2019届中考数学总复习：创新、开放与探究型问题.pdf

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1、第 1 页 共 1 页 2019 届中考数学总复习：创新、开放与探究型问题 【中考展望】 所谓开放探索型问题指的是有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一，需要根据题目 的特点进行分析、探索，从而确定出符合要求的答案( 一个、多个或所有答案) 或探索出解决问题的多种 方法 由于开放探究型问题对考查学生思维能力和创造能力有积极的作用，是近几年中考命题的一个热 点通常这类题目有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放和探索，条件与结论都开放与探索及方 案设计、命题组合型、问题开放型等 【方法点拨】 由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强， 灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖， 构

2、思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并 力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题 途径完成最后的解答由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式 或套路，但是可以从以下几个角度考虑： 1利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般， 从而得出规律 2反演推理法（反证法），即假设结论成立, 根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条 件一致 3分类讨论法当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做 到既不重

3、复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果 4类比猜想法即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法， 并加以严密的论证 以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运 用 【典型例题】 类型一、探究规律 1观察下列各式： 22 22 11 ， 33 33 22 ， 44 44 33 ， 55 55 44 ， , 想一想，什 么样的两数之积等于这两数之和？设n 表示正整数，用关于n 的等式表示这个规律 【思路点拨】 所给各式中的两个数中，一个是分数，一个是整数，且分数的分子比分母大1，分子与整数相等， 因此得

4、出规律. 第 2 页 共 2 页 【答案与解析】 所给各式中的两个数中，一个是分数，一个是整数，且分数的分子比分母大1，分子与整数相等， 因此得到规律： 11 (1)(1) nn nn nn (n 为正整数 ) 【总结升华】 这个规律是否正确呢？可将等式左右两边分别化简，即能得出结论对于“数字规律”的观察，要 善于发现其中的变量与不变量，以及变量与项数之间的关系，将规律用代数式表示出来 举一反三： 【变式 】 （2015 秋?日照期中） 如图， 把一条绳子折成3 折，用剪刀从中剪断，如果剪一刀得到4 条绳子， 如果剪两刀得到7 条绳子，如果剪三刀得到10 条绳子， ，依照这种方法把绳子剪n 刀

5、，得到的绳子的 条数为（） An B4n+5 C3n+1 D 3n+4 【答案】 C 【解析】解：设段数为x 则依题意得：n=0 时， x=1， n=1，x=4， n=2，x=7， n=3，x=10 ， 所以当 n=n 时， x=3n+1 故选： C 类型二、条件开放型 2如图所示，四边形ABCD 是矩形， O是它的中心， E，F 是对角线AC上的点 (1)若_，则 DEC BFA(请你填上能使结论成立的一个条件) ； (2) 证明你的结论 【思路点拨】 （1）已知了一边AD=BC ，和一角（ ADBC ， DAC= BCA ）相等根据全等三角形的判定AAS 、SAS 、ASA 等，只要符合这

6、些条件的都可以 （2）按照（ 1）中的条件根据全等三角形的判定进行证明即可 【答案与解析】 解： (1)AE CF ；(OEOF ；DE AC ， BFAC ；DE BF等等 ) (2) 以 AE CF为例 第 3 页 共 3 页 四边形 ABCD是矩形， AB CD ，AB CD ， DCE BAF 又 AE CF AC AE AC CF AFCE ， DEG BAF 【总结升华】 这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的一般方法是：从结论出发， 由果寻因， 逆向推理，探寻出使结论成立的条件；有时也采取把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析考察 举一反三： 【高清课堂：创新、开

7、放与探究型问题例 1】 【变式 】如图， 飞机沿水平方向 （A，B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低， 就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离 MN 飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞 机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离） ，请设计一个求距离MN的方案，要求： （1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）； （2）用测出的数据写出求距离MN 的步骤 【答案】 解：此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理，可参照给分 如图，测出飞机在A处对山顶的俯角为，测出飞机在B处对山顶的俯角为，测出 AB的距离为d， 连接 AM ，BM 第一步，在AMNRt

8、中， AN MN tan tan MN AN； 第二步，在BMNRt中， BN MN tan tan MN BN； 其中BNdAN，解得 tantan tantand MN 类型三、结论开放型 3已知：如图 (a) ，RtABC Rt ADE ， ABC ADE 90，试以图中标有字母的点为端点，连 接两条线段，如果你所连接的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种，那么请你把它写出来并证 第 4 页 共 4 页 明 【思路点拨】 此题需分三种情况讨论：第一种相等CD=BE ，第二种垂直AFBD ，第三种是平行DB CE 首先利用 全等三角形的性质，再利用三角形全等的判定定理分别进行证明即可

9、【答案与解析】 解：可以写出的结论有：CD BE，DB CE ，AF BD ，AFCE等 (1) 如图 (b) ，连接 CD ，BE ，得 CD BE 证明： ABC ADE ， AB AD ，AC AE 又 CAB EAD ， CAD E1AB ADC ABE CD BE (2) 如图 (c) ，连接 DB ，CE ，得 DB CE 证明： ABC ADE ， ADAB ADB ABD ABC ADE ， BDF FBD 由 AC AE可得 ACE AEC ACB AED ， FCE FEC BDF+ FBD FCE+ FEC ， FCE DBF DB CE 第 5 页 共 5 页 (3)

10、如图 (d) ，连接 DB ，AF，得 AFBD ABC ADE ， ADAB ， ABC ADE 90 又 AFAF， ADF ABF DAF BAF AFBD (4) 如图 (e) ，连接 CE 、AF，得 AFCE 同(3) 得 DAF BAF 可得 CAF EAF AFBD 【总结升华】本题考查了全等三角形的判定及性质；要对全等三角形的性质及三角形全等的判断定理进 行熟练掌握、反复利用，达到举一反三 举一反三： 【高清课堂：创新、开放与探究型问题例 2】 【变式 】数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图 1，正方形 ABCD 的边长为 12，P 为边 BC 延长 线上的一点， E为

11、DP的中点， DP的垂直平分线交边DC于 M ，交边 AB的延长线于N.当 CP=6时，EM与 EN 的比值是多少？ 经过思考， 小明展示了一种正确的解题思路：过 E作直线平行于BC交 DC ，AB分别于 F，G， 如图2， 则可得： DFDE FCEP ，因为DEEP，所以 DFFC . 可求出EF和 EG 的值，进而可求得EM与 EN的 比值 . (1) 请按照小明的思路写出求解过程. (2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DPMN 的结论 . 你认为小东的这个结论正确吗？如 果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由. 第 6 页 共 6 页 【答案】 （1）解：过 E作直线平行于

12、BC 交 DC ，AB分别于点 F， G ， 则 DFDE FCEP ， EMEF ENEG ，12GFBC. DE EP， DF FC . 11 63 22 EFCP， 12315EGGFEF. 31 155 EMEF ENEG . （2）证明：作MH BC 交AB于点H， 则 MHCB CD ， 90MHN. 1809090DCP， DCPMHN . 90MNHCMNDMECDP ，90DPCCDP ， DPCMNH . DPCMNH . DPMN . 类型四、动态探究型 4 （2016?平南县二模）已知：在AOB与 COD 中， OA=OB ，OC=OD ， AOB= COD=90 第

13、7 页 共 7 页 （1）如图 1，点 C、 D分别在边OA 、OB上，连结AD 、BC，点 M为线段 BC的中点，连结OM ，则线段AD 与 OM 之间的数量关系是，位置关系是； （2）如图 2，将图 1 中的 COD 绕点 O逆时针旋转，旋转角为（0 90）连结 AD 、BC ，点 M 为线段 BC的中点，连结OM 请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立， 请说明理由； （3）如图 3，将图 1 中的 COD 绕点 O逆时针旋转到使COD 的一边 OD恰好与 AOB的边 OA在同一条 直线上时，点C落在 OB上，点 M为线段 BC的中点请你判断（1）中线段AD与 O

14、M 之间的数量关系是 否发生变化，写出你的猜想，并加以证明 【思路点拨】 （1）AD与 OM 之间的数量关系为AD=2OM，位置关系是ADOM ； （2） （1）中的两个结论仍然成立，利用中位线定理得到FC=2OM ，利用 SAS得到三角形AOD 与三角形FOC 全等，利用全等三角形的对应边相等得到FC=AD ，等量代换得到AD=2OM ；由 OM为三角形BCF的中位线， 利用中位线定理得到OM与 CF 平行，利用两直线平行同位角相等得到BOM= F，由全等三角形的对应 角相等得到F=OAD ，等量代换得到BOM= OAD ，根据 BOM 与 AOM 互余，得到 OAD与 AOM 互余， 即可

15、确定出OM 与 AD垂直，得证； （3） （1）中线段AD与 OM 之间的数量关系没有发生变化，理由为：如图3 所示，延长DC交 AB于 E，连 结 ME ，过点 E作 EN AD于 N，由三角形COD 与三角形 AOB都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形 的性质得到四个角为45 度，进而得到三角形MCE 与三角形AED为等腰直角三角形，根据EN为直角三角 形 ADE斜边上的中线得到AD=2EN ，再利用三个角为直角的四边形为矩形得到四边形OMEN 为矩形，可得 出 EN=OM，等量代换得到AD=2OM 【答案与解析】 第 8 页 共 8 页 解： （1）线段 AD与 OM之间的数量关系是A

16、D=2OM ，位置关系是AD OM ； （2） （1）的两个结论仍然成立，理由为： 证明：如图2，延长 BO到 F，使 FO=BO ，连结 CF ， M为 BC中点， O为 BF中点， MO为 BCF的中位线， FC=2OM ， AOB= AOF= COD=90 ， AOB+ BOD= AOF+ AOC ，即 AOD= FOC ， 在 AOD和 FOC中， ， AOD FOC （ SAS ） ， FC=AD ， AD=2OM ， MO为 BCF的中位线， MO CF， MOB= F， 又 AOD FOC ， DAO= F， MOB+ AOM=90 ， DAO+ AOM=90 ，即AD OM ；

17、 （3） （1）中线段AD与 OM 之间的数量关系没有发生变化，理由为： 证明：如图3，延长 DC交 AB于 E，连结 ME ，过点 E作 EN AD于 N， OA=OB ，OC=OD ， AOB= COD=9 0， A=D= B= BCE= DCO=45 ， AE=DE ，BE=CE ，AED=90 ， DN=AN ， AD=2NE ， M为 BC的中点， EM BC ， 第 9 页 共 9 页 四边形ONEM 是矩形 NE=OM ， AD=2OM 故答案为： AD=2OM ；AD OM 【总结升华】此题考查了几何变换综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形 的判定与性质

18、，三角形的中位线定理，是一道多知识点探究性试题 类型五、创新型 5认真观察图3 的 4 个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题： （ 1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征 特征 1：_ ； 特征 2：_ （ 2）请在图4 中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征 【思路点拨】 本题主要考查轴对称图形，中心对称图形的知识点，以及学生的观察能力及空间想象能力 【答案与解析】 （ 1）特征 1：都是轴对称图形； 特征 2：都是中心对称图形； 特征 3：这些图形的面积都等于4 个单位面积等 （ 2）满足条件的图形有很多，只要画正确一个，就可以得满分 图 5 【总结升华】 本题为开放

19、型试题，答案并不唯一，只要考生能够写出一种符合要求的情景即可，该题为考生提供 了一个广阔的发挥空间，但是学生必须通过前四个图形发现其中蕴涵的规律，依照此规律来画出自己想 象中的美妙图形 图 4 图 3 第 10 页 共 10 页 【巩固练习】 一、选择题 1若自然数n 使得三个数的加法运算“n+(n+1)+(n+2)”产生进位现象，则称n 为“连加进位数” 例 如： 2 不是“连加进位数” ，因为 2+3+49 不产生进位现象；4 是“连加进位数” ，因为 4+5+615 产生 进位现象； 51 是“连加进位数” ，因为 51+52+63 156 产生进位现象如果从0，1，2，, ， 99 这

20、 100 个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是( ) A0.88 B0.89 C0.90 D0.91 2如图，点A ，B，P在 O上，且 APB 50，若点 M是 O上的动点，要使ABM 为等腰三角形，则 所有符合条件的点M有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3 （ 2016 秋?永定区期中）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第个图形有1 颗 棋子，第个图形一共有6 颗棋子，第个图形一共有16 颗棋子， , ，则第个图形中棋子的颗数为 （） A 226 B181 C141 D106 二、填空题 4 （2015 秋?淮安校级期中）电子跳蚤游戏盘为AB

21、C ，AB=8 ，AC=9 ，BC=10 ，如果电子跳蚤开始时在BC 边上的 P0点，BP0=4第一步跳蚤跳到AC边上 P1点，且 CP1=CP0；第二步跳蚤从P1跳到 AB边上 P2点，且 AP2=AP1；第三步跳蚤从P2跳回到 BC边上 P3点，且 BP3=BP2；, 跳蚤按上述规则跳下去，第2015 次落点 为 P2016，则 P3与 P2016之间的距离为 5下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D，请你按图中箭头所指方向( 如 ABCD CBA BC, 的方式) 从 A 开始数连续的正整数1，2，3，4，, ，当数到12 时，对应的字母是 _；当字母C 第 201 次出现

22、时，恰好数到的数是_；当字母C第 2n+1 次出现时 (n 为正整 第 11 页 共 11 页 数) ，恰好数到的数是_( 用含 n 的代数式表示 ) 6. (1)如图 (a) ， ABC DCB ，请补充一个条件：_，使 ABC DCB (2) 如图 (b) ， 1 2，请补充一个条件：_，使 ABC ADE 三、解答题 7如图所示，已知在梯形ABCD 中， AD BC ，AB DC ，对角线 AC和 BD相交于点O ，E是 BC边上一个动 点( 点 E不与 B ，C两点重合 ) ，EFBD交 AC于点 F，EG AC交 BD于点 G (1) 求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ； (2

23、) 请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中， AD BC ，AB DC ”改为另一种四边形，其他条件不变， 使得结论“四边形EFOG 的周长等于2OB ”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必 证明 8如图所示，平面直角坐标系内有两条直线 1 l， 2 l，直线 1 l的解析式为 2 1 3 yx如果将坐标纸折 叠，使直线 1 l与 2 l重合，此时点(-2 ，0) 与点 (0 ， 2)也重合 第 12 页 共 12 页 (1) 求直线 2 l的解析式； (2) 设直线 1 l与 2 l相交于点M 问：是否存在这样的直线:lyxt，使得如果将坐标纸沿直线l折 叠，点 M恰好落在

24、x 轴上？若存在，求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由 9 （2015?黄陂区校级模拟）正方形ABCD 中，将一个直角三角板的直角顶点与点A 重合，一条直角边 与边 BC 交于点 E（点 E 不与点 B 和点 C 重合） ，另一条直角边与边CD 的延长线交于点F （1）如图 ，求证： AE=AF ； （2）如图 ，此直角三角板有一个角是45 ，它的斜边MN 与边 CD 交于 G，且点 G 是斜边 MN 的中 点，连接EG，求证： EG=BE+DG ； （3）在（ 2）的条件下，如果=，那么点G 是否一定是边CD 的中点？请说明你的理由 10. （2016?天门）如图，半圆O的直径 AB=6

25、 ，AM和 BN是它的两条切线，CP与半圆 O相切于点P， 并于 AM ，BN分别相交于C，D两点 （1）请直接写出COD 的度数； （2）求 AC?BD 的值； （3）如图，连接OP并延长交AM于点 Q ，连接 DQ ，试判断 PQD能否与 ACO 相似？若能相似，请求 AC ： BD的值；若不能相似，请说明理由 第 13 页 共 13 页 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】 A； 【解析】不是“连加进位数”的有“0，1，2，10，11，12，20，21，22， 30，31，32”共有 12 个 P(取到“连加进位数”) 10012 0.88 100 2. 【答案】 D； 【解析】如

26、图，过圆点O作 AB的垂线交AB和APB于 M1，M2 以 B为圆心 AB为半径作弧交圆O于 M3 以 A为圆心， AB为半径弧作弧交圆O于 M4 则 M1，M2，M3，M4都满足要求 3. 【答案】 C； 【解析】设第n 个图形中棋子的颗数为an（n 为正整数）， 观察，发现规律：a1=1，a2=1+3+2=6， a3=1+3+5+4+3=16，, ， an=1+3+5+,+（ 2n1） +（2n 2）+,+n=n 2+ =n 2 n+1， 当 n=8 时， a8=8 2 8+1=141 二、填空题 4. 【答案】 1 【解析】 BC=10， BP0=4，知 CP0=6， CP1=6 AC=

27、9， AP2=AP1=3 AB=8， BP3=BP2=5 CP4=CP3=5， AP4=4 AP5=AP4=4， BP5=4 BP6=BP5=4 此时 P6与 P0重合，即经过6 次跳，电子跳蚤回到起跳点 2016 6=336，即 P2016与 P0重合， P3与 P2016之间的距离为P3P0=1故答案为： 1 5. 【答案】 B； 603 ； 6n+3 第 14 页 共 14 页 【解析】由题意知A B CDCBAB CDCB A B, ，每隔6 个数重复一次“A BC DC B” ，所以，当数到12 时对应的字母是B；当字母 C第 201 次出现时，恰好数到的 数是 2013603；当字

28、母C 第 2n+1 次出现时 (n 为正整数 ) ，恰好数到的数是(2n+1) 3 6n+3 6. 【答案】答案不唯一(1) 如图 (a) 中 A D，或 AB DC ；(2) 图(b) 中 D B，或 ABAC ADAE 等 三、解答题 7. 【答案与解析】 (1)证明：四边形ABCD 是梯形， AD BC，AB CD ， ABC DCB 又 BCCB ，AB DC ， ABC DCB 1 2 又 GEAC ， 2 3 1 3 EG BG EG OC ，EFOB ， 四边形EGOF 是平行四边形 EG OF ，EFOG 四边形EGOF 的周长 2(OG+GE) 2(OG+GB) 2OB (2

29、) 方法 1：如图乙，已知矩形ABCD 中，对角线AC ，BD相交于点O，E为 BC上一个动点 ( 点 E不与 B，C两点重合 ) ，EFBD ，交 AC于点 F，EG AC交 BD于点 G 求证：四边形EFOG 的周长等于2OB 图略 方法 2：如图丙，已知正方形ABCD 中，, 其余略 8. 【答案与解析】 解： (1) 直线 1 l与 y 轴交点的坐标为(0 ，1) 由题意，直线 1 l与 2 l关于直线yx对称，直线 2 l与 x 轴交点的坐标为(-1 ，0) 第 15 页 共 15 页 又直线 1 l与直线yx的交点为 (-3 ，3)， 直线 2 l过点 (-1 ， 0)和(3 ，3

30、) 设直线 2 l的解析式为ykx+b则有 0, 33. kb kb 解得 3 , 2 3 . 2 k b 所求直线 2 l的解析式为 33 22 yx (2) 直线l与直线yx互相垂直，且点M(-3 ，3)在直线yx上， 如果将坐标纸沿直线l折叠，要使点M落在 x 轴上，那么点M必须与坐标原点O重合，此时直 线l过线段 OM 的中点 33 , 22 将 3 2 x， 3 2 y代入 yx+t ，解得 t 3 直线l的解析式为yx+3 9 【答案与解析】 解： （1）如图 ，四边形ABCD 是正方形， B= BAD= ADC= C=90 ，AB=AD EAF=90 ， EAF= BAD ， E

31、AF EAD= BAD EAD ， BAE= DAF 在ABE 和ADF 中 ， ABE ADF （ASA ） AE=AF ； （2）如图 ，连接 AG， MAN=90 ， M=45 ， N=M=45 ， AM=AN 点 G 是斜边 MN 的中点， EAG= NAG=45 EAB+ DAG=45 ABE ADF ， 第 16 页 共 16 页 BAE= DAF ，AE=AF ， DAF+ DAG=45 ， 即 GAF=45 ， EAG= FAG 在 AGE 和 AGF 中， ， AGEAGF（ SAS） ， EG=GF GF=GD+DF ， GF=GD+BE ， EG=BE+DG ； （3）G

32、 不一定是边CD 的中点 理由：设AB=6k ，GF=5k，BE=x ， CE=6k x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x ， CG=CFGF=k+x ， 在 RtECG 中，由勾股定理，得 （6kx）2+（k+x ）2=（5k） 2， 解得： x1=2k，x2=3k， CG=4k 或 3k 点 G 不一定是边CD 的中点 10 【答案与解析】 解： （1）COD=90 理由：如图中，AB是直径， AM 、BN是切线， AM AB ，BN AB ， AM BN ， CA 、CP是切线， ACO= OCP ，同理 ODP= ODB ， ACD+ BDC=180 ， 2OCD+2 ODC=1

33、80 ， OCD+ ODC=90 ， COD=90 （2）如图中，AB是直径， AM 、BN是切线， A=B=90 ， ACO+ AOC=90 ， COD=90 ， 第 17 页 共 17 页 BOD+ AOC=90 ， ACO= BOD ， RTAOC RTBDO ， =， 即 AC?BD=AO?BO， AB=6， AO=BO=3 ， AC?BD=9 （3） PQD能与 ACQ相似 CA、CP是 O切线， AC=CP ， 1=2， DB、DP是 O切线， DB=DP ， B=OPD=90 ， OD=OD ， RTODB RTODP ， 3=4， 如图中，当PQD ACO时， 5=1， ACO= BOD ，即 1=3， 5=4， DQ=DO ， PDO= PDQ ， DCQ DCO ， DCQ= 2， 1+2+DCQ=180 ， 1=60= 3， 在 RTACO ，RTBDO 中，分别求得AC=，BD=3， AC：BD=1 ：3 如图中，当PQD AOC时， 6=1， 2=1， 6=2， 第 18 页 共 18 页 CO QD ， 1=CQD ， 6=CQD ， CQ=CD ， SCDQ=?CD?PQ= ?CQ?AB ， PQ=AB=6 ， CO QD ， =，即=， AC：BD=1 ：2