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1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷理科数学 (必修+选修 II) 本试卷分第卷( 选择题 ) 和第卷 ( 非选择题 ) 两部分第卷1 至 2 页第卷3 至 4 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷（选择题共60 分） 注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在 试题卷上作答无效 3第卷共l2 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选
2、项中，只有一 项是符合题目要求的 一、选择题： （每小题分，共60 分） 1复数1zi，z为z的共轭复数，则1zzz（） A2iBiCiD2i 【详细解析】1(1)(1)(1)1211zzziiiii 【考点定位】 复数与共轭复数的概念及复数的四则运算法则，考查复数的运算，属于简单 题。 2函数2yx（0x）的反函数为（） A 2 4 x y（xR）B 2 4 x y（0x） C 2 4yx（xR）D 2 4yx（0x） 【详细解析】由2yx（ 0x ），得 2 0, 2 y yx，故反函数为 2 (0) 4 x yx 【考点定位】考查反函数的求法。属于简单题。 3下面四个条件中，使ab成立的
3、充分而不必要条件是（） A1abB1abC 22 abD 33 ab 【详细解析】由ab，可得1ab，反之不成立，故选A 【考点定位】考查不等式的性质与充要条件问题。属于简单题。 4 设 n S为等差数列 n a的前n项和，若 1 1a， 公差2d， 2 24 kk SS， 则k（） A8B7C6D5 【详细解析】 2 2 2 2 21, 2442 4 5 nn kk anSn SSkkk k 【考点定位】考查等差数列的前n 项和公式及计算，属于简单题。 5设函数cosfxx（0） ，将yfx的图象向右平移 3 个单位长度后，所 的图象与原图象重合，则的最小值等于（） A 1 3 B3C6D9
4、 【详细解析】 由题知： 3 为周期的整数倍，所以 2 ,6 3 nn得，所以的最小值 为 6。 【考点定位】三角函数的图象及变换，属于简单题。 6已知直二面角l， 点A，ACl，C 为 垂 足 ，B， BDl ，D为 垂 足 ， 若 2,1ABACBD，则D到平面ABC的距 离等于（） A 2 3 B 3 3 C 6 3 D1 E l D C B A 【详细解析】作DE BC于 E， 则 DE 即为点 D 到平面 ABC 的距离。 先计算 CD=2， BC=3， 26 3 3 DB DC DE BC 【考点定位】 本题考察学生直二面角的概念与点到面的距离问题，考察学生对空间的想象 能力和问题
5、的转化能力，属于简单题。 7某同学有同样的画册2 本，同样的集邮册3 本，从中取出4 本赠送给4 位朋友，每位 朋友 1 本，则不同的赠送方法共有（） A4 种B10 种C18 种D20 种 【详细解析】赠送可分两类：一是一本画册和三本集邮册，有 1 4 4C种方法；二是两本 画册和两本集邮册，有 2 46C 种方法，合计10 种方法。 【考点定位】 本题考察学生正确运用加法原理和乘法原理及排列与组合的关系。属于中档 题。 【易错点拨】要注意是同样的画册与同样的集邮册。没有区别。是相同元素的问题，不能 用排列。 8曲线 2 1 x ye在点0,2处的切线与直线0y和yx围成的三角形的面积为 （
6、） A 1 3 B 1 2 C 2 3 D1 【详细解析】 2 0 2,2 x x yey，切线为22yx，一x轴交于点（ 1，0）， 与直线yx交点的纵坐标为 2 3 ，故面积为： 121 1 233 S 【考点定位】本题考察导数与切线和三角形面积的计算，属于中档题。 9设fx是周期为2的奇函数， 当01x时，21fxxx，则 5 () 2 f（） A 1 2 B 1 4 C 1 4 D 1 2 【详细解析】 5111111 ()(2)()( )21 2222222 ffff 【考点定位】本题考察函数的周期性与奇偶性的综合运用，属于中档题。 10已知抛物线 2 :4Cyx的焦点为F，直线 2
7、4yx与C交于,A B两点，则 cosAFB（） A 4 5 B 3 5 C 3 5 D 4 5 【详细解析】 直线24yx与抛物线 2 :4Cyx 联立可得： A（4，4）， B（1，-2），知 BF 平行于 y 轴，且 AF=5 ， 4 coscos(90)sin 5 o AFBAFxAFx 【考点定位】考察直线与圆锥曲线综合问题及三角函数诱导公式与求值。属于中档题。 【易错点拨】在直线与圆锥曲线的综合问题中，学生易过多地思考圆锥曲线的各种性质， 对于本题这种纯计算问题，反而因为想的过多，反而得分率不高。 11已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成 0 60二面角的平面截该球面得 圆N若该
8、球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为（） A7B9C11D13 【详细解析】 先求得圆M 的半径为2， M 到球心 O 的距离为2 3， 由过圆心M且与成 0 60二面角的平面截该球面得圆N知 OM 与平面成的角为 0 30，可得 O 到平面 的距离为3，得圆N半径为13，故圆N的面积为13 【考点定位】考察球的截面圆、二面角、线面角、圆的面积计算公式。属于中档题。 12 设向量, ,a b c满足 0 1 1,60 2 aba bac bc， 则c的最大值等于 （） A2B3C2D1 2468 4 3 2 1 1 2 3 A B O F 【详细解析】向量,a b所成角为 0 120
9、，由 0 ,60ac bc知 c终点与,a b连线的夹角为 0 60，故c的终点在以,a b向量的终 点所连线段为边，所对的角为 0 60的两段弧上， O 在其中一段弧 所在圆上且弧所在圆的半径为1，所以c的最大值为2。 【考点定位】 考察平面向量的模的概念、数量积的概念、夹角的 几何意义及平面几何知识解决向量问题的方法。属于较难题。 第卷（非选择题共90 分） 注意事项： 1. 答题前，考生先在答题卡上用直径05毫米黑色墨水签字笔将自己的 姓名、准考证号填写清楚， 然后贴好条形码 请认真核准条形码卜的准考证号、 姓名和科目 2. 第卷共 2 页，请用直径 05 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各
10、题的 答题区域内作答，在试题卷上作答无效 3. 第卷共 l0 小题，共 90 分 二、填空题：（每小题 5 分，共 20 分） 13. 20 1x的二项展开式中，x的系数与 9 x的系数之差为 【答案】 0 【详细解析】x的系数为 2 20 C， 9 x的系数为 18 20 C，差为 0 【考点定位】考察二项式定理与组合数的性质。属于简单题。 14. 已知(,) 2 ， 5 sin 5 ，则 tan2 【答案】 4 3 【详细解析】 O c ba 2 2 , 2 2 5 cos1sin 5 sin1 tan cos2 2tan4 tan2 1tan3 【考点定位】考察同角三角函数关系式、二倍角
11、公式。属于简单题。 15. 已知 1 F、 2 F分别为双曲线 22 :1 927 xy C的左、右焦点，点 AC ，点 M 的 坐标为2,0 ， AM 为 12 F AF的平分线，则 2 AF 【答案】 6 【详细解析】由角平分线定理得： 11 22 8 2 4 AFMF AFMF ，又 12 26AFAFa能 2 6AF 【考点定位】考察双曲线的第一定义、角平分线定理。属于较难题(归为较难题的主要原 因在于角平分线定理初中不讲，高中不补充)。 16. 已 知点 E 、 F 分 别 在 正方 体 1111 ABC DA B C D的棱 1 BB、 1 CC上 ， 且 1 2B EE B， 1
12、 2CFFC，则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等 于 【答案】 2 3 【详细解析】 解法一：连接AC，则AEF在面 ABCD 的投影为 ABC，面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的平面 角的余弦值即为ABC与AEF面积之比。 设正方 体棱长为3，则 F E D1 C1 B1 A1 D C B A 9 3 11932 2 10,22,cos,tan 2233 1111 2 AEFABC AEEFAFSS 解法二：延长FE、CB 相交于 P，连接 AP，作 BOAP于 O，连接 EO，则角 EOB 为二面角 的 平 面 角 。 设 正 方 体 棱 长 为3 ， 则 322 ,
13、1 , t a n 23 BE BOBEEOB BO 【考点定位】 考察二面角的平面角的概念与计算。 属于中档题。 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分） 17. （本小题满分 10 分） ABC的内角 A、B 、C的对边分别为a、b 、c已 知 0 90AC，2acb，求 C 【详细解析】 由2acb及正弦定理可得 sinsin2 sinACB 又由于90 ,180() oo ACBAC得 cossin2 sin()2 sin(902 )2 cos2 o CCACCC O P F E B1 A1 C1 D1 D C B A cos(45)cos2 o CC 090 245 15 o
14、o o o C CC C 【考点定位】考察三角形中正弦定理、内角和1800、 22 sincossin()abab、角范围的判断的运用，属于中档题。 18. （本小题满分12 分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率 为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3设车主购买保险相 互独立 （）求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种的概率； （） X 表示该地的 100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求 X 的期望 【详细解析】 记 A 表示事件：该地的1 位车主购买甲种保险； B 表示事件：该地的1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C 表示事件：该地
15、的1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种； D 表示事件：该地的1 位车主甲、乙两种保险都不购买。 （）( )0.5,( )0.3,p Ap BCAB ()()( )()0.8p Cp ABp Ap B （）DC，()1()10.80.2p Dp C (100,0.2) 1000.220 XB EX 【考点定位】考察互斥事件、对立事件、二项分布的概率计算问题。属于中档题。 19. （ 本小 题 满 分 12 分） 如 图， 四 棱 锥 SABCD中，/ /ABCD , BCCD ，侧面 SAB为等边三角形， 2,1ABBCCDSD. D A B C S （）证明： SD平面 SAB； （）求
16、 AB 与平面 SBC所成角的大小 【详细解析】 解法一： （）取AB中点 E，连接 DE ，则四 边形 BCDE 为矩形， DE=CB=2 连结 SE ， 则S EA B，3SE 又 SD=1 ，故 222 EDSESD 90 o DSE , , ABDE ABSE DESEE ABSDE ABSD SDSAB 面 面 （）由ABSDE平面知，ABCDSDE平面平面. 作SFDE,垂足为 F,则 3 , 2 SDSE SFABCD SF DE 平面. 作FGBC,垂足为 G, 则1FGDC. 连结SG,则SGBC. 又,BCFG SGFGG,故,BCSFGSBCSFG平面平面平面。 作FH
17、SG,H 为垂足 ,则FHSBC平面 。 3 7 SFFG FH SG ，即 F 到平面 SBC 的距离也为 21 7 . 由于 ED/BC，所以 ED/平面 SBC， E 到平面 SBC 的距离d也为 21 7 设 AB 与平面 SBC 所成的角为,则 2121 sin,arcsin 77 d EB E H G F D C B A S 解法二： 以C为原点， 射线CD为x轴正半 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz 则(1,0,0),(2,2,0),(0,2,0)DAB 设( , , )S x y z，则0,0,0xyz （）(2,2, ),2,1, ,ASxyz BSx yzDSxy
18、z 由ASBS，得 222 222 222xyzxyz 故1x 由1DS得， 22 1yz 又由2BS得 2 22 24xyz，即 22 410yzy 得 13 , 22 yz 13333313 1,1,1,0,. 22222222 0,0 SASBSDS DS ASDS BS 故,DSAS DSBS，又ASBSS 所以SDSAB平面 （）设平面SBC的法向量为, ,am n p 则,0,0aBS aCB a BSa CB 又 33 1,0,2,0 22 BSCB 得 33 0 22 20 mnp n z y x D C B A S 取2p得 3,0, 2 ,AB=2 0 0a又， 21 co
19、s, 7 AB a AB a ABa 故AB与平面SBC所成的角为 21 arcsin 7 。 【考点定位】考察立体几何中线面垂直及线面所成角的问题。属于较难题。 20. （本小题满分 12 分）设数列 n a满足 1 0a且 1 11 1 11 nn aa （）求 n a的通项公式； （）设 1 1 n n a b n ，记 1 n nk k Sb，证明： 1 n S 【详细解析】 （）由题设 1 11 1 11 nn aa 即 1 1 n a 是公差为1 的等差数列。 又 1 11 1, 11 n n aa ， 1 1 n a n （）由（）得 1111 11 n ann bn nnnnn
20、 11 111 11 11 nn nk kk Sb kkn 【考点定位】等差数列的概念、数列的列项与求和。属于中档题。 21. （本小题满分 12 分）已知 O为坐标原点， F 为椭圆 C ： 2 2 1 2 y x在 y 轴 正半轴上的焦点， 过 F 且斜率为2的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，点 P 满 足0OAOBOP （）证明：点 P 在 C 上； （）设点 P关于点 O的对称点为Q，证明： A、 P 、 B、Q四点在同一圆 上 【详细解析】 （）(0,1)F，l的方程为21yx，代入 2 2 1 2 y x并化简得 2 42210xx 设 112233 ,A x yB xyP
21、xy 则 12 2626 , 44 xx 121212 2 ,2()21 2 xxyyxx 由题意得： 312312 2 ,1 2 xxxyyy 所以点 P坐标为 2 , 1 2 经验证点P 坐标 2 , 1 2 满足方程 2 2 1 2 y x，故点 P 在椭圆上。 （）由 2 , 1 2 P 和题设知， 2 ,1 2 Q ，PQ的垂直平分线的方程为 2 2 yx 设AB的中点为,M则 2 1 , 42 M ，AB的垂直平分线 2 l的方程为 21 24 yx 由、得 12 ,l l的交点为 2 1 , 88 N ， 2 2 2 12 2 2 22 2213 11 1 2888 3 2 12
22、 2 3 2 4 22113 3 48288 3 11 8 NP ABxx AM MN NAAMMN 故NPNA 又,NPNQNANB 所以NANBNPNQ 由此知,A P B Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上。 【考点定位】考查椭圆与直线、向量、四点共圆知识的综合运用。属于较难题。 22. （本小题满分 12 分） （）设函数 2 ln 1 2 x fxx x ，证明：当0x时，0fx； （）从编号 1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种 方式连续抽取20 次，设抽得的20 个号码互不相同的概率为p ，证明： 19 2 91 () 10 p e 【详细解析】 （） 2 2 ( ) 12 x fx xx 当0x时，( )0fx，所以( )f x为增函数，又(0)0f，因此当0x 时，( )(0)0f xf （） 20 222 19 100999881 100 998190 ,988290 ,918990 9 10 p p 又 由（）知：当0x时， 22 ln(1),1ln(1)2 2 x xx xx 在上式中，令 1 9 x，则 19 2 1010 19ln2, 99 e即 所以 19 2 91 () 10 p e 【考点定位】考察函数与导数、概率问题的综合性问题。属于较难题。