《2019中考数学题型专项研究第11讲：相似三角形的判定与性质.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019中考数学题型专项研究第11讲：相似三角形的判定与性质.pdf（24页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2019 年中考数学题型专项研究 第 11 讲相似三角形的判定与性质 1有关相似三角形的计算问题(如边、角、周长、面积等 ) 2用相似三角形解决实际问题 3 证明两个三角形相似或有关相似三角形的证明 1对应关系判断错误 2忽视分类讨论而出错 3错记相似三角形的面积比而出错 1求证两三角形相似 ，方法有： (1)对应的两个角相等 (经常用到)；(2)三组对应边成比 例；(3)两组对应边成比例 ，并且相应的夹角相等；(4)平行于三角形一边的直线和其他 两边 (或两边的延长线)相交 ，所构成的三角形与原三角形相似；(5)对应角相等 ，对应 边成比例的两个三角形叫做相似三角形(定义) 2相似三角形的对
2、应角相等，对应边成比例 ，相似比边长比周长比对应高的比 对应中线的比对应角平分线的比；面积比相似比的平方 3做题时灵活运用相关知识 1有关相似三角形的计算问题：熟悉并掌握相似三角形的性质，在求解过程中能够找 出边或角的对应关系 ，适当的运用方程、转化、分类等数学思想 2用相似三角形解决实际问题：首先将实际问题转化为相似三角形的模型，再判断说 明两个三角形相似及利用相似三角形的性质求解 3证明两个三角形相似或有关相似三角形的证明：熟悉并掌握相似三角形的判定方 法，注意总结归纳相似三角形的一些基本模型 【典例解析】 【例题 1】（2017 山东泰安）如图，正方形ABCD中，M 为 BC上一点， M
3、EAM，ME 交 AD的延长线于点 E若 AB=12，BM=5，则 DE的长为（） A18 B C D 【考点】 S9：相似三角形的判定与性质；KQ ：勾股定理； LE ：正方形的性质 【分析】先根据题意得出ABMMCG，故可得出 CG的长，再求出 DG 的长，根据 MCG EDG即可得出结论 【解答】解：四边形ABCD是正方形， AB=12 ，BM=5， MC=125=7 MEAM， AME=90 ， AMB+CMG=90 AMB+BAM=90 ， BAM=CMG，B=C=90 ， ABMMCG， =，即=，解得 CG=， DG=12 = AE BC ， E=CMG ，EDG= C， MCG
4、 EDG ， =，即=，解得 DE= 故选 B 【例题 2】（2017 毕节）如图，在 ?ABCD中 过点 A 作 AE DC，垂足为 E，连接 BE ，F 为 BE上一点，且 AFE= D （1）求证： ABF BEC ； （2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长 【考点】 S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质； T7：解直角三角形 【分析】 （1）由平行四边形的性质得出ABCD，ADBC ，AD=BC ，得出 D+C=180 ， ABF= BEC ，证出 C=AFB ，即可得出结论； （2）由勾股定理求出BE ，由三角函数求出AE，再由相似三角形的性质求出AF的长
5、 【解答】 （1）证明：四边形ABCD是平行四边形， ABCD，ADBC ，AD=BC ， D+C=180 ，ABF= BEC ， AFB +AFE=180 ， C= AFB， ABF BEC ； （2）解： AEDC，ABDC ， AED= BAE=90 ， 在 RtABE中，根据勾股定理得： BE=4， 在 RtADE中，AE=AD?sinD=5 =4， BC=AD=5 ， 由（1）得： ABF BEC ， ，即， 解得： AF=2 ADF DEC ， 【例题 3】（2017 湖北江汉）在 RtABC中， ACB=90 ，点 D 与点 B 在 AC同侧， DAC BAC ，且 DA=DC
6、，过点 B作 BE DA交 DC于点 E，M 为 AB的中点，连接 MD， ME （1）如图 1，当 ADC=90 时，线段 MD 与 ME 的数量关系是MD=ME； （2）如图 2，当 ADC=60 时，试探究线段 MD 与 ME 的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，当ADC= 时，求的值 【考点】 SO ：相似形综合题 【分析】 （1）先判断出 AMFBME，得出 AF=BE ，MF=ME，进而判断出 EBC= BED ECB=45 =ECB ，得出 CE=BE ，即可得出结论； （2）同（ 1）的方法即可； （3）同（ 1）的方法判断出 AF=BE ，MF=ME，再判断出 ECB
7、= EBC ，得出 CE=BE 即可 得出 MDE=，即可得出结论 【解答】解：（1）如图 1，延长 EM 交 AD于 F， BE DA， FAM=EBM， AM=BM，AMF=BME， AMFBME， AF=BE ，MF=ME， DA=DC ，ADC=90 ， BED= ADC=90 ，ACD=45 ， ACB=90 ， ECB=45 ， EBC= BED ECB=45 =ECB ， CE=BE， AF=CE ， DA=DC ， DF=DE ， DMEF ，DM 平分ADC ， MDE=45 ， MD=ME， 故答案为 MD=ME； （2）MD=ME，理由： 如图 2，延长 EM 交 AD于
8、 F， BE DA， FAM=EBM， AM=BM，AMF=BME， AMFBME， AF=BE ，MF=ME， DA=DC ，ADC=60 ， BED= ADC=60 ，ACD=60 ， ACB=90 ， ECB=30 ， EBC= BED ECB=30 =ECB ， CE=BE ， AF=CE ， DA=DC ， DF=DE ， DMEF ，DM 平分ADC ， MDE=30 ， 在 RtMDE中，tanMDE=， MD=ME （3）如图 3，延长 EM 交 AD于 F， BE DA， FAM=EBM， AM=BM，AMF=BME， AMFBME， AF=BE ，MF=ME， 延长 BE交
9、 AC于点 N， BNC= DAC ， DA=DC ， DCA= DAC ， BNC= DCA ， ACB=90 ， ECB= EBC ， CE=BE ， AF=CE ， DF=DE ， DMEF ，DM 平分ADC ， ADC= ， MDE=， 在 RtMDE中，=tanMDE=tan 【例题 4】（1）阅读理解：如图，在四边形ABCD中，ABDC ，E是 BC的中点，若 AE是BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系 解决此问题可以用如下方法：延长AE交 DC的延长线于点 F，易证 AEB FEC ，得到 AB=FC ，从而把 AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断 AB、
10、AD、DC之间的等量关系为AD=AB +DC； （2）问题探究：如图，在四边形ABCD中，ABDC ，AF与 DC的延长线交于点 F，E 是 BC的中点，若 AE是BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明 你的结论 （3）问题解决：如图， ABCF ，AE与 BC交于点 E，BE：EC=2 ：3，点 D 在线段 AE 上，且 EDF= BAE ，试判断 AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论 【考点】 SO ：相似形综合题 【分析】 （1）延长 AE交 DC的延长线于点 F，证明 AEB FEC ，根据全等三角形的性 质得到 AB=FC ，根据等腰三角形的判定得到D
11、F=AD ，证明结论； （2）延长 AE交 DF的延长线于点 G，利用同（ 1）相同的方法证明； （3）延长 AE交 CF的延长线于点 G，根据相似三角形的判定定理得到AEB GEC ， 根据相似三角形的性质得到AB= CG ，计算即可 【解答】解：（1）如图，延长 AE交 DC的延长线于点 F， ABDC， BAF= F， E是 BC的中点， CE=BE ， 在AEB和FEC中， ， AEB FEC ， AB=FC ， AE是BAD的平分线， DAF= BAF ， DAF= F， DF=AD ， AD=DC +CF=DC +AB， 故答案为： AD=AB +DC； （2）AB=AF +CF
12、， 证明：如图，延长AE交 DF的延长线于点 G， E是 BC的中点， CE=BE ， ABDC， BAE= G， 在AEB和GEC中， ， AEB GEC ， AB=GC ， AE是BAF的平分线， BAG= FAG ， ABCD， BAG= G， FAG= G， FA=FG ， AB=CG=AF +CF ； （3）AB= （CF +DF） ， 证明：如图，延长AE交 CF的延长线于点 G， ABCF ， AEB GEC ， = ，即 AB= CG ， ABCF ， A=G， EDF= BAE ， FDG= G， FD=FG ， AB= CG= （CF +DF） 【专项训练】 一、选择题：
13、1. 如图，把 ABC沿着 BC的方向平移到 DEF的位置，它们重叠部分的面积是ABC 面积的一半，若 BC=，则 ABC移动的距离是（ ） ABCD 【分析】移动的距离可以视为BE或 CF的长度，根据题意可知 ABC与阴影部分为相似 三角形，且面积比为2：1，所以 EC ：BC=1 ：，推出 EC的长，利用线段的差求BE的 长 【解答】解： ABC沿 BC边平移到 DEF的位置， ABDE， ABC HEC ， =（ ） 2= ， EC ：BC=1 ：， BC=， EC=， BE=BC EC= 故选： D 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于证ABC与阴 影部分为
14、相似三角形 2. （2017 哈尔滨） 如图，在 ABC中，D、E 分别为 AB、AC边上的点， DE BC ，点 F 为BC边上一点，连接 AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（ ） A=B=C=D= 【考点】 S9：相似三角形的判定与性质 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案 【解答】解：（A）DEBC ， ADE ABC ， ，故 A 错误； （B）DE BC ， ，故 B错误； （C ）DE BC ， ，故 C正确； （D） ）DE BC ， AGE AFC ， =，故 D 错误； 故选（ C） 3. （2017 山东临沂） 已知 ABCD ，AD 与 BC相交于点 O
15、若=，AD=10，则 AO= 4 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可 【解答】解： ABCD， =，即= ， 解得， AO=4， 故答案为： 4 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题 的关键 4. （2017 绥化） 如图，在 ?ABCD中，AC ，BD相交于点 O，点 E是 OA的中点，连接 BE 并延长交 AD于点 F，已知 SAEF=4，则下列结论： =；SBCE=36；SABE=12； AEF ACD ，其中一定正确的是（） AB CD 【考点】 S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质 【分析】根据平行四边形的性
16、质得到AE= CE ，根据相似三角形的性质得到=， 等量代换得到AF= AD，于是得到=；故正确；根据相似三角形的性质得到S BCE=36； 故正确；根据三角形的面积公式得到SABE=12， 故正确；由于 AEF与ADC 只有一个角相等，于是得到AEF与ACD不一定相似，故错误 【解答】解：在 ?ABCD中，AO= AC ， 点 E是 OA的中点， AE= CE ， ADBC， AFE CBE ， = ， AD=BC ， AF= AD， =；故正确； SAEF=4，=（）2=， SBCE=36；故正确； = ， =， SABE=12，故正确； BF不平行于 CD ， AEF与ADC只有一个角相
17、等， AEF与ACD不一定相似，故错误， 故选 D 5. （2017 湖北江汉）如图，矩形ABCD中，AEBD于点 E，CF平分 BCD ，交 EA的延 长线于点 F， 且 BC=4 ， CD=2 ， 给出下列结论： BAE= CAD ； DBC=30 ； AE=； AF=2，其中正确结论的个数有（ ） A1 个 B 2 个 C 3 个 D4 个 【考点】 S9：相似三角形的判定与性质；LB：矩形的性质 【分析】根据余角的性质得到BAE= ADB，等量代换得到 BAE= CAD ，故正确； 根据三角函数的定义得到tanDBC=，于是得到 DBC 30 ，故错误；由勾股 定理得到 BD=2，根据
18、相似三角形的性质得到AE=；故正确；根据 角平分线的定义得到 BCF=45 ，求得 ACF=45 ACB ，推出 EAC=2 ACF ，根据外 角的性质得到 EAC= ACF +F，得到 ACF= F，根据等腰三角形的判定得到AF=AC ， 于是得到 AF=2，故正确 【解答】解：在矩形ABCD中， BAD=90 ， AE BD， AED=90 ， ADE +DAE= DAE +BAE=90 ， BAE= ADB ， CAD= ADB ， BAE= CAD ，故正确； BC=4 ，CD=2 ， tanDBC=， DBC 30 ，故错误； BD=2， AB=CD=2 ，AD=BC=4 ， ABE
19、 DBA ， ， 即， AE=；故正确； CF平分 BCD ， BCF=45 ， ACF=45 ACB ， ADBC， DAC= BAE= ACB ， EAC=90 2ACB ， EAC=2 ACF ， EAC= ACF +F， ACF= F， AF=AC ， AC=BD=2， AF=2，故正确； 故选 C 二、填空题： 6. （2017 湖北随州） 在ABC在，AB=6，AC=5，点 D 在边 AB上，且 AD=2，点 E在边 AC上，当 AE=或时，以 A、D、E为顶点的三角形与 ABC相似 【考点】 S8：相似三角形的判定 【分析】若 A，D，E 为顶点的三角形与 ABC相似时，则=或=
20、，分情况进 行讨论后即可求出AE的长度 【解答】解：当=时， A=A， AED ABC ， 此时 AE=； 当=时， A=A， ADE ABC ， 此时 AE= = ； 故答案为：或 7. （2017 齐齐哈尔） 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个 小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条 线段定义为原三角形的 “ 和谐分割线 ” 如图，线段 CD是ABC的“ 和谐分割线 ” ，ACD 为等腰三角形， CBD和ABC相似， A=46 ，则 ACB的度数为113 或 92 【考点】 S7：相似三角形的性质； KH：等腰三角形的性质 【分析
21、】由 ACD是等腰三角形， ADC BCD ，推出 ADC A，即 AC CD，分两 种情形讨论当 AC=AD时，当 DA=DC时，分别求解即可 【解答】解： BCD BAC ， BCD= A=46 ， ACD是等腰三角形， ADC BCD ， ADC A，即 ACCD ， 当 AC=AD时， ACD= ADC= =67 ， ACB=67 +46 =113 ， 当 DA=DC时， ACD= A=46 ， ACB=46 +46 =92 ， 故答案为 113 或 92 8. （2017 内江）如图，四边形 ABCD中，ADBC，CM是BCD的平分线，且 CMAB， M 为垂足， AM=AB若四边形
22、 ABCD的面积为，则四边形 AMCD的面积是1 【考点】 S9：相似三角形的判定与性质；KJ ：等腰三角形的判定与性质 【分析】延长 BA、CD，交点为 E依据题意可知 MB=ME然后证明 EADEBC 依 据相似三角形的性质可求得EAD和EBC的面积，最后依据S四边形AMCD=SEBC S EAD 求解即可 【解答】解：如图所示：延长BA、CD，交点为 E CM平分 BCD ，CMAB， MB=ME 又AM=AB， AE= AB AE= BE ADBC， EAD EBC = S四边形ADBC=SEBC= SEBC= SEAD= S四边形AMCD= SEBC S EAD=1 故答案为： 1
23、9. （2017 内江）如图，正方形ABCD中，BC=2 ，点 M 是边 AB的中点，连接 DM，DM 与 AC交于点 P，点 E在 DC上，点 F在 DP上，且DFE=45 若 PF=，则 CE= 【考点】 S9：相似三角形的判定与性质；LE ：正方形的性质 【分析】如图，连接EF首先求出 DM、DF的长，证明 DEF DPC ，可得=， 求出 DE即可解决问题 【解答】解：如图，连接EF 四边形 ABCD是正方形， AB=BC=CD=DA=2，DAB=90 ，DCP=45 ， AM=BM=1， 在 RtADM 中，DM=， AMCD ， = ， DP=，PF=， DF=DP=PF=， ED
24、F= PDC ，DFE= DCP ， DEF DPC ， =， =， DE= ， CE=CD DE=2 = 故答案为 10. （2017 呼和浩特）如图，在 ?ABCD中，B=30 ，AB=AC ，O是两条对角线的交点， 过点 O 作 AC的垂线分别交边 AD，BC于点 E，F，点 M 是边 AB的一个三等分点，则 AOE与BMF的面积比为3：4 【考点】 S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质 【分析】作 MHBC于 H，设 AB=AC=m ，则 BM=m，MH=BM= m，根据平行四边形 的性质求得 OA=OC= AC= m，解直角三角形求得FC=m，然后根据 ASA证得AO
25、E COF ，证得 AE=FC=m，进一步求得OE= AE=m，从而求得SAOE=m2，作 ANBC于 N，根据等腰三角形的性质以及解直角三角形求得BC=m，进而求得 BF=BC FC=mm=m，分别求得 AOE与BMF的面积，即可求得结论 【解答】解：设 AB=AC=m ，则 BM= m， O是两条对角线的交点， OA=OC= AC= m， B=30 ，AB=AC ， ACB= B=30 ， EF AC， cosACB=，即cos30 =， FC=m， AE FC ， EAC= FCA ， 又 AOE= COF ，AO=CO ， AOE COF ， AE=FC=m， OE= AE=m， SA
26、OE=OA?OE= m=m2， 作 ANBC于 N， AB=AC ， BN=CN= BC ， BN=AB= m， BC= m， BF=BC FC= m m=m， 作 MHBC于 H， B=30 ， MH=BM= m， SBMF=BF?MH= mm=m2， = 故答案为 3：4 三、解答题： 1. （2017.江苏宿迁）如图，在 ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B， C重合） ，满足 DEF= B，且点 D、F分别在边 AB、AC上 （1）求证： BDE CEF ； （2）当点 E移动到 BC的中点时，求证： FE平分 DFC 【考点】 S9：相似三角形的判定与性质；KH：等
27、腰三角形的性质 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得到B=C，根据三角形的内角和和平角的定义 得到 BDE= CEF ，于是得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的性 质即可得到结论 【解答】解：（1）AB=AC ， B=C， BDE=180 BDEB ， CEF=180 DEF DEB ， DEF= B， BDE= CEF ， BDE CEF ； （2） BDE CEF ， ， 点 E是 BC的中点， BE=CE ， ， DEF= B=C ， DEF CEF ， DFE=CFE， FE平分 DFC 2. （2017 湖南株洲） 如图示，正方形 ABCD的顶
28、点 A 在等腰直角三角形DEF的斜边 EF上，EF与 BC相交于点 G，连接 CF 求证： DAE DCF ； 求证： ABG CFG 【考点】 S8：相似三角形的判定；KD ：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角 形；LE ：正方形的性质 【分析】由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF ，得到两对边相等，一对直角相等， 利用 SAS即可得证； 由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到 BAG=BCF，再由对顶角 相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证 【解答】证明：正方形ABCD ，等腰直角三角形EDF ， ADC= EDF=90 ，AD=CD ，DE=DF ， ADE +ADF= ADF +CDF ， ADE= CDF ， 在ADE和CDF中， ， ADE CDF ； 延长 BA到 M，交 ED于点 M， ADE CDF ， EAD= FCD ，即 EAM+MAD=BCD +BCF ， MAD=BCD=90 ， EAM=BCF ， EAM=BAG ， BAG= BCF ， AGB= CGF ， ABG CFG