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1、第 1 页 教学重点 特殊三角形解题方法 教学难点特殊三角形解题方法 三角形的初步认识 知识要点： 1.1 认识三角形 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。“三角形”用符号“” 表示，顶点是ABC的三角形记做“ABC ”读作“三角形ABC ” 。 由两点之间线段最短，可以得到如下性质：三角形任何两边的和大于第三边。 三角形三个内角的和等于180。 三角形按角进行分类： （注意要着重搞清各类三角形的特征。） 锐角三角形三个角都是锐角。 三角形直角三角形有一个角是直角。（记作 RtABC ） 钝角三角形有一个角是钝角。 由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫
2、做该三角形的外角。 三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和。 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 1.2 三角形的平分线和中线 在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的三角 形的平分线。 在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。 1.3 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。直角三角形的直角边上的高分 别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的 外部
3、，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。 1.4 全等三角形 能够重合的两个三角形称为全等三角形。 两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角 形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。 “全等”可用符号“”来表示。全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。 第 2 页 1.5 三角形全等的条件 三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS ” ） 。 当三角形三边长确定是，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性，这是三角 形特有的性质。 有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角
4、边”或“SAS ” ） 。 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA ” ） 。 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS ” ） 。 角平分线上的一点到角两边的距离相等。 1.6 作三角形 : 在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。 特殊三角形 知识归纳 1. 等腰三角形：两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的 夹角叫做顶角，腰和底边的夹
5、角叫做底角。 2. 等腰三角形的“三线合一”性顶角平分线；底边中线；底边高 【注意】等腰三角线的对称轴是“三线”所在的直线，也是底边的中垂线 3. 等腰三角形的画法 （1）任作一线段为等腰三角形的底； （2）分别以此线段的两端点为圆心，以腰长为半径画弧，两弧的交点即为三角形的顶点。 4. 三角形的分类 （1） （2） 第 3 页 5. 等腰三角形的性质 （1）两腰相等； （2）两底角相等（等边对等角，等角对等边）； （3） “三线合一” ； （4）轴对称； （5）两腰上的中线相等； （6）两底角的平分线相等； （7）两腰上的高相等； （8）底边的一半腰长周长的一半； 6. 等腰三角形的判定 （
6、1）两角相等； （2）两边相等； （3）两边上中线相等； （4）一边的中线垂直这条边（平分这条边的对角）； （5）一个角的角平分线垂直于这个角的对边（平分对边）； （6）两个角的角平分线相等； （7）一边上的高平分这条边（平分这条边的对角）； （8）两条高相等； 7. 等边三角形：三边相等的三角形叫等边三角形（正三角形）。等边三角形是特殊的等腰三角形，具 有等腰三角形所有的性质。 8. 等边三角形的性质 （1）三边相等，三个角都相等（都为60） ； （2）轴对称性； 9. 等边三角形的判定 （1）三边相等； （2）三个角相等； （3）有一个角是60的等腰三角形； 10. 等边三角形的作法 （1
7、）作线段等于等边三角形的边长； （2）分别以此线段的两端点为圆心，以边长为半径画弧，两弧交于一点； （3）分别连此交点与已画线段的两端点。 第 4 页 11. 直角三角形：有一个角是直角的三角形。用“Rt”表示。 等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形。 12. 直角三角形的性质 （1）两锐角互余； （2）30角所对的直角边等于斜边的一半（及其逆定理）； （3）斜边上的中线等于斜边的一半； （4）勾股定理： 13. 直角三角形的判定 （1）有一个角为直角； （2）两角互余； （3）勾股定理的逆定理； （4）一边上的中线等于这边的一半； 14. 勾股定理的变形 15. 直角三
8、角形全等的判定方法 （1）SAS （2）SSS （3）ASA （4）AAS （5）HL（斜边、直角边） ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 练习巩固 一选择题 1. 等腰三角形一底角为30, 底边上的高为 9cm,则腰长为 _cm （） 3D.9C.9B.18A.3 第 5 页 2. 等腰三角形的一个角等于20, 则它的另外两个角等于: （） A.20、 140B.20 、 140或 80、 80C.80、 80 D.20 、 80 3. 等腰三角形一腰上的高与底所夹的角等于 A.顶角 B.顶角的 2 1 C.顶角的 2 倍 D底角的 2 1 4. 如图已知 : AB AC BD
9、, 那么 1与 2之间的关系满足（） A.122 B.21 2180 C.132180 D.31 2180 5. 等腰三角形中的一个角等于，则另两个内角的度数分别为（） （A），（B）， （C），（D），或， 6. 在下列命题中，正确的是（） （A）等腰三角形是锐角三角形（B）等腰三角形两腰上的高相等 （C）两个等腰直角三角形全等（D）等腰三角形的角平分线是中线 7已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（） （A）（B）（C）（D）或 8在中，若的周长为24，则的取值范围是（） （A）（B） （C）（D） 9在中，若的周长为24，则的取值范围是（） （A）（B） （C）（D） 10
10、. 等腰三角形底边长为，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 . 则腰长为（） （A）（B）（C）或（D）以上答案都不对 二填空题 第 6 页 1. 等腰三角形的腰长是底边的 4 3 ，底边等于12cm，则三角形的周长为 cm 2. P 为等边 ABC所在平面上一点, 且 PAB,PBC,PCA都是等腰三角形, 这样的点P有_个. 3. 在等腰 ABC 中, AB AC, ADBC 于D, 且AB ACBC 50cm, 而AB BDAD 40cm, 则 AD _cm. 4. 如图已知 ACB 90, BD BC, AEAC, 则 DCE _度. 第 4 题第 8 题 5. 如果中，它的两边长为
11、和，那么它的周长为_. 6. 如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为，那么它的三边长为_. 7. 在等腰三角形中， 如果顶角是一个底角的2 倍，那么顶角等于_度；如果一个底角是顶角的2 倍， 那么顶角等于 _度 . 8. 如图， 在中，D是AC上的一点， 且，则 _ ， _ ， _. 三解答题 1. 如图 , ABC中,D 在 BC延长线上 , 且 AC=CD,CE 是 ACD的中线 ,CF 平分 ACB,交AB 于 F, 求证 :(1)CE CF;(2)CF AD. 2. 如图，已知：在中，求的度数 . 第 7 页 3. 如图，已知：在等边三角形ABC中，D 、E分别在AB和AC上，且，B
12、E和CD相交于点P. 求：的度数 . 4. 如图，已知：在中，点O在内，且， 求：的度数 . 5. 如图，已知：在中， . 求：的 度数 . 第 8 页 7. 已知 : 如图，BDE是等边三角形， A在 BE延长线上， C在 BD的延长线上， 且 AD=AC 。 求证：DE+DC=AE。 8. 已知：在 ABC中， ABC=90 ，点 E 在直线 AB上， ED与直线 AC垂直，垂足为D，且点 M为 EC 中点，连接BM ，DM （1）如图 1，若点 E在线段 AB上，探究线段BM与 DM及 BMD 与 BCD所满足的数量关系，并直接 写出你得到的结论； （2）如图 2，若点 E在 BA延长线
13、上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以 证明； （3）若点 E在 AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与 DM及 BMD 与 BCD所满足的数量关系 9. (1) 如图 1, 在正方形ABCD中, 点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O, AOF90. 求证：BECF. 第 9 页 图 1 (2) 如图 2, 在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O, FOH90 , EF 4. 求GH的长 . 图 2 (3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于
14、点O, FOH90,EF4.直 接写出下列两题的答案： 如图 3, 矩形ABCD由 2 个全等的正方形组成, 求GH的长； 如图 4, 矩形ABCD由n个全等的正方形组成, 求GH的长 ( 用n的代数式表示 ). 图 3 图 4 10如图1，在正方形ABCD 中， M是 BC边（不含端点B、C）上任意一点 ,P 是 BC延长线上一点，N 第 10 页 是 DCP的平分线上一点若AMN=90 ，求证： AM=MN 下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明 证明：在边AB上截取 AE=MC ，连 ME 正方形ABCD 中， B=BCD=90 ， AB=BC NMC=1
15、80 AMN AMB=180 B AMB= MAB= MAE （下面请你完成余下的证明过程） 若将中的“正方形ABCD ”改为“正三角形ABC ” （如图 2）,N 是 ACP的平分线上一点，则当 AMN=60 时，结论AM=MN 是否还成立？请说明理由 若将中的“正方形ABCD ”改为“正边形 ABCD X” ，请你做出猜想： 当 AMN=_ 时，结论AM=MN 仍然成立（直接写出答案，不需要证明） 11. 如图，四边形ABCD 是正方形， ABE是等边三角形，M为对角线BD （不含 B 点）上任意一点，将 BM绕点 B逆时针旋转60得到 BN ，连接 EN 、AM 、CM. 第 11 页
16、求证： AMB ENB ； 当 M点在何处时，AM CM的值最小； 当 M点在何处时，AM BM CM的值最小，并说明理由； 当 AM BM CM的最小值为时，求正方形的边长. 第 12 页 课后作业 1已知等边 ABC的边长为a，则它的面积是（） Aa 2 Ba 2 Ca 2 Da 2 2在四边形ABCD中，对角线AC与 BD相交于点E，若 AC平分 DAB ，AB=AE ，AC=AD 那么在下列四个结 论中： （ 1）AC BD ； （2）BC=DE ； （3） DBC= 1 2 DAB ； （4） ABE是正三角形，其中正确的是（） A （1）和（ 2） B （2）和（ 3） C （3）
17、和（ 4） D （1）和（ 4） 3. 如图，等腰三角形ABC中， BAC=90 ，在底边BC上截取 BD=AB ，过 D作 DEBC交 AC于 E，连接 AD ， 则图中等腰三角形的个数是（） A 1 B2 C 3 D 4 4. 如图，三角形纸片ABC中， B=2C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在 AC边上的 E处，那么 下列等式成立的是（）AAC=AD+BD B AC=AB+BD C AC=AD+CD D AC=AB+ CD 5 （2019?镇江）边长为a 的等边三角形，记为第1 个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得 到一个正六边形，记为第1 个正六边形，取这个正六边形不相邻
18、的三边中点，顺次连接又得到一个等边 三角形，记为第2 个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2 个正 六边形（如图） ，按此方式依次操作，则第6 个正六边形的边长为（） A. 5 11 ( ) 32 a B 5 11 ( ) 23 a C 6 11 ( ) 32 a D. 6 11 ( ) 23 a 6. 用含 30角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形： 平行四边形，菱形，矩形， 直角梯形，其中可以被拼成的图形是（） A B C D 9. 若直角三角形两直角边的和为3，斜边上的高为 2 5 5 ，则斜边的长为 . 10. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BPC是等边三角形，则CDP的面积是 _； BPD的面 积是 _. 12. 以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2 个等腰直角三角 形 ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3 个等腰直角三角形A1BB1，如此作下 去，若 OA=OB=1 ，则第 n 个等腰直角三角形的面积Sn=_.