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1、数 学 实 验,用计算机做数学,科学实验 根据一定目的,运用仪器、设备等物质手段，在人为控制的条件下模拟自然现象，以认识自然界事物的本质和规律为目的和任务。,数学实验 以数据、图形等为“思想材料”，以计算机为手段，以数学软件为实验平台，通过对数学问题和实际问题的探索，得到相应问题的解，并进行计算机模拟。,【主要内容】首先介绍如何利用MATHEMATICA求解微分方程，然后讨论与微分方程相关的几个问题：微分方程的线素场、欧拉方法、最陡下降法、微分方程的稳定性。 【主要目的】本实验将借助MATHEMATICA研究与一阶常微分方程相关的几个问题，让我们了解几类微分方程模型、利用MATHEMATICA
2、求解微分方程的方法以及通过几何直观和数值计算的方法了解微分方程解的性态。,第二讲 微分方程实验,牛顿最早研究天体的运动规律时，假定行星是各自独立的对象，只受到太阳引力的作用，因此牛顿的分析只涉及两个对象，这类问题统称为“二体问题”.牛顿采用数学方法研究二体问题时，需要求解的运动方程就是微分方程. 1864年英国数学家勒维耶由引力定律建立了一个微分方程模型，经严密分析后断定了海王星的存在性，并确定了海王星在天空中的位置.,利用MATHEMATICA解微分方程,DSolveyx=fx,yx,yx,x,求一阶微分方程 的特解,DSolveyx =fx,yx,yx0=y0,yx,x,求一阶微分方程 的
3、通解,例1 利用MATHEMATICA求微分方程 的通解及在初始条件 下的特解.,DSolveyx=(1+x2) yx,yx,x DSolveyx=(1+x2) yx,y0=1,yx,x,s=DSolveyx=(1+x2) yx,y0=1,yx,x; yx_=yx/.s1,1,Plotyx,x,-1,2,微分方程的积分曲线,求一阶微分方程组 的通解,DSolvext=ft,xt,yt,yt=gt,xt,yt, xt,yt,t,求一阶微分方程组 的特解,DSolvext=ft,xt,yt,yt=gt,xt,yt, xt0=x0,yt0=y0,xt,yt,t,例2 利用Mathematica求微分
4、方程组 的通解和在初始条件 下的特解.,DSolvext=3xt-2yt,yt=2xt-yt, xt,yt,t DSolvext=3xt-2yt,yt=2xt-yt, x0=1,y0=0,xt,yt,t,轨线,解曲线,s=DSolvext=3xt-2yt,yt=2xt-yt, x0=1,y0=0, xt,yt,t ; xt_=xt/.s1,1; yt_=yt/.s1,2; f1=ParametricPlot3D 0,xt,yt,t,0,1 f2=ParametricPlot3D t,xt,yt,t,0,1 Showf1,f2,NDSolveyx=fx,yx,yx0=y0,yx,x,x0,x1,
5、求一阶微分方程 的数值解,例3 求黎卡提(Riccati)方程 在初始条件 下的数值解.,NDSolveyx=x2+yx2,y0=0.5,yx,x,0,1,实验一：磁场的分布微分方程的线素场,磁力线演示,磁力线是用来形象地描述磁场状态的一种工具，以力线上某一点的切线方向表示该点的磁场强度的方向，以力线的疏密程度表示磁场的强度。,斜率,方程 的积分曲线与线素,积分曲线,由MATHEMATICA描绘方程的线素场（方向场）,ClearAllf,h directionalFieldf_,x_,xmin_,xmax_,y_,ymin_,ymax_,m_,n_,h_,opts_:= Modules,s1,
6、x,y,a,b,k,i,j,lines, s=Solvey-b=k (x-a),(x-a)2+(y-b)2=h2,x,y/Simplify; s1=Flattens; xa_,b_,k_=x/.s14; ya_,b_,k_=y/.s13; h1=(xmax-xmin)/m; h2=(ymax-ymin)/n; a=xmin+i h1;b=ymin+j h2; k=f/.xa,yb; lines=TableLinea,b,xa,b,k,ya,b,k,i,0,m,j,0,n; ShowGraphicslines,opts,Axes-Automatic,AspectRatio-Automatic,这
7、是一个通用程序，只要给定右端函数，线素场的区域和选取点的个数，就可自动生成该方程对应的线素场.,fx_,y_:=x2+y2-1 directionalFieldfx,y,x,-2,2,y,-2,2,20,20,0.1,在平面 和 处分别放置两个正、负单位电荷，则它们在平面上产生一磁场.,磁场的分布图,实验二：炮弹飞行的轨迹欧拉方法,考虑初值问题,取一列点 ，记 则有,欧拉（Euler）方法,用欧拉方法和MATHEMATICA求微分方程近似解,ClearAllf eulerf_,x_,x0_,x1_,h_,y_,y0_, opt_:= Modulepoints,y0=y0;xn_:= x0+n
8、h; yn_:= yn-1+ h f/.x-xn-1,y-yn-1/N; m=Floor(x1-x0)/h; points=Tablexn,yn,n,0,m; ListPlotpoints,opt,线素场和欧拉方法近似解的比较,比较方程 的解析解与近似解,欧拉方法的改进,实验三：黄土高原上的沟壑最陡下降法,也许你去过西北的黄土高原，也许从各种媒体上了解那里的景象，到处是沟壑交错，这主要是由于长年雨水的冲刷而形成的. 你也许会想到，这些沟壑的分布走向与地形有关，如果你手中有一张当地的地形图，你会发现这些沟壑往往是垂直穿过所倚山峦的等值线 .,西点军校附近地区地形等高线图,例 设有一表面光滑的橄榄
9、球，它的表面形状为由长半轴为6，短半轴为3的椭圆绕其长轴旋转一周所得的旋转椭球面。在无风的细雨天，将球放在室外草坪上，使长轴水平放置，求雨水从椭球面流下的路线方程。,建立方程,解方程 ，其中,quickestdescenta_, b_, c_, x0_, y0_, h1_, h2_, opt_:= Modulef, fx, fy, g, ellipsoid, s, t, r, l, p, d, descentroad, projection, generator, y, fx_, y_:=c Sqrt1-x2/a2-y2/b2; fxx_, y_:=Dfx, y, x; fyx_, y_:=D
10、fx, y, y; gx_, y_=fyx, y/fxx, y; ellipsoid=ParametricPlot3Da Sinu Cosv, b Sinu Sinv, c Cosu, u, 0, Pi/2, v, 0, 2Pi, DisplayFunction-Identity; s=DSolveyx=gx,yx, yx0=y0, yx, x; yx=yx/. s1,1; Print“y(x)= “, yx; t=Solvefx,y=0, y=yx/. s1,1, x, y; Fori=1, i0, l=r; p=Tablex, yx/. s1,1, 0, x, x0, l, h1; pro
11、jection=Graphics3DRGBColor1,0,0, Thickness0.015, Linep; d=Tablex, yx/. s1,1, fx, yx/. s1,1, x, x0, l, h1; descentroad=Graphics3DRGBColor1,0,0,Thickness0.015, Lined; generator=TableGraphics3DRGBColor0, 1, 0, Linex, yx/. s1,1, 0, x, yx/.s1,1, fx, yx/.s1,1, x, x0, l, h2; startpoint=Graphics3DPointSize0
12、.03, RGBColor1,0,0,Pointx0, y0, fx0, y0; Showprojection, ellipsoid, startpoint, descentroad, generator, PlotRange-a,a,0,b,0,c,opt,x0=0.1;y0=1.5; a=3;b=6;c=3; f1=quickestdescenta,b,c,x0,y0,0.001,0.2,ViewPoint-1,-2,1, DisplayFunction-Identity,Boxed-False f2=quickestdescenta,b,c,x0,y0,0.001,0.2,ViewPoi
13、nt-1,2,1, DisplayFunction-Identity,Boxed-False f3=quickestdescenta,b,c,x0,y0,0.001,0.2,ViewPoint-1,-2,0.7, DisplayFunction-Identity,Boxed-False ShowGraphicsArrayf1,f2,f3,实验四：战争能爆发吗？微分方程稳定性,两国势均力敌的军事力量互相制约，能保证相互之间的和平共处，一旦某一国的军事力量无限扩张，便会对另一国构成威胁，爆发战争的机会大大增加.,影响军事力量增加的速度有三个方面： （1）对方国家的军事力量可以刺激本国军事力量的发展
14、； （2）本国已有的军事力量会对本国继续扩军产生抑制作用； （3）本国人民、军队对对方国人民、军队产生仇视的程度会增加本国扩军.,将甲乙两国的军事力量量化为 和,解方程 得平衡点,（1）当 时 ，平衡点是稳定的，此时由于甲、乙两国的军事力量趋于 和 ,所以在这一时期内两国会和平相处；,（2）当 时 ，平衡点是不稳定的，此时由于一方的军事扩张，可能形成战争的威胁.,例如，1909年到1914年，德奥匈联盟与法俄联盟的军备竞争，双方扩军与抑制的情形是,k=l=0.9, =0.2, k l=0.04-0.810,平衡点(0,0)是不稳定的，双方不能和平相处，两个军事集团最终爆发了第一次世界大战!,甲乙双方军事力量的变化,The End !,Thanks !,