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1、保险公司保险费收取的优化模型 摘要 目录 一 问题的提出 某保险公司只提供一年期的综合车险保单业务，在这一年内，若客 户没有要求赔偿， 则参保人可分为 0,1,2,3,四类得到相应补助， 类别越高， 从保险费中得到的折扣越多。新客户属于0类，若在一年没有要求赔偿， 客户延续其保单时，则可提高一个类别；若客户在上一年要求过赔偿， 如果可能则降低两个类别，否则为0类。若客户中途退出保险，则无论 何种情况，均退还保险金适当部分。政府将于下一年实施安全带法规， 则受伤司机和乘员将会减少，进而医疗费减少，最终影响我们所需求的 保险费数额。已知每年事故数量不会减少，而死亡的司机会减少40%， 医疗费下降范
2、围为 20%40% ，以及当年度此保险公司的统计报表。 表1 本年度发放的保险单数 基本保险费： 775元 类别 没有索赔时 补贴比例 （%） 续保人数新投保人数注销人数总投保人数 001280708384620182641665328 12517648971282401764898 24011544610138571154461 350876005803241148760058 总收入 ：6182百万元， 偿还退回 ：70百万元， 净收入 ：6112百万元； 支出：149百万元， 索赔支出 ：6093百万元， 超支：130百万元 表2 本年度的索赔款 类别索赔人数 死亡司机人 数 平均修理费
3、 （元） 平均医疗费 （元） 平均赔偿费 （元） 058275611652102015263195 158246323315122312313886 211585722929478232941 370087270138058142321 总修理费 ：1981（百万元）， 总医疗费 ：2218（百万元） 总死亡赔偿费 ：1894（百万元）， 总索赔费 ：6093（百万元） 问题一保险公司希望你能给出一个模型来解决上述问题，并以表1 和2的数据为例验证你的方法。 问题二在给出医疗费下降 20%和40%的情况下，同时估算今后5年 每年每份保险费的数额。 二 问题分析 根据我们对保险业的了解，保险公司
4、对保险费的收取取决于多方面 的因素，例如，社会经济的发展、医疗费用、事故数量、司机死亡率的 变化和维修费的改变等， 其中最重要的莫过于保险公司的盈利状况和投 保人对于保险费的接受能力。现在政府准备在下一年开始实施安全带法 规，法规的实施，直接影响一些上述因素的变化，使得公司不得不对保 险费的金额作出相应的变化。 首先，安全带法规的实施中受伤司机和乘员数减少，导致医药费下 降，死亡人数减少，死亡赔偿费减少，进而使保险费降低，从而参保人 数增加 三 问题基本假设 1） 四、符号说明 五、模型的建立与求解 5.1模型的建立与求解 对于问题 1，主要以验证为主，我们决定建立模型来进行判断， 针对模型一
5、我们做出以下模型假设： 1）偿还退还总量不变 2）保险公司支出不变 3）每年的事故数量不变（即得修理费和每个人的索赔次数不变） 4）死亡赔偿金不变 5）公司运营支出不变 5.1.1 原始数据之间的关系 5.1.2 下一年的数据分析 下一年 0类续保人数 =0类索赔人数 -0类死亡人数 +1类降为 0类的人数 （1类索赔人数 -1类死亡人数） +2类降为 0类的人数（2类索赔人数 -2类死 亡人数），即： 下一年 1类续保人数 =0类升为 1类的人数 (0类总投保人数 -0类索赔人 数-0类注销人数 +0类死亡人数 )+3类降为1类的人数（ 3类索赔人数 -3类死 亡人数），即： 下一年 2类续
6、保人数 =1类升为 2类的人数 (1类续保人数 -1类索赔人数 -1类注销人数 +1类死亡人数 )，即： 下一年 3类续保人数 =2类升为3类人数（2类续保人数 -2类索赔人数 -2 类注销人数 +2类死亡人数） +3类续保人数 -3类索赔人数 -3类注销人数 +3 类死亡人数），即： 经计算得到实施安全带法规后第一年的数据如下 表3 实施安全带法规第一年发放的保单数 类别 没有索赔 时补贴比 例（% ） 续保人数 新投保人 数 注销人数 总投保人 数 0 0 1243817 396543 13399 1640360 1 25 1769819 0 18966 1769819 2 40 1177
7、509 0 13198 1177509 3 50 8769124 0 321641 8769124 当司机死亡数减少 40，医疗费用减少 x时，可以得到下表 表4 实施安全带法规后第一年的索赔款 类别索赔人数 死亡司机 人数 平均修理 费（元） 平均医疗 费（元） 平均赔 偿费 （元） 0 344411 6886 1020 1526(1-x) 1 350452 14028 1223 1231(1-x) 2 70902 1402 947 823(1-x) 3 420958 4212 805 814(1-x) 5.1.3 模型的建立与求解 以保险公司获益最少， 即公司的收支平衡建立模型可以得到保险
8、公 司的基本保险金和医疗费用减幅的关系式如下： 8.0587y+1325.6x-3865.4=0 由于医疗费的减少范围在20% 到40% ，经过计算可以得到如下结果： 表5 医疗费用减少 20% 40% 范围内各项费用 x=20% x=40% 总修理费（百万元）：1185 1185 总医疗费（百万元）：1060 795 总死亡赔偿费（百万元）：1134 1134 总索赔费（百万元）：3381 3116 基本保险费（元）：446 413 即可得出医疗费在 20% 40% 变化时，在保证保险公司运营不亏损的 情况下，基本保险费最少应该在446413元。如果保险公司想要盈利， 只要使基本保险费适当的
9、提高即可。 5.1.4 模型的结果分析 我们针对问题一制定了模型来进行判断，由于政府实施的安全带 计划，使得司机在车祸中的死亡率降低，而综合医疗费的减少，综合考 虑，保险费的数额势必下降。经模型的验证判断，得出的结论是当医 疗费在 20%到40%变化时，基本保险费在413到446元。比原始基础保险 费775元低了很多。但是基于我们模型只是简单的考虑到了政策中的 司机死亡人数下降和医疗费的减少等几个因素。在实际中，新投保人数 的变化和赔偿费的改变等因素也将会影响保险公司基本保险费的设定。 所以我们将进一步来建立数学模型来计算更加合理的结果。 6.1模型的建立和求解 由于安全带法规和医疗费减少都是
10、第一年出现，所以模型可以比 较客观的实际的验证和判断该事件出现之后的情况。然而，随着安全带 法规的进一步实施，必然使得事故发生次数减少，对于保险业而言，投 保人因为事故发生减少，所以投保人数可能随着时间而有减少的趋势； 同时，因为医疗费的减少，普通居民投保意愿又得到了提升；再者，每 个人一年的索赔次数也发生了相应的变化。综上所述，我们要想得到一 个更为实际的得到未来五年内的投保单和保险公司经营数据，必须建立 新的模型。 6.1.2模型假设 1） 6.1.3数据分析 1）对于新投保人数。由于医疗费的减少，致使投保人数呈增加的 趋势，然而随着安全带法规的实施，司机死伤的数量减少，人们投保的 意愿指
11、数降低，导致人们不愿意再去投保，另外随着其他各种促进或者 抑制投保人数增加的原因， 最终必然导致新投保人数在经历一个增长期 之后又呈现出一个稳定的状态，即新投保人数的增长呈现“人口阻滞增 长” （Logistic模型）的性质，这样也符合实际生活中事件的变化规律。 所以，我们建立 Logistic模型来计算未来五年新投保人数。 设新投保人数为令新投保人数为)(tx，其中t为时间；)(tr为新投保 人数的增长率。 设)(tr为x的线性函数0,)(srsxrxr，这里r为固有增 长率。为了确定系数s的意义，引入投保人数最大值 m x。因此，新投保 人数增长率)(xr可表示为： )1()( m x x
12、 rxr 在上式假设下建立阻滞增长模型如下： 0 )0(),1(xx x x rx dt dx m 用分离变量法求解，结果为： rtm m e x x x tx ) 1(1 )( 0 带入本年度新投保人数并取5 .0r，得出416440 m x，所以新投保人 数的阻滞增长模型即为： t e tx 5. 0 0827.01 416440 )( 由上式即可得今后五年的新投保人数如下表： 表 3 五年的新投保人数 第一年第二年第三年第四年第五年 396549 404145 408895 411831 413632 2）对于一个人一年的索赔次数。查阅相关资料可知，在总投保人数 中每个人的索赔次数服从泊松分布，所以他索赔k次的概率p为： )0( ! )( i k i i k e kKp 所以，他至少索赔一次的概率为：