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1、登陆21世纪教育助您教考全无忧 21 世纪教育网精品资料第 1 页 （共 8 页） 版权所有 21世纪教育网 课题： 2.1.2 指数函数及其性质（2） 精讲部分 学习目标展示 （1）掌握指数函数的图象及性质（2）掌握指数函数的性质比较大小（3）掌握指数形式的 函数定义域、值域的求法 衔接性知识 1.请画出指数函数( )(0 x f xaa且1)a的图象并，说明这些图象过哪个定点。 2.当0x时，21 x ；当0x时，21 x ； 当0x时， 1 ()1 2 x ；当0x时， 1 ()1 2 x . 基础知识工具箱 指数函数的图象和性质 函数名称指数函数 解析式 ( )(0 x f xaa且
2、1)a 定义域R 值域(0 ,)，即0 x a 图象 1a01a 性质 奇偶性指数函数是非奇非偶函数 单调性在R上是增函数在R上是减函数 登陆21世纪教育助您教考全无忧 21 世纪教育网精品资料第 2 页 （共 8 页） 版权所有 21世纪教育网 函数值分 布 1(0) 01(0) 1(0) x x ax x 1 (0) 01(0) 1(0) x x ax x 典例精讲剖析 例 1. 比较大小：（1） 2.5 1.7与 3.6 1.7（2） 0.12 0.8与 0.26 0.8（3） 0.3 1.7与 3.1 0.9 （4） 2.1 0.16、 2.3 1.6与 0.2 0.4（5） 2.4
3、3.7、 2.4 3.6与 2.1 3.6 解： （1）1.71，1.7x y在(,)是增函数，2.53.6， 2.53.6 1.71.7 （2）00.81，0.8x y在(,)是减函数 0.122.6， 0.122.6 0.80.8 （ 3） 0.30 1.71.71， 3.10 00.90.91， 0.33.1 1.70.9 （4） 2.10 0.160.161， 0.20 0.40.41， 2.30 01.61.61， 2.3 1.6最小 2.122.14.21.2 0.16(0.4 )0.40.4， 2.11.22.3 0.160.41.6 （5） 2.4 2.42.40 2.4 3.
4、73.73737 ()()()1 3.63.63636 ，而 2.4 3.70、 2.4 3.60， 2.42.4 3.73.6 又 2.42.1 3.63.6，所以 2.42.42.1 3.73.63.6 例 2求下列式中的实数 x的值： （1） 1 24 xx （2） 3124 (0,1) xx aaaa 解： （2）不等式可化为： 22 22 xx ， 21，22xx，即2x，故实数x的范围为(,2) （2）当1a时，3124xx，3x，故实数x的范围为 3 ,) 当01a时，3124xx，3x，故实数x的范围为(,3 例 3求下列函数的定义域和值域： （1） 1 4 2 x y（2）
5、| |2 ( ) 3 x y（ 3） 1 422 xx y 解： （1）使解析式有意义，得40x，4x定义域为(, 4)(4 ,) 登陆21世纪教育助您教考全无忧 21 世纪教育网精品资料第 3 页 （共 8 页） 版权所有 21世纪教育网 设 1 4 t x ，则 2 t y， 又 1 4 t x ，0t 2 t y是t的增函数21 t 且20 t ，即0y且1y 所以函数 1 4 2xy的值域为(0 ,1)(1,) （2）定义域为为R 设|tx，则 2 () 3 t y，|tx，0t， 2 () 3 t y是t的减函数， 2 ()1 3 t 所以函数 | |2 ( ) 3 x y的值域为1
6、,) (3) 定义域为为R 12 422(2 )2 22 xxxx y，设2 x t，则 22 22(1)1yttt 2 x t，0t，所以1t时， min 1y 故 1 422 xx y的值域为1 ,) 例 4. 已知 f(x) 1 2 x1a 是奇函数，求a 的值及函数值域 分析 本题是函数奇偶性与指数函数的结合，利用f(x) f(x)恒成立，可求得a 值其 值域可借助基本函数值域求得 www.21-cn- 解析 f(x)是奇函数， f(x) f(x)对定义域内的每一个x 都成立 即 1 2 x1a 1 2 x1a， 2a 1 2 x1 1 2 x11， a 1 2. 2x 10x0定义域
7、为 (， 0)(0， ) u2x11 且 u 0， 1 u0， 1 2 x1 1 2 1 2 f(x)的值域为 (， 1 2)( 1 2， ) （选讲）例5已知方程92 3310 xx k有两个实数解，试求实数k的取值范围 错解 令3 x t，则原方程可化为 2 2310ttk， 要使原方程有两个实数解，则 2 ( 2)4(31)0k，解得 2 3 k 所以实数k的取值范围为 2 (, 3 . 登陆21世纪教育助您教考全无忧 21 世纪教育网精品资料第 4 页 （共 8 页） 版权所有 21世纪教育网 辨析 换元后30 x t，原方程有两个实数解，则关于“新元” t的方程应有两 个正数解， 而
8、0， 只能保证方程有两个实数解，不能保证原方程有两个实数解事 实上，当方程有两个负根时，原方程无解 2 1 c n j y 正解 法 1 令3 x t，则0t.原方程有两个实数解，即方程 2 2310ttk有两 个正实数解，则 2 12 12 ( 2)4(31)0 20 310 k xx xxk ，解得 12 33 x 所以实数k的取值范围为 12 (, 33 法 2由已知，得 2121 (3 )3 333 xx k，令3 x t，则 22 12112 (1) 33333 kttt，3 x t，0t， 212 ( )(1) 33 k tt在(0 ,1上递增，在1 ,)上递减 , max 2 (
9、1) 3 kk 由方程92 3310 xx k有两个实数解，可知 yk与 2 12 (1) 33 yt在0t时有两个交点或者相切（如图） 而 1 (0) 3 k，所以 12 33 k，即所以实数k的取值范围为 2 (, 3 精练部分 A 类试题（普通班用） 1. 已知 a0.8 0.7，b0.80.9，c1.20.8，则 a，b，c 的大小关系是 () AabcBbacC cbaDc ab 答案 D 解析 考察函数y0.8 x， 0.80.90.80.71.又 1.20.81， cab. 2下列函数中，值域是(0， )的函数是 () 登陆21世纪教育助您教考全无忧 21 世纪教育网精品资料第
10、5 页 （共 8 页） 版权所有 21世纪教育网 A 1 2xyBy2 x1 Cy2x1 D 21 () 2 x y 答案 D 解析 在 A 中， 1 x 0， 1 21 x ，所以函数 1 2 x y的值域是 y|y0，且 y1 在 B 中， 2 x1 0， 2 x10，所以函数 y2 x1的值域是 0， ) 在 C 中， 2x11，2x11，所以函数y2x1的值域是 (1， ) 在 D 中，由于函数 2 1 ( ) 2 x y的定义域是R，也就是自变量x 可以取一切实数，所以2x 也就可以取一切实数，所以 21 ( ) 2 x 取一切正实数，即函数 21 () 2 x y 的值域为 (0，
11、 )， 故选 D.21 教育网 3已知( ) x f xa(0a且1)a，且( 2)( 3)ff，则实数a的取值范围是_ 4函数 f(x)a x(a0 且 a 1)，在 x1,2 时的最大值比最小值大a 2，求实数 a 的值 解析 注意进行分类讨论 (1)当 a1 时， f(x)a x 为增函数，此时f(x)maxf(2)a 2，f(x) minf(1)a， a2a a 2，解得 a 3 21. (2)当 00，且 y1 在 B 中， 2x1 0，2x10，所以函数y2x1的值域是 0， ) 在 C 中， 2 x11， 2 x11，所以函数 y2 x1的值域是 (1， ) 在 D 中，由于函数
12、 2 1 ( ) 2 x y的定义域是R，也就是自变量x 可以取一切实数，所以2x 也就可以取一切实数，所以 21 ( ) 2 x 取一切正实数，即函数 21 () 2 x y的值域为 (0， )， 故选 D.21 世纪教育网版权所有 3已知实数a，b 满足 (1 2) a(1 3) b， 下列五个关系式： 01 时，可得a0 且 a 1)，在 x1,2 时的最大值比最小值大 a 2，则 a 的值为 _ 答案 3 2或 1 2 解析 注意进行分类讨论 (1)当 a1 时， f(x)a x 为增函数，此时f(x)maxf(2)a2，f(x)minf(1)a， a 2aa 2，解得 a 3 21.
13、 (2)当 0a1 时， f(x)a x 为减函数，此时f(x)max f(1)a，f(x)minf(2)a2 aa2 a 2，解得 a 1 2(0,1) 综上所述： a 3 2或 1 2. 7若函数( )1 x f xa(0a且1)a，的定义域和值域都是0,2，求实数a的值 解析：当1a时，( )f x在0,2上递增， (0)0 (2)2 f f ，即 0 2 10 12 a a ， 3a .又1a， 3a ， 当01a时，( )f x在0,2 上递减， (0)2 (2)0 f f ，即 0 2 12 10 a a ，它无解，从而a3. 8已知函数 2 ( ) x f xa(0)x的图象经过
14、点4， 1 9 ，其中0a且1a. (1)求a的值； (2)求函数( )yf x (0)x的值域 解析： (1) ( )yf x函数图象过点 1 (4 ,) 9 ，所以 21 9 a， 1 3 a， (2) 21 ( )( ) 3 x f x(0)x，由0x，得22x， 22111 0( )() 339 x 函数( )yf x (0)x的值域为(0 , 9 9若函数 y a 2 x1a 2 x1为奇函数 (1)求 a 的值； (2)求函数的定义域 解：函数y a 2 x1a 2 x1 ， ya 1 2 x1. 登陆21世纪教育助您教考全无忧 21 世纪教育网精品资料第 8 页 （共 8 页）
15、版权所有 21世纪教育网 （1）由奇函数的定义，可得()( )0fxf x 即 11 0 2121 xx aa， 12 20 12 x x a ，即 1 2 a （2） 11 221 x y ，210 x ，即0x 函数的定义域为(, 0)(0 ,) 10已知12x，求函数 1 ( )3239 xx f x的值域 解： 12 ( )3239(3 )6 33 xxxx f x.令3 x t， 则 22 63(3)12yttt.12x， 1 9 3 x. 当3t，即1x时，y取得最大值12；当9t，即2x时，y取得最小值24， 即( )f x的最大值为12，最小值为24.函数( )f x的值域为 24,12