式来完成;通过一元二次方程 的根的判别式的符号建立不等关系;利用点在曲线内部建立不等关 系;利用解析式的结构特点,如a2,|a|, 等的非负性来完成范围的求解. 2.求双曲线离心率或离心率范围的常用方法 (1)求a及b或c的值,由e2= = =1+ 求e. (2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后转化 成关于e的方程(或不等式)求解.
12、,例2 (2019届河南洛阳期中检测,5)若双曲线 - =1(b0)的一条渐近 线与圆x2+(y-2)2=2至少有一个公共点,则双曲线离心率的取值范围是 ( ) A.(1,2 B.(1, C. ,+) D. ,+),解析 不妨设双曲线 - =1(b0)的一条渐近线方程为y= x,即bx-2y= 0.该渐近线与圆x2+(y-2)2=2至少有一个公共点,圆心(0,2)到渐近线 的距离d= ,即2b2+816,b24,又知双曲线离心率e= = = ,e ,故选C.,答案 C,例3 (2016山东,14,5分)已知双曲线E: - =1(a0,b0).矩形ABCD的 四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离 心率是 .,解析 由已知得|AB|=|CD|= ,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.因为2|AB|=3|BC|,所 以 =6c,2b2=3ac, =3e,2(e2-1)=3e,2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=- (舍去).,答案 2,