相似三角形专题复习[1].pdf

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1、课时课题 ：相似三角形复习课 教学目标： 1复习相似三角形的概念 2复习相似三角形的性质 3复习相似三角形的判定 4复习相似三角形的应用，用相似知识解决一些数学问题 重点、难点： 重点： 运用相似三角形的判定定理分析两个三角形是否相似 难点： 正确运用相似三角形的性质解决数学问题 教法及学法指导： 通过相似三角形性质和判定的复习，让学生能熟练的应用相似三角形的知识解决数学问题 教学过程 一、多元智能、知识点击 【师 】 这节课我们复习相似三角形的有关知识，首先我们看一下它在整个知识体系中的位置. 【师 】本节课，我们将从三个方面来复习相似三角形的有关知识（多媒体展示 ） ，请同学们 完成下面的

2、填空. 【生 】完成知识梳理中的填空 【师 】华罗庚说过：“解题是数学的心脏” ，下面我们通过两组练习进一步复习巩固相关知识 相 似 三 角 概念 1的两个三角形叫相似三角形 2叫相似比 3ABC相似于DEF用符号表示为 判定 1角对应相等的两个三角形相 2两边，且夹角的两个三角形相似 3三边的两个三角形相似 性质 1相似三角形的对应角，对应边 2相似三角形的对应的比，对应的比，对应的比， 对应的比都等于相似比 3相似三角形的比等于相似比的平方 相似图形 相似多边形 性质 应 用 位似图形 相似三角形 判定 全等三角形 【设计意图 】以知识框图的形式让学生明确相似三角形在相应的知识体系中的位置

3、，有助于 学生掌握知识的纵横联系；以知识图解的形式让学生填空，可以帮助学生梳理本节课的主要 知识点，为下一步激活运用这些知识打好基础 二、知识激活、学练精思 （一）典型习题、精做详解 【师】下面我们运用相似三角形的判定方法判定下面的三角形是否相似 例 1：下面 5 组图形中都有角或线段相等的标记，试根据这些标记的条件判断有没有没有相 似三角形？若有，请找出，并说明相似的理由. 【生 1】图 1： ABC ADE ， 理由： ADE= B, A为公共角 ABC ADE(两角相等，两三角形相似) 【生 2】图 2： ABC ADE ， 理由： ADE= C, A为公共角 ABC ADE(两角相等，

4、两三角形相似) 【生 3】图 3： ABO DOE ， 理由： OA=1, OD=3, OD OA = 3 1 同理 OC OB = 3 1 OD OA = OC OB 又 AOB= EOD 图 （5） 2 4 6 A B C D 2 1 3 6 A B C D E A C D E D E A B O 图（1）图（ 2）图（3） B 1 D A C E 2 图 4 A B C D E F 2 4 6 1 2 3 ABO DOE( 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似) 【生 4】图 4： ABC DEF ， 理由： AB=2, BC=4,AC=6； DE=1， EF=2 ，DF=3 ， DE

5、 AB = EF BC = DF AC =2 ABC DEF(三边对应成比例且夹角相等，两三角形相似) 【生 5】图 5： ABD ABC ， 理由： AD=2 ，CD=6 AC=2+6=8 又 AB=4 AC AB = 8 4 = 2 1 AB AD = 8 4 = 2 1 AC AB = AB AD 又 A为公共角 ABD ABC (两边对应成比例，两三角形相似) 【生 6】图 6： ACB DBE ， 理由： C=90 O 1+A=90 O ABE=90 O 1+2=90 O A=2 又 C=D=90 O ACB DBE 例 2：已知： MN/BC,BD和 CE 交于点 A， 过点 D

6、作 DH/EC 交 BC 延长线于点H, （1）找出图中的相似三角形 （2）若 AEAC=1 2，求 AC DH （3）若 ABC的周长为4，则求 BDH 的周长 （4）若 ABC的面积为4，求 BDH 的面积 【生 1】 ABC ADE BDH 【生 2】由 AEAC=1 2，可设 AE=x, AC=2 x CE=AE+ AC= x+2 x=3 x MN/BC ，DH/EC 四边形 CHDE 是平行四边形 DH= CE=3 x AC DH=2 x 3 x=2 3 M N B H C E D A 【生 3】 AC/DH ABC BDH 2 BDH 的周长 =12 BDH 的周长 =6 【生 4

7、】 AC/DH ABC BDH 4 BDH 的面积 =36 BDH 的面积 =9 （二）题型方法、规律总结 【师 】同学们能画出关于相似有哪些基本图形吗？ 【生 】画图总结 【师 】补充 【师 】在实际运用中，我们经常运用相似三角形解决哪些问题？ 【生 1】 1、求线段的长度的问题 ABC的周长 BDH 的周长 AC DH 2 3 = = 4 BDH 的周长 2 3 = ABC的面积 BDH 的面积 4 9 = = 4 BDH 的面积 4 9 = AC DH （ ） 2 相 似 三 角 形 的 基 本 图 形 平移、旋转 正 A 型 斜 A 型 A 型 子母型 垂直型 正 X 型 斜 X 型

8、X 型 旋转型 旋转 混合型 （双 A 型、双 X 型、双垂直型、A、X 混合型等） 2、求周长的问题 3、求面积的问题 【生 2】求角的度数问题 【生 3】证明某些关系式成立 【设计意图 】 通过经典习题复习巩固相似三角形的判定和性质，然后对习题进行 “多题归一” 式的规律性总结，以升华学生复习效果，为冲刺中考做好铺垫 三、追踪中考、案例解析 【师 】 相似形知识是在全等三角形知识的基础上的拓展和发展，也是沟通直线型和圆的重要 桥梁和纽带，在近几年中考试题中常以选择题、填空题及解答题的形式来考查本章内容， 各种难度都有可能，单独出现的题目至多为中等难度，但依托三角形、四边形、函数、方 程等内

9、容编拟的综合性题目多数为中等难度试题或较难题，有时这部分内容也会出现在压 轴题中，难度一般较大. 下面我们选取山东省近几年中考题案例进行剖析 案例 1： “正 A 型” （2012 山东聊城） 如图，在 ABC 中，点 D、E 分别是 AB 、AC 的中点， 则下列结论不正确的是【】 ABC=2DEB ADE ABC C ADAB = AEAC DSABC=3SADE 思路点拨： 此图属于“ A 型图”中的特殊情形：DE 恰好是 ABC 的中位线 据三角形的中位线定理得出DE 是 ABC的中位线，再由中位线的性质得出ADE ABC ，进而可得出结论 【生 】在 ABC 中，点 D、 E 分别是

10、边 AB 、AC 的中点， DEBC，DE=BC ， BC=2DE 。故 A 正确。 DEBC， ADE ABC ，故 B 正确。 ADE ABC ， ADAB = AEAC ， 故 C 正确。 DE 是 ABC 的中位线，AD ：BC=1 ：2， SABC=4SADE，故 D 错误。 故选 D。 . 案例 2： “斜 A 型” （2010 枣庄市中考题）如图所示，点D 在 的边 AB 上，满足， ACD 与 ABC 相似？ 思路点拨： 此图属于“斜A 型”变式后的“子母型”， ACD 与 ABC 已有公共角A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法 寻找一个条件即可 【生 1】 1

11、=B. 【生 2】 2= ACB. 【生 3】 【生 2】 AC 2=AD AB 案例 3： “双 A 型” （ 2008 枣庄市中考题）ABC 中， DEBC， M 为 DE 中点， CM 交 AB 于 N，若，求. 思路点拨： 图中有两个“ A”字形，已知线段AD 与 AB 的比和要求的线段ND 与 NB 的比 分别在这两个“A”字形，利用M 为 DE 中点的条件将条件由一个“A”字形转化到另一个 “A”字形，从而解决问题 【生 】解： DEBC ， ADE ABC M 为 DE 中点， DM BC ， NDM NBC =1：2. 案例 4： “正 X 型” （2012 山东泰安3 分）

12、如图，在ABCD 中， AEEB， AF2，则 FC 等于 _ _ 思路点拨： 此题图形中包含“正X 型”图，利用平行四边形 对边平行的性质易得AEF DFC 【生 】解：四边形ABCD 是平行四边形 AB CD, AB=CD AEF DFC AF FC = AE CD 即： 2 FC = AE CD AEEB AE AB = 1 2 AE CD = 1 2 F A E B C D 2 FC = 1 2 FC=4 案例 5： “A、X 混合型”（2009 山东临沂3 分） 如图：点G 在平行四边形ABCD 的边 DC 的延长线上 ,AG 交 BC、BD 于点 E、F， AD=3CE,则 AB

13、和 CG 的 关系是 _ _ 思路点拨： 此题图形中包含“正X 型”和“正A 型”图， 利用平行四边形对边平行的性质易得AFD BFE 和 CEG ABE 【生 】解：四边形ABCD 是平行四边形 AB CG AD CE CEG AGD AD=3CE AG=3EG AE=2EG AB CG ABE CEG AB=2CG 案例 6： “旋转型”（2012 山东菏泽6 分） 如图， DAB= CAE，请补充一个条 件：，使 ABC ADE 思路点拨： 此题图形属于旋转型，由DAB= CAE 可得 DAE= BAC 【生 1】 D=B 【生 2】 AED= C 【设计意图 】通过剖析相似三角形中考真

14、题，使学生发现前面总结的解题规律在解决中考题 的威力，培养学生解决中考题的能力和信心 五、知识盘点、纵横联系 【师 】通过前面的学习之后，你能否将相似三角形与相似的知识之间的联系说一说？ 【生 】展示、交流。 A BC D E F G 【师 】多媒体展示： 【设计意图 】通过剖析相似三角形中考真题，使学生发现前面总结的解题规律在解决中考题 的威力，培养学生解决中考题的能力和信心 六、自主限时、冲刺中考 （一）选择题题型 （A组题） 1.（2010 年上海） 下列命题中，是真命题的为（） A.锐角三角形都相似 B. 直角三角形都相似 C. 等腰三角形都相似 D. 等边三角形都相似 2.（2012

15、 陕西省） 如图，在BEADABC,中，是两条中线，则 ABCEDC SS:（） A12 B23 C13 D14 3.（2011 四川宜宾） 如图，在 Rt ABC 中， ACB=90 ， A=30 ，CDAB 于点 D则 BCD 与 ABC 的周长之比为（） A 1: 2 B1:3 C1:4 D1:5 4. （2012 江苏徐州） 如图，在正方形ABCD 中， E 是 CD 的中点，点 F 在 BC 上， 且 FC= BC。 金 杨 2 题图 A C B D 3 题图 4 题图 位似 相似三角形 相似三角形 的性质 图形的相 似 中 考 复 习 相似三角形 的判定 对应角相等 对应边成比例

16、对应中线的比 =对应高的 比=对应角平分线的比= 相似比 周长的比 =相似比 平 两角 三边 两边成比 例 A字型 X字型 对应角相等， 对 应边 成比 例， 周长的比 =相似比 面积的比 =相似比的平方 画法、性 质 用坐标 表示 位似中心是原点 对应点的坐标比 为k或-k 两 图 形 位 似 对应顶点的连线 交于一点 对应边平行 相似三角 形 相似形 相似多 图中相似三角形共有【】 A1 对B2 对C3 对D4 对 5.（2010 年桂林市） 已知 ADE 与 ABC 的相似比为1：2，则 ADE 与 ABC 的面积比 为（） A 1：2 B 1： 4 C 2：1 D 4：1 （B组题）

17、6.(2012 山东烟台） 如图， ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且 ABC DBA，则下列结论 一定正确的是（） AAB 2=BC BD B AB 2=AC BD CAB AD=BD BCDAB AD=AD CD 7.（2012 黄冈） 如图，过边长为1 的等边 ABC 的边 AB 上一点 P，作 PEAC 于 E，Q 为 BC 延长线上一点，当PACQ 时，连 PQ 交 AC 边于 D，则 DE 的长为（） A 1 3 B 1 2 C 2 3 D不能确定 8.（2010 江苏泰州） 一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与 （二）填空题题型 （A组题

18、） 1.（2010 陕西省） 如图， 在 ABC 中，D 是 AB 边上一点，连接CD，要使 ADC 与 ABC 相似，应添加的条件是。 2.（2010 山东临沂） 如图， 1=2，添加一个条件使得ADE ACB 3.（ 2010 上海市） 如图 2，ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足 ACD = ABC ，若 AC = 2 ， AD = 1 ，则 DB = _. 4（2008 江苏盐城） 如图，DE，两点分别在ABC的边ABAC，上，DE与BC不平 行，当满足条件（写出一个即可）时，ADEACB （B组题） 第 3 题图第 2 题图第 4 题图 A BC D 4 1 A B D C 6

19、 题图 7 题图 E C D A F B 8 题图 5. （2012 山东滨州4 分） 如图，锐角三角形ABC 的边 AB ，AC 上的高线 CE 和 BF 相交于 点 D，请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接） 6. (2010 甘肃兰州 )如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D 的位置时，乙 的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1 米,甲身高 1.8 米，乙身高 1.5 米，则甲的影长是米. 7. (2011 山东菏泽 )如图 10,在 ABC 中,P 为 AB 上一点 ,要使 APC ACB, 还需具备的一 个条件是 _. 8. （2008 上海市） 如图 5，平

20、行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F， 如果 2 3 BE BC ，那么 BF FD 9. （ 2008 年杭州市） 在 Rt ABC中， C为直角， CD AB于点 D,BC=3,AB=5,写出其中的一 对相似三角形是和；并写出它的面积比 . （三）解答题题型 （A组题） 1. (2012山东聊城省）如图所示，已知中， E 为 AB 延长线上的一点，AB=3BE ， DE与 BC相交于 F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比. 2. (2012 陕西省） 如图， 在ABCD中，ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、 P A B C 7 题图 A E C B

21、D D C A B 9 题图 图 8 F （1）求证：ABAF； （2）当 35ABBC， 时，求 AE AC 的值 3. （ 2008 山东临沂） 如图，ABCD中， E 是 CD 的延长线上一点，BE 与 AD 交于点F， CDDE 2 1 。 求证： ABF CEB; 若 DEF的面积为2，求ABCD的面积。 （B组题） 4. （ 2008 山东临沂） 如图 8，四边形ABCD是平行四边形O 是对角线AC的中点，过点 O的直线EF分别交 AB、 DC 于点E、F，与 CB、AD 的延长线分别交于点G、H （1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）； （2）除 AB=CD，AD=B

22、C，OA=OC 这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段， 请选出其中一对加以证明 5. (2008 年广东梅州市)本题满分8 分 第 21 题图 F A D E BC 如图 10 所示， E 是正方形ABCD 的边 AB 上的动点，EFDE 交 BC 于点 F （1）求证：ADEBEF； （2）设正方形的边长为4， AE=x，BF=y当x取什么值时，y有最大值 ?并求出 这个最大值 6. （ 2008 扬州） 如图，在 ABD 和 ACE 中， AB=AD ，AC=AE ， BAD= CAE ，连结 BC、DE 相交于点F，BC 与 AD 相交于点G. （ 1）试判断线段BC、DE 的数量

23、关系，并说明理由 （ 2）如果 ABC= CBD，那么线段FD 是线段 FG 和 FB 的比例中项吗？为什么？ G F A C E B D 【 设计意图 】 组题目为必做题，一方面可以了解学生对 本节课所复习内容的掌握情况，同时也可以培养学生快速准确解答问题的能力. 组问题为 学有余力的同学设计，努力使每个学生在课堂上都有所发展，也充分利用课堂时间提高了优 秀生解决问题的能力，如课上不能完成，可作为课后作业 七、板书设计 八、教后反思 优点： 结合中考大纲分成4 大板块进行复习： （1）基础知识梳理、复习板块（2）经典习题、 基本图形板块，侧重巩固基础知识、基本技能，总结规律（3）中考真题剖析板块（4）中考 冲刺模拟板块， 通过 4 大板块的复习，学生先复习基础知识，再到掌握基本技能，最后上升 到发现解题规律，循序渐进的提升符合学生的认知规律。有了前面的一系列铺垫，学生不但 夯实了基础， 掌握了解题规律，还逐渐找到了解决中考题的那份自信，使学生在下面的模拟 冲刺中获得了一定的成功. 缺点： 由于要照顾到大多数学生，复习主要集中于难度不大的习题，导致一部分优秀生在课 上出现“吃不饱”的现象，只能把一些稍有难度的中考题放到课下让学生再研究. 相似三角形专题复习 一、知识梳理二、经典习题三、规律总结