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1、4 不等式的证明,第1课时 比较法、分析法,1.比较法 比较法证明不等式可分为求差比较法和求商比较法两种,名师点拨 1.用求差比较法证明不等式的一般步骤. (1)作差:把不等式左、右两边作差,可以是左边减右边,也可以是右边减左边. (2)变形:把这个差变化为易于判断正负的形式,而不必考虑差的值是多少,变形的方法主要有配方法、通分法、因式分解法等. (3)判断差的符号:主要依据差的最后变形的结果来判断. (4)下结论:肯定所证明的不等式成立.,2.分析法 (1)定义:从所要证明的结论出发,分析使此不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判断这些充分条件是否成立的问题,如果能够使这些充分条件都具备
2、,那么就可以断定原不等式成立,这种证明方法叫作分析法. (2)思路:“执果索因”的证明方法,即从求证的不等式出发,不断地用充分条件来代替前面的不等式,直到找到已知不等式为止.,【做一做3】 用分析法证明:欲使AB,只需CD,这里是的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立,即,所以是的必要条件. 答案:B,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (3)若anbn0,则ab.( ) (4)用分析法证明不等式时,其实质是由结论步步寻求不等式成立的充要条件,从而到已知.( ) 答案:
3、(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例1】 已知正数a,b,c成等比数列,求证:a2-b2+c2(a-b+c)2. 分析先由a,b,c成等比数列得出a,b,c满足的关系式,再利用求差比较法进行证明.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 利用求差比较法证明不等式的技巧 (1)求差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目的在于判断差的符号,而不用考虑差能否化简或值是多少. (2)变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法. (3)因式分解是常用的变形手段,为了便于判断差式的符号,常将差式变形为一个常数,或几个
4、因式积的形式,当所得的差式是某字母的二次三项式时,常用判别式法判断符号.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1已知a,b均为负数,求证:a3+b3a2b+ab2. 证明a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2) =a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)2(a+b). 因为a,b均为负数,所以a+b0,(a-b)20. 所以(a-b)2(a+b)0. 故a3+b3a2b+ab2.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析求差比较法不易证明,可采用求商比较法.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 利用求商比较法证明不等式的
5、一般步骤 (1)作商:将不等式左右两边的式子进行作商. (2)变形:化简商式到最简形式. (3)判断:判断商与1的大小关系,也就是判断商大于1或小于1或等于1. (4)得出结论.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析用分析法证明不等式,从要证明的不等式出发,将要证明的不等式逐步简化,直至得出明显成立的不等式.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 利用分析法证明不等式应注意的问题 (1)利用分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论. (2)利用分析法证明不等式的思维是从要证明的不等
6、式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,正解当a=1时,loga+1a=0,loga+2(a+1)=log320, 所以loga+1a0, 必有loga+1a1时,loga+1a0,loga+2(a+1)0, 所以loga+1aloga+2(a+1). 综上所述,不等式loga+1aloga+2(a+1)成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得 用作商比较法证明不等式,须注意前提条件,即由 推得b0,b0的条件,否则可能会得出相反的结论.错解中没有证明loga+1a0,loga+2(a+1)0,所以证明是不严密的.,1,2,3,4,1.若P=x2+y2+1,Q=xy-x-y,则有( ) A.PQ B.PQ C.PQ D.PQ 解析:2P-2Q=2x2+2y2+2-2xy+2x+2y =(x-y)2+(x+1)2+(y+1)20,所以PQ. 答案:B,1,2,3,4,2.用分析法证明不等式时的推理过程一定是( ) A.正向、逆向均可进行正确的推理 B.只需能进行逆向推理 C.只需能进行正向推理 D.有时能正向推理,有时能逆向推理 答案:B,1,2,3,4,答案:a2+b2-2ab0 (a-b)20 (a-b)20,1,2,3,4,