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1、第2课时 等差数列的性质及应用,1.等差数列与一次函数的关系 (1)若数列an是等差数列,首项为a1,公差为d,则an=f(n)=a1+(n-1)d =nd+(a1-d). 点(n,an)在直线y=dx+(a1-d)上; 这些点的横坐标每增加1,函数值增加 d. (2)公差d与等差数列增减性的关系: 当d0时,an是递增数列; 当d0时,an是递减数列; 当d=0时,an是常数列,不是递增数列,也不是递减数列. 【做一做1】已知数列an的通项公式an=-2n+5,则此数列的公差d= . 解析:由an=-2n+5=-2(n-1)+3,得公差d=-2. 答案:-2,2.等差中项 (1)如果在a与b
2、中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项. (2)如果A是a与b的等差中项,那么 【做一做2】若m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是 .,答案:3,3.等差数列的性质 (1)在等差数列an中,若m+n=p+q(m,n,p,qN+),则am+an=ap+aq; (2)在等差数列an中,若m+n=2t(m,n,tN+),则am+an=2at; (3)若数列an是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an=a2+an-1=ai+1+an-i=(n,iN+); (4)数列an+b(,b是常数)是公差为d
3、的等差数列; (5)下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,(k,mN+)组成公差为md的等差数列; (6)若数列bn也为等差数列,则kan+mbn+b(k,m,b为常数)也是等差数列.,【做一做3】在等差数列an中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( ) A.40 B.42 C.43 D.45 解析:由已知得a4+a5+a6=3a5, 又由a1=2,a2+a3=13,得出an=3n-1, a4+a5+a6=3(35-1)=42. 答案:B,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)等差数列的通项公式一定是关于n的一
4、次函数. ( ) (2)a,b,c成等差数列与2b=a+c是等价的. ( ) (3)若数列an是等差数列,则nan也是等差数列. ( ) (4)若数列an是等差数列,则pan+q(其中p,q为非零常数)也是等差数列. ( ) (5)若数列an中任意相邻三项an-1,an,an+1(n2)满足2an=an-1+an+1,则数列an为等差数列. ( ) (6)若等差数列an中四项am,an,ap,aq(其中m,n,p,qN+)满足关系am+an=ap+aq,则一定有m+n=p+q成立. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5) (6),探究一,探究二,探究三,思想方法,分析:将已知条件
5、转化,利用等差中项法证明an为等差数列. 证明:对任意nN+,都有,上式等号两边同乘a1an+1an+2,得a1=(n+1)an+1-nan+2. 同理可得a1=nan-(n-1)an+1, -得2nan+1=n(an+2+an), 即an+2-an+1=an+1-an,an为等差数列.,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟1.涉及等差数列中相邻三项的问题,均可用等差中项方法求解,即若a,b,c成等差数列,则必有2b=a+c. 2.证明等差数列时,如果定义法不适用,那么可考虑利用等差中项法,即若an满足2an=an-1+an+1(nN+,n2),则an就是等差数列.,探究一,探究二,探究
6、三,思想方法,变式训练1 若四个非零实数a,x,b,2x成等差数列,试求 的值. 解:a,x,b,2x成等差数列,x是a与b的等差中项,b是x与2x的等差中项.,探究一,探究二,探究三,思想方法,【例2】(1)在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=210,则a2+a10= . (2)已知数列an为等差数列,且满足a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+a14=77,ak=13,求k的值. (1)答案:60 (2)解:因为a4+a10=2a7,a4+a14=a5+a13=a6+a12=a7+a11 =a8+a10=2a9,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟等差
7、数列性质的应用技巧 已知等差数列的两项和,求其余几项和或者求其中某项,对于这类问题,在解题过程中通常要考虑利用等差数列的性质,尤其要注意利用性质“若m,n,p,kN+,且m+n=p+k,则有am+an=ap+ak,其中am,an,ap,ak是数列中的项.特别地,当m+n=2p时,有am+an=2ap”,从而将问题解决.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练2 已知an为等差数列,若a15=8,a60=20,求a75. 解:an为等差数列, a15,a30,a45,a60,a75也为等差数列, 设其公差为d,则a15为首项,a60为第4项. a60=a15+3d,d=4.a75=a60+d
8、=24.,探究一,探究二,探究三,思想方法,【例3】 某市2016年年底机动车保有量为150万辆,据统计,该市机动车保有量每年将比上一年增加8万辆.据此计算至哪一年年底,该市机动车保有量将超过200万辆? 分析:依题意每年机动车保有量构成等差数列,故可建立等差数列模型求解. 解:依题意知,从2016年年底开始,每年的机动车保有量依次构成首项为150,公差为8的等差数列. 因此设an=a1+(n-1)d=150+8(n-1)=8n+142. 令an=8n+142200,解得 ,应取n=8. 因为2 016+8-1=2 023, 所以至2023年年底,该市机动车保有量将超过200万辆.,探究一,探
9、究二,探究三,思想方法,反思感悟1.解答数列应用题的基本步骤是: (1)审题,要仔细阅读材料,认真理解题意; (2)建模,即将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题; (3)判型,即分清该数列是否为等差数列; (4)求解,即求出该问题的数学解; (5)还原,即将所求结果还原到应用题中. 2.本例中要注意的是2016年年底的保有量为an的首项a1,因此an的第八项应为2023年年底,别误认为2024年年底的保有量.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练3 有一个很神秘的地方,那里有很多的雕塑,每个雕塑都是由蝴蝶组成的,第一个雕塑有3只蝴蝶,第二个雕塑有5只蝴蝶,第三个雕塑
10、有7只蝴蝶,第四个雕塑有9只蝴蝶,以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方,学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里,那么,第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢?由999只蝴蝶组成的雕塑是第几个呢? 解:从第一个雕塑的蝴蝶数一直延伸下去,所有的蝴蝶数看成一个数列an,由题意知是等差数列,则a1=3,a2=5,得d=2,若n=102,由通项公式an=a1+(n-1)d,得a102=3+2(102-1)=205;由3+2(n-1)=999,解得n=499.所以第102个雕塑是由205只蝴蝶组成,由999只蝴蝶组成的雕塑是第499个.,探究一,探究二,探究三,思想方法,利用数列的对称性解题 【典例】
11、已知四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数. 分析:要求四个数,只需根据条件列出方程组即可,可根据四个数成等差数列灵活设出. 解:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,探究一,探究二,探究三,思想方法,方法点睛本题巧妙地运用数列的对称性质将所求四项设为a-3d,a-d,a+d,a+3d,这样使运算量大大减少.如果将此四个数设为a,a+d,a+2d,a+3d,那么将使计算难度增加.因此解决此类问题,一定要充分利用数列本身的特征性质,还要注意题干中的限制条件,比如该数列为递增数列,如果忽视这一条件,那么将会出现增解.,探究一,探究二,探究三,思想方法,
12、变式训练 公差为-2的等差数列an中,若a1+a4+a7+a16 =498,则a3+a6+a9+a18=( ) A.486 B.474 C.462 D.426 解析:(a3+a6+a9+a18)-(a1+a4+a7+a16)=2d6=-24, a3+a6+a9+a18=498-24=474. 答案:B,1,2,3,4,5,答案:B,1,2,3,4,5,2.在等差数列an中,已知a4+a8=16,则a2+a10=( ) A.12 B.16 C.20 D.24 解析:由等差数列的性质知,a2+a10=a4+a8=16,故选B. 答案:B,1,2,3,4,5,3.在等差数列an中,若a6+a7+a8=33,则a1+a3+a11+a13= . 解析:因为a6+a8=2a7,所以3a7=33,解得a7=11. 故a1+a3+a11+a13=(a1+a13)+(a3+a11)=2a7+2a7=4a7=44. 答案:44,1,2,3,4,5,4.在-8和10之间插入a1,a2,a3三个数,使这5个数成等差数列,则a2= .,答案:1,1,2,3,4,5,