《2020版新学优数学同步人教A必修五课件：3.3.2 简单的线性规划问题 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版新学优数学同步人教A必修五课件：3.3.2 简单的线性规划问题 .pptx（27页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、3.3.2 简单的线性规划问题,线性规划的有关概念及其图解法 1.填空: (1)线性规划中的基本概念,(2)用图解法解决线性规划问题 在确定约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最优解的步骤为: 在平面直角坐标系中画出可行域;,在线性目标函数所表示的一组平行线中,用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线. 求出最优解并代入目标函数,从而求出目标函数的最值.,2.做一做: (1)判断正误. 一般地,线性规划问题中的目标函数是线性目标函数. ( ) 线性目标函数的最优解可能是不唯一的. ( ) 线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上. ( ) 在目标函数z=ax+b
2、y(b0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距. ( ) 在线性规划问题中,当直线z=ax+by(b0)在y轴上的截距最大时,目标函数z取得最大值. ( ) 答案: ,A.4和3 B.4和2 C.3和2 D.2和0 解析:画出可行域,如图阴影部分所示.,画出直线2x+y=0,并在可行域内移动, 当直线经过点(1,0)时,z取最小值; 当直线经过点(2,0)时,z取最大值. 故zmax=22+0=4,zmin=21+0=2. 答案:B,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,求线性目标函数的最值问题,(1)2x+3y的最大值;(2)4x+y的最大值;(3)3x-y的最小值;(4)5
3、x-5y的最大值. 分析:画出可行域,然后按照线性规划问题的图解法步骤,进行求解.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,(2)画出线性约束条件表示的可行域(如图中的阴影部分),令4x+y=z,则y=-4x+z,由图形可知,当直线y=-4x+z经过点B(15,5)时,直线在y轴上的截距最大,z取到最大值,故zmax=415+5=65. (3)画出线性约束条件表示的可行域(如图中的阴影部分),令3x-y=z,则y=3x-z,由图形可知,当直线y=3x-z经过点C(-15,15)时,直线在y轴上的截距最大,z取到最小值,故zmin=3(-15)-15=-60. (
4、4)画出线性约束条件表示的可行域(如图中的阴影部分),令5x-5y=z,则y=x- ,由图形可知,当直线y=x- 与边界直线x-y=10重合时,直线在y轴上的截距最小,z取最大值,由于B(15,5),故zmax=515-55=50.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,反思感悟1. 解线性规划问题的关键是作出可行域,若可行域为封闭区域,则区域的顶点很可能就是目标函数取得最大值或最小值的点,因此我们在解决这些问题时,可以根据这些点快速找到目标函数取得最值时对应的x,y的值,再代入目标函数中即可求得最值. 2.求解线性规划问题时,经常需要比较相关直线的斜率的大小,以决定它们的倾斜程度,从而找出最优
5、解,所以要熟悉直线斜率与倾斜角之间的关系. 3.线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界处取得,当表示线性目标函数表示的直线与可行域的某边重合时,其最优解可能有无数个.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,延伸探究本例中,若条件不变,求z=y-2x的最大值. 解:画出线性约束条件表示的可行域,(如图中的阴影部分),由z=y-2x可得y=2x+z,由图可知,当直线y=2x+z经过点C(-15,15)时,直线在y轴上的截距最大,z取最大值,故zmax=15-2(-15)=45.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,线性规划中的实际问题 例2某工厂有甲、乙两种产品,计划每天各产品生产量不少于15
6、 t.已知生产1 t甲产品需煤9 t,电力4 kWh,劳力3个;生产1 t乙产品需煤5 t,电力5 kWh,劳力10个;甲产品每吨利润7万元,乙产品每吨利润12万元;但每天用煤不超过300 t,电力不超过200 kWh,劳力只有300个.问每天各生产甲、乙两种产品多少时,能使利润总额达到最大? 分析:将已知数据列成表,如下表所示.,设出未知量,根据资源限额建立约束条件,由利润关系建立目标函数.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,作出以上不等式组满足的可行域,如图中的阴影部分所示.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,得点A的坐标为(20,24), 所以zmax=720+1224=428(万元
7、).故生产甲、乙两种产品分别为20 t,24 t时,利润总额最大.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,反思感悟解答线性规划应用题的一般步骤 1.审题.仔细阅读,准确理解题意,明确有哪些限制条件,起关键作用的变量有哪些.由于线性规划应用题中的量较多,为了理顺题目中量与量之间的关系,有时可借助表格来处理. 2.转化.设出未知量,由条件写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为数学中的线性规划问题. 3.求解.解这个数学问题,其求解过程是:(1)作图;(2)平移;(3)求最优解及最值. 4.作答.就应用题提出的问题给出回答.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,变式训练某企业生产甲、乙两种产品均
8、需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示:,生产1吨甲、乙产品可获得的利润分别为3万元、4万元,若要该企业每天获得的利润最大,则甲、乙两种产品每天应分别生产多少?,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,故要使该企业每天获得的利润最大,该企业应每天生产甲种产品2吨、乙种产品3吨.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,弄错目标函数与直线的截距间的关系致误,错解:画出不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分).由z=2x-y可得y=2x-z,因此平移直线y=2x-z,当直线经过可行域中的点A时,直线在y轴上的截距最大,则z取得最大
9、值,而A(-2,-1),所以zmax=2(-2)-(-1)=-3.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,提示:错解中,没有弄清直线y=2x-z在y轴上的截距与z的关系,误以为在y轴上的截距最大时z取最大值,事实上,直线y=2x-z在y轴上的截距是-z,因此当直线在y轴上的截距最大时,z反而取最小值. 正解:画出不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分).由z=2x-y可得y=2x-z,因此平移直线y=2x-z,当直线经过可行域中的点B时,直线在y轴上的截距最小,则z取得最大值,而B(0,-1),所以zmax=0(-2)-(-1)=1.,答案:1,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,探究一,探究
10、二,思维辨析,当堂检测,A.1 B.2 C.3 D.4 解析:在平面直角坐标系中,画出可行域(如图中的阴影部分).把z=y+2x变形为y=-2x+z,平移直线2x+y=0,当直线经过点(1,2)时,直线在y轴上的截距最小,z的值也最小.所以zmin=2+21=4,故其最小值为4.,答案:D,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,A.12 B.11 C.3 D.-1 解析:作出如图所示的可行域(阴影部分),把z=3x+y变形为y=-3x+z,平移直线3x+y=0,当直线经过点B(3,2)时,z取得最大值,最大值为11.,答案:B,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,答案:4,探究一,探究二,思维辨
11、析,当堂检测,4.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨.甲产品每吨利润为5万元,乙产品每吨利润为3万元.如果该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨,那么该企业的最大利润为 万元.,答案:27,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,5.在制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,还要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,解:设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目,盈利为z万元,由题意得,上述不等式组确定的平面区域如图阴影 部分所示.令z=0,得l0:x+0.5y=0. 当l0向上平移时,z值逐渐增大, 当直线经过点M时,z取得最大值.,因此,当x=4,y=6时,zmax=14+0.56=7(万元). 所以投资人用4万元投资甲项目,6万元投资乙项目,才能确保在亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大.,