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1、2018 年高考数学分类汇编 第十三篇：极坐标与参数方程 一、填空题 1.【2018 北京卷10】在极坐标系中，直线 cossin(0)a a与圆=2cos相切， 则 a=_ 2.【2018 天津卷12】)已知圆 22 20xyx的圆心为C，直线 2 1, 2 2 3 2 xt yt (t为参数 ) 与该圆相交于A， B两点，则ABC的面积为 . 二、解答题 1.【2018 全国一卷22】在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的方程为| |2yk x.以坐标原点为 极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 2cos30. （1）求 2 C的直角坐标方程； （2）若 1 C
2、与 2 C有且仅有三个公共点，求 1 C的方程 . 2. 【2018 全国二卷 22】 在直角坐标系中， 曲线的参数方程为（为参数）， 直线的参数方程为 （为参数） （1）求和的直角坐标方程； （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率 xOyC 2cos 4sin x y ， l 1cos 2sin xt yt ， t Cl Cl(1,2)l 3. 【2018 全国三卷22】 在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数）， 过点且倾斜角为的直线与交于两点 （1）求的取值范围； （2）求中点的轨迹的参数方程 4.【2018 江苏卷21C】在极坐标系中，直线l 的方程为 sin()2 6 ，
3、曲线C 的方程为 4cos，求直线l 被曲线 C截得的弦长 参考答案 一、填空题 1.212. 2 1 二、解答题 1.解： （1）由cosx ，siny得 2 C 的直角坐标方程为 22 (1)4xy （2）由（ 1）知 2 C是圆心为( 1,0)A，半径为2的圆 由题设知， 1 C是过点(0, 2)B且关于 y 轴对称的两条射线记 y轴右边的射线为 1 l， y xOyO cos sin x y ， 02，lOAB， ABP 轴左边的射线为 2 l 由于B在圆 2 C的外面，故 1 C与 2 C有且仅有三个公共点等价于 1 l与 2 C只有一个公共点且 2 l与 2 C有两个公共点，或 2
4、 l与 2 C只有一个公共点且 1 l与 2 C有两 个公共点 当 1 l与 2 C只有一个公共点时， A到1 l所在直线的距离为 2，所以 2 |2 | 2 1 k k ，故 4 3 k或0k 经检验，当0k时， 1 l 与2 C 没有公共点；当 4 3 k 时，1 l 与2 C 只有一个公共点，2 l 与 2 C有两个公共点 当 2 l与 2 C只有一个公共点时，A到 2 l所在直线的距离为2， 所以 2 |2 | 2 1 k k ， 故0k 或 4 3 k 经检验，当0k时， 1 l与 2 C 没有公共点；当 4 3 k 时， 2 l与 2 C 没有公共点 综上，所求 1 C 的方程为
5、4 | 2 3 yx 2.解： （ 1）曲线C的直角坐标方程为1 164 22 yx 当时，的直角坐标方程为， 当时，的直角坐标方程为 （2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程 因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以有两个解，设为，则 cos0l tan2tanyx cos0l1x lCt 22 (1 3cos)4(2cossin)80tt Cl (1,2) C 1 t 2 t 12 0tt 又由得 2 21 cos31 )sincos2(4 tt，故， 于是直线的斜率 3.解： （ 1）的直角坐标方程为 当时，与交于两点 当时，记，则的方程为与交于两点当且仅当 ，解得或，即或
6、综上，的取值范围是 （2）的参数方程为为参数， 设，对应的参数分别为，则，且，满足 于 是，又 点的 坐 标满足 所以点的轨迹的参数方程是为参数， 4.解： 因为曲线C的极坐标方程为=4cos， 2cossin0 ltan2k O 22 1xy 2 lO 2 tankl2ykxlO 2 2 | 1 1k 1k1k(,) 4 2 (,) 24 (,) 44 l cos , ( 2sin xt t yt 44 ) ABPA t B t P t 2 AB P tt t A t B t 2 2 2 sin10tt 2 2sin AB tt2sin P tP ( ,)x y cos , 2sin. P P xt yt P 2 sin2 , 2 22 cos2 22 x y ( 44 ) 所以曲线 C的圆心为（ 2，0），直径为 4 的圆 因为直线 l 的极坐标方程为 sin()2 6 ， 则直线 l 过 A（4，0），倾斜角为 6 ， 所以 A 为直线 l 与圆 C的一个交点 设另一个交点为B，则 OAB= 6 连结 OB，因为 OA 为直径，从而OBA= 2 ， 所以 4cos2 3 6 AB 因此，直线l 被曲线 C截得的弦长为2 3