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1、根与系数的关系练习题 一、选择题 1若 1 x， 2 x是一元二次方程013 2 xx的两个根，则 21 11 xx 的值是（） A2 B1 C 1 D3 2 若 关 于x 的 一 元 二 次 方 程 22 430xkxk的 两 个 实 数 根 分 别 是 12 ,x x ,且 满 足 1212 xxxx.则 k 的值为（） A 1 或 3 4 B 1C 3 4 D不存在 3方程 x 2-3x-6=0 与方程 x2-6x+3=0 的所有根的乘积为 ( ) A-18 B18 C -3 D3 4若 x1，x2是一元二次方程 2x2-3x+1=0 的两个根，则 x1 2+x 2 2 的值是 ( )
2、A 4 5 B 4 9 C 4 11 D7 5若关于x 的一元二次方程2x 22x3m10 的两个实数根 x1，x2，且 x1 x2 x1x2 4，则实数m 的取值范围是 Am 5 3 Bm 1 2 Cm 5 3 D 5 3 m 1 2 5已知方程x 2+(2k+1)x+k22=0 的两实根的平方和等于 11，k 的取值是（ ） A3 B 3 C1 D 3 或 1 6下列说法中不正确的是( ) A方程 x 2+2x-7=0 的两实数根之和为 2 B方程 x 2-3x-5=0 的两实数根之积为 -5 C方程 x 2-2x-7=0 的两实数根的平方和为 18 D. 方程 x 2-3x-5=0 的两
3、实数根的倒数和为 5 3 7如果 x 的方程 x 2+kx+1=0 的两根的差为 1，那么 k 的值为（） A 2 B3C5D6 8已知关于x 的方程 5x 2+kx-6=0 的一个根为 2，设方程的另一个根为x1，则有（） Ax1= 5 3 ，k=-7 Bx1=- 5 3 ，k=-7 C x1=- 5 3 ，k=7 Dx1= 5 3 ，k=7 二、填空题 1已知一元二次方程0132 2 xx的两根为 1 x、 2 x，则 21 xx 2如果 1 x， 2 x是方程 065 2 xx 的两个根，那么 21 xx 3已知 1 x， 2 x是方程 2 630xx的两实数根，则 21 12 xx x
4、x 的值为 _ 4已知 1 x、 2 x是关于x的方程01)1( 22 axxa的两个实数根，且 1 x 2 x 3 1 ， 则 21 xx 5设 x1、x2是方程 2x 2 +4x-3=0 的两个根，则(x1+1)(x2+1)= 6若方程0342 2 xx的两根为 a、，则 22 2aa 7若方程052 2 kxx的两根之比是2：3，则 k= 8 请 写 出 一 个 二 次 项 系 数 为1 ， 两 实 根 之 和 为3的 一 元 二 次 方 程： 三、解答题 1已知关于x 的二次方程x2+mx-1=0 的一个根是 12，求另一个根及m 的值 2已知关于x 的方程 x 2（ k+1） x+k
5、+2=0 的两个实数根的平方和等于 6，求 k 的值 3，是关于 x 的一元二次方程(m1)x 2x + 1 = 0 的两个实数根，且满足 (+1)(+1) = m +1，求实数 m 的值 4已知关于x 的方程0)2(2 22 mxmx，问：是否存在正实数m,使方程的两个实数 根的平方和等于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 5已知关于x 的一元二次方程x 2+(4m+1)x+2m-1=O (1)求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程两根为x1、x2，且满足 1 x1+ 1 x2 = 1 2，求 m 的值 一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 安
6、徽省利辛县教育局督导室夏飞 对于一元二次方程，当判别式时， 其求根公式为：；若两根为，当 0 时，则两根的关 系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆 定理也是成立的，即当，时，那么则是 的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应 用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位， 也是数学学习中的重点。 学习中， 老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记 一元二次方程根的判别式存在的三种情况， 以 及应用求根公式求出方程的两个根， 进而分解因式， 即。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做 些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。 一、根据判别式，讨论
7、一元二次方程的根。 例 1：已知关于的方程（ 1）有两个不相等的实数 根，且关于的方程（ 2）没有实数根，问取什么整数时， 方程（ 1）有整数解？ 分析：在同时满足方程（ 1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的 的整数值。 解：方程（ 1）有两个不相等的实数根， 解得； 方程（ 2）没有实数根， 解得； 于是，同时满足方程 （1）， （2）条件的的取值范围是 其中，的整数值有或 当时，方程（ 1）为，无整数根； 当时，方程（ 1）为，有整数根。 解得： 所以，使方程（ 1）有整数根的的整数值是。 说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的 取值范围，并依靠熟练的解不
8、等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出 ，这也正是解答本题的基本技巧。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例 1：不解方程，判别方程两根的符号。 分析： 对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常 数项皆为已知， 可据此求出根的判别式， 但只能用于判定根的存在与否，若 判定根的正负， 则需要确定或的正负情况。 因此解答此题的关键是： 既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。 解：，42(7)650 方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为， 0 原方程有两个异号的实数根。 说明： 判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合 起来进行确定，另外由于本题中0，所以可判定方程
9、的根为一正一负；倘 若0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。 三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例 2：已知方程的一个根为 2，求另一个根及的 值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程， 先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与 系数的关系求出另一个根及的值。 解法一： 把代入原方程，得： 即 解得 当时，原方程均可化为： ， 解得： 方程的另一个根为 4，的值为 3 或1。 解法二： 设方程的另一个根为， 根据题意，利用韦达定理得： ， ，把代入，可得： 把代入，可得： ， 即 解得 方程的另
10、一个根为 4，的值为 3 或1。 说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。 例 3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方 和比两根的积大 21，求的值。 分析： 本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大 21”转化为关于的方程，即可求得的值。 解：方程有两个实数根， 解这个不等式，得0 设方程两根为 则， 整理得： 解得： 又， 说明：当 求出后，还需注意隐含条件，应舍去不合题 意的。 四、运用判别式及根与系数的关系解题。 例 5：已知、是关于的一元二次方程的两个非 零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不 能同号，请说明理由， 解：因
11、为关于的一元二次方程有两个非零实数根， 则有 又、是方程的两个实数根，所以由一元二次 方程根与系数的关系，可得： 假设、同号，则有两种可能： （1）（2） 若， 则有：； 即有： 解这个不等式组，得 时方程才有实树根，此种情况不成立。 若，则有： 即有： 解这个不等式组，得； 又，当时，两根能同号 说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的 内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一 元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样， 是设计考察创 新能力试题的良好载体， 在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们 重点练习的内
12、容。 六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。 例：已知、是方程的两个实数根，求的值。 分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根 后，再带入的方法，力求简解。 解法一： 由于是方程的实数根，所以 设，与相加，得： ） （变形目的是构造和） 根据根与系数的关系，有： ， 于是，得： =0 解法二： 由于、是方程的实数根， 说明： 既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解 题能力提高的重要标志，是努力的方向。 有关一元二次方程根的计算问题， 当根是无理数时， 运算将十分繁琐， 这时， 如果方程的系数是有理数， 利用根与系数的关系解题可起到化难为易
13、、化繁为简 的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力， 多年来一直受到命题老师的青睐。 七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。 例 8：已知两方程和至少有一 个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。 分析： 当设两方程的相同根为时，根据根的意义，可以构成关于和的 二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。 解：设两方程的相同根为，根据根的意义， 有 两式相减，得 当时，方程的判别式 方程无实数解 当时， 有实数解 代入原方程，得， 所以 于是，两方程至少有一个相同的实数根，4 个实数根的 相乘积为 说明： （1）本题的易错点为忽略对的讨论和判别式的作用，
14、常常 除了犯有默认的错误，甚至还会得出并不存在的解： 当时，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4 个根 的相乘积为：； （2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根 的条件： 且 另外还应注意：求得的的值必须满足这两个不等式才有意义。 【趁热打铁】 一、填空题： 1、如果关于的方程的两根之差为 2，那么 。2、已知关于的一元二次方程 两根互为倒数，则。3、已知关于的 方程的两根为，且，则 。4、已知是方程的两个根，那么： ；。 5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且 ， 则；。 6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一 个根是，的值为。 7、已知是的一根，则另一
15、根为，的值 为。 8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程 为：。 二、求值题： 1、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求 的值。 2、已知是方程的两个根，利用根与系数 的关系，求的值。3、已知是方程的两个根， 利用根与系数的关系，求的值。4、已知两数的和等于6，这两 数的积是 4，求这两数。 5、已知关于 x 的方程的两根满足关系式， 求的值及方程的两个根。 6、已知方程和有一个相同的根，求的 值及这个相同的根。 三、能力提升题： 1、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？2、 已知关于的一元二次方程 （1） 求证： 无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。
16、（2） 若这个方程的两个实数根、满足， 求的值 3、若，关于的方程有两个相等的正的实数 根，求的值。 4、是否存在实数，使关于的方程的两个实根 ，满足，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在， 请说明理由。 5、已知关于的一元二次方程（）的 两实数根为，若，求的值。 6、实数、分别满足方程和，求代数 式 的值。 答案与提示： 一、填空题： 1、提示：， ，解得： 2、 提示：， 由韦达定理得：， ， 解得：，代入检验，有意义，。 3、提示：由于韦达定理得：， ，解得：。 4、提示：由韦达定理得：， ；由 ，可判定方程的两根异号。 有两种情况： 设0，0， 则 ；设 0，0，则。 5、
17、提示：由韦达定理得：， ， ， ，。 6、提示：设，由韦达定理得：， ，解得：，即。 7、提示：设，由韦达定理得：， ， ， 8、提示：设所求的一元二次方程为，那么， ， ，即；设所 求的一元二次方程为： 二、求值题： 1、 提示： 由韦达定理得：， 2、提示：由韦达定理得：， 3、提示：由韦达定理得：， 4、提示：设这两个数为，于是有，因此可 看作方程的两根，即，所以可得方 程：，解得：，所以所求的两个数分别是 ，。 5、提示：由韦达定理得， ， ， 化简得：； 解得： ，；以下分两种情况： 当时，组成方程组： ；解这个方程组得：； 当时，组成方程组： ； 解这个方程组得： 6、提示：设和相
18、同的根为，于是可 得方程组： ；得：，解这个方程得： ； 以下分两种情况：（ 1）当时，代入得；（2）当时， 代入得。 所以和相同的根为，的 值分别为，。 三、能力提升题： 1、提示：方程有正的实数根的条件必须同时具备：判别式 0； 0，0；于是可得不等式组： 解这个不等式组得：1 2、提示：（ 1）的判别式 0，所以无论取什么实数值， 这个方程总有两 个不相等的实数根。（ 2）利用韦达定理，并根据已知条件可得： 解这个关于的方程组，可得到：，由于 ，所以可得，解这个方程，可得：， ； 3、提示：可利用韦达定理得出0，0；于是得到不等式 组： 求得不等式组的解，且兼顾；即可得到，再由 可得：，接下去即可根据， ，得到，即：4 4、答案：存在。 提示：因为，所以可设（）；由韦达定理得： ，；于是可得方程组： 解这个方程组得：当时，；当时，； 所以的值有两个：； 5、提示：由韦达定理得：，则 ，即，解得： 6、提示：利用求根公式可分别表示出方程和 的根： ， ， ， 又，变形得：， ，