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1、立体几何 -平行与垂直专项训练 1.如图 1，在矩形ABCD中，E,F分别是 AB,CD的中点，沿EF将矩形BEFC折起，使 90CFD，如图 2 所示： （）若G,H分别是AE,CF的中点，求证：GH/ 平面ABCD； （）若1AE，60DCE，求三棱锥CDEF的体积 2.如图，四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA平面 PDC ， E为棱 PD的中点 （1）求证： PB 平面EAC ； （2）求证：平面PAD 平面 ABCD 3.如图，已知SCD中，3SD，5CD，5 5 1 cosSDC，ADSA2，SDAB交SC 于B，M为SB上点，且MBSM2，将SAB沿AB折起，使平面S
2、AB平面ABCD （1）求证：AM平面SCD； （2）求三棱锥CDMS的体积 图 1 图 2 O M D C B A 4.如图，在多面体 ABCDM 中， BCD是等边三角形，CMD是等腰直角三 角形，90CMD ，平面CMD平面BCD，AB平面BCD，点O为 CD的中点，连接OM. () 求证：OM平面 ABD； () 若 2ABBC ，求三棱锥 ABDM 的体积 . 5.如图，在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，三角形ADP中 AD=AP=5 ， PD=6 ，M 、N分别是 AB ， PC的中点 （1）求证： MN 平面PAD （2）求异面直线MN与 AD夹角的余弦值 6.
3、在如图所示的四棱锥P ABCD 中，已知PA平面 ABCD ， AD BC， BAD=90 ， PA=AB=BC=1 ，AD=2 ， E为 PD的中点 （）求证： CE 面PAB （）求证：平面PAC 平面 PDC （）求直线EC与平面 PAC所成角的余弦值 7.已知四边形ABCD为平行四边形，ADBD，BDAD， 2AB，四边形ABEF为正方形，且平面ABEF平面ABCD （1）求证： BD 平面ADF； （2）若M为CD中点，证明：在线段EF上存在点N，使得MN平面ADF，并求出此时三棱锥 NADF的体积 8.如图，在四棱锥PABCD 中， PA 平面 ABCD ，四边形 ABCD 为正方
4、形，点 M ， N 分别为线段 PB ，PC 上的点， MN PB （）求证：平面 PBC 平面 PAB ； （）求证：当点M 不与点 P ，B 重合时， M N 平面 ABCD ； （）当 AB 3，PA 4时，求点 A到直线 MN 距离的最小值。 9.如图 1，在梯形ABCD中，ADBC，ADDC，2BCAD，四边形ABEF是矩形 . 将矩形 ABEF沿AB折起到四边形 11 ABE F 的位置，使平面 11 ABE F 平面 ABCD，M 为 1 AF 的中点，如图2. （）求证： 1 BEDC； 图图 A B C D E 1 F1 M F E D C B A A C D E F B （
5、）求证：DM/ 平面 1 BCE； （）判断直线CD与 1 ME的位置关系 , 并说明理由 10.如图，已知AF平面 ABCD ，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD 为直角梯形， DAB90，AB/CD，AD=AF=CD=2，AB=4 （）求证： AC平面 BCE ； （）求三棱锥ACDE的体积； （）线段EF上是否存在一点M ，使得 BMCE ?若存在 ，确定 M点的位置；若 不存在，请说明理由 11.在直三棱柱ABC A1B1C1中， AB=AC=AA 1=3，BC=2 ，D是 BC的中点， F 是 C1C上一 点 （1）当 CF=2 ，求证： B1F平面 ADF ； （2）若 FD B
6、1D，求三棱锥B1ADF体积 12.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中， AB=AD=1 ，AA1=2，点 P为 DD1的中点 （）求证：平面PAC 平面 BDD1； （）求证： PB1平面 PAC ； （）求VC PAB 13.如图，在四棱锥PABCD 中， PD平面 ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2 ， AB DC ， BCD=90 （1）求证： PC BC ； （2）求点 A到平面 PBC的距离 试卷答案 1.试题解析：（）法一：取 AB中点P，连结PG、PC 1 分 G,H分别是AE,CF的中点 1 / 2 CHBE，且 1 2 CHBE， 1 / 2 PGBE，且
7、1 2 PGBE /,PGCH PGCH 四边形CPGH为平行四边形， /GHPC 4 分 又GH平面ABCD，PC平面ABCD GH/ 平面ABCD6 分 法二：取CD中点Q，连结QA,QH 1 分 G,H分别是AE,CF的中点 1 / 2 QHDF，且 1 2 QHDF， 1 / 2 AGDF， 且 1 2 AGDF /,AGQH AGQH， 四边形AGQH为平行四边形 /GHAQ4 分 又GH平面ABCD，AQ平面ABCD GH/ 平面ABCD6 分 法三：取DF中点M，连结MG,MH 1 分 G,H分别是AE,CF的中点， A D F H CB E G Q A D F H CB E G
8、 P /GMAD，/MHCD 又GM平面ABCD，AD平面ABCD MH平面ABCD,CD平面ABCD GM/ 平面ABCD，MH/ 平面ABCD 4 分 GMMHM， 平面GMH/ 平面ABCD 而GH平面GMH GH/ 平面ABCD6 分 （）90CFDCFDF ,CFEF EFDFF CF平面ADFE8 分 又1AEEB， 2 1CEDEEF，且1CFDF 60DCEDCE为等边三角形 而Rt CDF中，2CD 2 12EF ， 1EF10 分 111 326 CDEF VEF DFCF 故三棱锥CDEF的体积为 1 6 12 分 考点： 1. 平行关系、垂直关系；2. 几何体的体积 .
9、 2.【解答】证明：（ 1）连接 BD ，交 AC于 F， 由 E为棱 PD的中点， F 为 BD的中点， 则 EF PB ， 又 EF? 平面 EAC ，PB ?平面 EAC ， 则 PB 平面 EAC ； （2）由 PA 平面 PCD ， 则 PA CD ， 底面 ABCD 为矩形， 则 CD AD ， 又 PA AD=A ， A D M F H CB E G H O M D C B A A M S D C B N O 则有 CD 平面 PAD ， 由 CD ? 平面 ABCD ， 则有平面PAD 平面 ABCD 【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系，主要考查线面平行的判定定理和面面垂
10、直的判定定理， 注意定理的条件的全面性是解题的关键 3.试题解析：（ 1）如图：过C作SDCO交SD的延长线于O，在BC上取点N使2:1: NCBN 连接MN，由于1:2: MBSMMNSC/ 在平面 SCD中，由 5CD，5 5 1 cosSDC得2, 1 CODO 即AOSA又SDAB得BCSB， 又1:2: MBSM，2:1: NCBN1:2: NCSNANCD/ 平面/AMN平面SCDAM 平面SCD （2）由 AM 平面 SCD知M到平面 SCD的距离等于A到平面 SCD的距离， 转化 3 2 ACDSSCDASCDMCDMS VVVV. 考点： 1、直线与平面平行的判定；2、求三棱
11、锥的体积. 4.( ) 证明：CMD是等腰直角三角形，90CMD，点O为CD的中点， OMCD. 1分 平面CMD平面BCD，平面CMD平面BCDCD，OM平面CMD， A M S D C B N OM 平面BCD. 2 分 AB 平面BCD, OMAB. 3 分 AB平面ABD,OM平面ABD, OM平面ABD. 4 分 ( ) 解法 1：由 ( )知OM平面ABD, 点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离 . 5 分 过O作OHBD，垂足为点H， AB 平面BCD,OH平面BCD, OHAB. 6 分 AB平面ABD,BD平面ABD,ABBDB， OH平面ABD. 7 分 2AB
12、BC，BCD是等边三角形， 2BD ， 1OD ， 3 sin 60 2 OHOD. 9 分 A BDMMABD VV10 分 11 32 AB BD OH11 分 1133 22 3223 . 三棱锥ABDM的体积为 3 3 . 12 分 解法 2: 由( ) 知OM平面 ABD, 点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离 . 5 分 2ABBC，BCD是等边三角形， 2BD ， 1OD . 6 分 连接OB, 则OBCD, sin603OBBD . 7 分 A BDMMABDOABDA BDO VVVV10 分 11 32 OD OB AB11 分 113 132 323 . 三棱
13、锥 ABDM 的体积为 3 3 . 12 分 5.解答】证明：（1）取 CD中点 O，连结 NO 、MO ， M 、 N分别是 AB ，PC的中点， NO PD ，MO AD ， NO MO=O，PD AD=D ， NO ， MO ? 平面 MNO ，PD、AD ? 平面 APD ， 平面 MON 平面ADP ， MN ? 平面 MON ，MN 平面APD 解：（ 2）MN 平面PAD ，AP与 MN共面， MN AP ， PAD是异面直线MN与 AD夹角， 三角形ADP中 AD=AP=5 ，PD=6 ， cosPAD= 异面直线MN与 AD夹角的余弦值为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查
14、异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审 题，注意空间思维能力的培养 6.【解答】证明：（）取PA的中点 M ，连接 BM ， ME AD且 ， BC AD且， ME BC且 ME=BC ， 四边形MEBC 为平行四边形，（2 分） 平面 BME CE ， CE ?面 PAB ，BM ?面 PAB ， CE 面 PAB （ 4 分） （）： PA 平面ABCD ， PA DC ，（ 5 分） 又 AC 2+CD2=2+2=AD2， DC AC ，（ 7 分） AC PA=A ， DC 平面 PAC （ 8 分） 又 DC ? 平面 PDC ， 所以平面PAC 平面 PDC （ 9
15、分） （）取PC中点 F，则 EF DC ， 由（）知DC 平面 PAC ， 则 EF 平面 PAC ， 所以 ECF为直线 EC与平面 PAC所成的角，（11 分） CF=PC=，EF=，（ 12 分） ， 即直线 EC与平面 PAC所成角的正切值为（ 13 分） 【点评】本题主要考查空间角，线面平行，线面垂直，面面垂直的定义，性质、判定，考查了空间想象 能力、计算能力，分析解决问题能力空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法 7.试题解析： (1) 证明：正方形ABEF中， AF AB， 平面 ABEF 平面ABCD ，又 AF平面 ABEF ， 平面 ABEF平面 ABCD=A
16、B ，1 分 AF 平面 ABCD 2 分 又BD平面 ABCD ， AF BD 3 分 又ADBD，AFAD=A ，AF 、AD平面 ADF, 4 分 BD平面 ADF 5 分 ( ) 解：当N为线段 EF中点时， MN 平面ADF 6 分 证明如下：正方形ABEF中， NF/ 2 1 BA，平行四边形形ABCD 中， MD/ 2 1 BA， NF/MD ，四边形 NFDM 为平行四边形， MN/DF7 分 又 DF平面 ADF ，MN平面 ADF ， MN/平面 ADF ， 8 分 过 D作 DHAB于 H， 平面 ABEF 平面ABCD ，又 DH平面 ABCD ，平面 ABEF平面 A
17、BCD=AB ，DH 平面 ABEF 9 分 在 Rt?ABD中， AB=2 ，BD=AD ，DH=1 ， 10 分 所以 1111 112 3323 NADFDANFANF VVDHS12 分 考点：线面垂直的判定，线面平行的判定，三棱锥的体积. 8.【试题解析】（）证明：在正方形中， 因为平面，平面，所以 又，平面， 所以平面 因为平面，所以平面平面 （）证明： 由（）知，平面，平面， 在中，所以， 又平面，平面， 所以/ 平面 （）解：因为，所以平面， 而平面，所以， 所以的长就是点到的距离， 而点在线段上 所以到直线距离的最小值就是到线段的距离， 在中，所以到直线的最小值为 9.试题解
18、析：（）因为四边形11 ABE F为矩形， 所以 1 BEAB. 因为平面ABCD平面 11 ABE F，且平面ABCD平面 11 ABE FAB， 1 BE平面 11 ABE F， 所以 1 BE平面ABCD. 3 分 因为DC平面ABCD， 所以 1 BEDC. 5 分 所以 / /MQAP，MQAP. 12 分 因为四边形ABCD为梯形，P为BC的中点，2BCAD， 所以/ /ADPC，ADPC. 所以四边形ADCP为平行四边形. 所以/ /CDAP，且CDAP. 所以/ /CDMQ且CDMQ. 所以CDMQ是平行四边形. 所以/ /DMCQ，即/ /DM 1 CE. 因为DM 1 CE
19、， 所以四边形 1 DME C是以DM， 1 CE为底边的梯形. 所以直线CD与 1 ME相交 . 14 分 考点：空间立体几何 10.（试题分析：（）过C作 CNAB ，垂足为N， 由 ADDC可知四边形ADCN 为矩形 ANNB2. 又由给定数据知, AC 2+BC2 AB 2，得到 AC BC ； 根据 AF平面 ABCD ，AF/BE 得到 BE平面 ABCD ，BE AC ，即可得证； ( ) 由 AF平面 ABCD ，AF/BE ，得知 BE平面 ABCD ，利用“等体积法”得到 1 . 3 A CDEEACDACD VVEB S （）在矩形ABEF中，因为点M ，N为线段 AB的
20、中点，得到四边形BEMN 为正方形， BMEN ； 由 AF平面 ABCD ，得到 AFAD. 在直角梯形ABCD中，可得AD平面 ABEF ，而 CN/AD，得到所以CN平面 ABEF ，CNBM ； 进一步由BM平面 ENC ，即得 BMCE. 试题解析：（）过C作 CNAB ，垂足为N， 因为 ADDC ，所以四边形ADCN 为矩形所以ANNB2. 又因为 AD2，AB4，所以 AC2 2，CN2，BC2 2, 所以 AC 2+BC2 AB 2，所以 AC BC ；2 分 因为 AF平面 ABCD ，AF/BE 所以 BE平面 ABCD ，所以 BE AC ，3 分 又因为 BE平面 B
21、CE ，BC平面 BCE ，BEBCB 所以 AC平面 BCE 4 分 ( ) 因为 AF平面 ABCD ，AF/BE 所以 BE平面 ABCD ， 14 33 A CDEEACDACD VVEB S 8 分 （）存在，点M为线段 EF中点，证明如下：9 分 在矩形 ABEF中，因为点M ，N为线段 AB的中点，所以四边形BEMN 为正方形， 所以 BMEN ； 10 分 因为 AF平面 ABCD ，AD平面 ABCD ，所以 AFAD. 在直角梯形ABCD中， ADAB ，又 AFABA，所以 AD平面 ABEF ， 又 CN/AD，所以 CN平面 ABEF ， 又 BM平面 ABEF所以
22、CNBM ； 12 分 又 CNENN，所以 BM平面 ENC ，又 EC平面 ENC ， 所以 BMCE. 14 分 考点： 1. 平行关系、垂直关系；2. 几何体的体积 . 11.【解答】（ 1）证明：AB=AC ， D是 BC的中点， AD BC M N A C D E F B 在直三棱柱ABC A1B1C1中， B1B底面 ABC ， AD ? 底面 ABC ，AD B1B BC B1B=B ，AD 平面B1BCC1 B1F? 平面 B1BCC1，AD B1F 在矩形 B1BCC1中，C1F=CD=1 ，B1C1=CF=2 ， RtDCF RtFC1B1 CFD= C1B1FB 1FD
23、=90 ，B1FFD AD FD=D ，B 1F平面 ADF （2）解： AD 面B1DF， 又，CD=1 ， FD B1D，RtCDF RtBB1D， 12.【解答】证明：（I ） DD 1平面 ABCD ，AC? 平面 ABCD ， AC DD1， AB=AD ，四边形ABCD是正方形， AC BD ， 又 BD ? 平面 BDD1， DD1? 平面 BDD1，BD DD1=D， AC 平面 BDD1， AC? 平面 PAC ， 平面 PAC 平面BDD1 （II ）连结 B1C，B1A， B1D1， 长方体ABCD A1B1C1D1中， AB=AD=1 ，AA1=2， B1D1=，PD1
24、=PD=1 ， PB1=，PC=， PA=， B1C=，B1A= PC 2+PB 1 2=B 1C 2，PA2+PB 1 2 =B1A 2， PB1PC ， PB1PA ， 又 PA ? 平面 PAC ，PC ? 平面 PAC ，PA PC=P ， PB1平面 PAC （III）VC PAB=VP ABC= 13.【解答】解：（1）证明：因为PD平面 ABCD ，BC ? 平面 ABCD ，所以 PD BC 由BCD=90 ，得CD BC ， 又 PD DC=D ， PD 、DC ? 平面 PCD ， 所以 BC 平面 PCD 因为 PC ? 平面 PCD ，故 PC BC （2）（方法一）分
25、别取AB 、PC的中点 E、F，连 DE 、DF ，则： 易证 DE CB ，DE 平面PBC ，点 D、E到平面 PBC的距离相等 又点 A到平面 PBC的距离等于E到平面 PBC的距离的2 倍 由（ 1）知： BC 平面PCD ，所以平面PBC 平面PCD于 PC ， 因为 PD=DC ，PF=FC ，所以 DF PC ，所以DF 平面 PBC于 F 易知 DF=，故点 A到平面 PBC的距离等于 （方法二）等体积法：连接AC 设点 A到平面 PBC的距离为h 因为 AB DC ，BCD=90 ，所以 ABC=90 从而 AB=2 ，BC=1，得 ABC的面积 SABC=1 由 PD 平面 ABCD 及 PD=1 ，得三棱锥PABC的体积 因为 PD 平面 ABCD ，DC ? 平面 ABCD ，所以 PD DC 又 PD=DC=1 ，所以 由 PC BC ， BC=1，得 PBC的面积 由 VAPBC=VPABC，得， 故点 A到平面 PBC的距离等于