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1、3.1三角函数的概念、图象和性质高考命题规律1.高考必考考题.选择题,5分,中低档难度.2.全国高考有5种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷命题角度1三角函数的定义及应用11命题角度2三角恒等变换、化简与求值1411615134,6154711命题角度3根据三角函数图象确定解析式3命题角度4三角函数的图象与性质的应用8381068命题角度5三角函数的图象变换614命题角度1三角函数的定义及应用高考真题体验对方向1.(2014全国2)若tan 0,则() A.sin 0B.cos 0C.sin 20D.cos 20
2、答案C解析由tan 0知角是第一或第三象限角,当是第一象限角时,sin 2=2sin cos 0;当是第三象限角时,sin 0,cos 0,故选C.2.(2011江西14)已知角的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴.若P(4,y)是角终边上一点,且sin =-255,则y=.答案-8解析根据题意sin =-2550及P(4,y)是角终边上一点,可知为第四象限角.再由三角函数的定义得,y42+y2=-255,又y0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件答案A解析的终边在第一、二象限能推出sin 0,当sin 0成立时能推出的终边在第一、第二象限及在y
3、轴的非负半轴上,故“的终边在第一、二象限”是“sin 0”的充分不必要条件,选A.2.若sin cos 0,则角是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案D解析由tansin0,得1cos0,即cos 0.又sin cos 0,所以sin 0,所以为第四象限角,选D.3.在平面直角坐标系中,若角的终边经过点Psin 53,cos 53,则sin(+)=()A.-32B.-12C.12D.32答案B解析由诱导公式可得sin 53=sin2-3=-sin 3=-32,cos 53=cos2-3=cos 3=12,即P-32,12,由三角函数的定义可得sin =12(-32)
4、2+(12)2=12,则sin+=-sin =-12.4.已知角的终边经过点P(-x,-6),且cos =45,则x的值为.答案-8解析因为r=(-x)2+(-6)2,所以-xx2+36=45,解得x=-8.5.已知角的终边经过点P(4a,3a)(a0),则25sin -7tan 2的值为.答案-39解析角的终边经过点P(4a,3a)(a0,sin 0,2sin =cos .又sin2+cos2=1,5sin2=1,即sin2=15.sin 0,sin =55.故选B.3.(2018全国4)若sin =13,则cos 2=()A.89B.79C.-79D.-89答案B解析cos 2=1-2si
5、n2=1-2132=79.4.(2017全国6)函数f(x)=15sinx+3+cosx-6的最大值为()A.65B.1C.35D.15答案A解析因为cosx-6=cos2-x+3=sinx+3,所以f(x)=15sinx+3+sinx+3=65sinx+3,故函数f(x)的最大值为65.故选A.5.(2016全国11)函数f(x)=cos 2x+6cos2-x的最大值为()A.4B.5C.6D.7答案B解析因为f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2sin x-322+112,而sin x-1,1,所以当sin x=1时,f(x)取最大值5,故选B.6.(2019全国15)函数f(x)
6、=sin2x+32-3cos x的最小值为.答案-4解析f(x)=sin2x+32-3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1=-2cosx+342+178.-1cos x1,当cos x=1时,f(x)min=-4.故函数f(x)的最小值是-4.7.(2018全国15)已知tan-54=15,则tan =.答案32解析tan-54=tan-tan541+tantan54=tan-11+tan=15,5tan -5=1+tan .tan =32.8.(2017全国15)已知0,2,tan =2,则cos-4=.答案31010解析由tan =2,得sin =2c
7、os .又sin2+cos2=1,所以cos2=15.因为0,2,所以cos =55,sin =255.因为cos-4=cos cos4+sin sin4,所以cos-4=5522+25522=31010.9.(2017江苏5)若tan-4=16,则tan =.答案75解析(方法1)tan =tan-4+4=tan-4+tan41-tan-4tan4=16+11-161=75.(方法2)因为tan-4=tan-tan41+tantan4=tan-11+tan=16,所以tan =75.10.(2016全国14)已知是第四象限角,且sin+4=35,则tan-4=.答案-43解析sin+4=35
8、,cos-4=cos+4-2=sin+4=35.又是第四象限角,-4是第三或第四象限角.sin-4=-45.tan-4=-43.典题演练提能刷高分1.(2019山东栖霞高三模拟)已知sin4-2x=35,则sin 4x的值为()A.1825B.1825C.725D.725答案C解析由题意得cos2-4x=1-2sin24-2x=1-2925=725,sin 4x=cos2-4x=725.故选C.2.(2019陕西西安高三质检)已知sin-310=35,则cos+5=()A.-45B.45C.-35D.35答案C解析因为sin-310=35,则cos+5=cos2+-310=-sin-310=-
9、35.故选C.3.sin65-sin35cos30cos35=()A.-32B.-12C.12D.32答案C解析由题得sin(35+30)-sin35cos30cos35=cos35sin30cos35=sin 30=12,故选C.4.若sinA+4=7210,A4,则sin A的值为()A.35B.45C.35或45D.34答案B解析因为A4,所以A+42,54,所以cosA+40,且cosA+4=-1-sin2(A+4)=-210,所以sin A=sin A+4-4=sinA+4cos 4-cosA+4sin 4=45,选B.5.(2019辽宁丹东高三质检二)若tan+4=-3,则sin
10、2-cos 2=()A.35B.-25C.-1D.3答案A解析由tan+4=-3,得tan+tan41-tantan4=-3,得tan =2,sin 2-cos 2=sin2-cos 2sin 2+cos 2=2sincos-cos 2sin 2+cos 2=2tan-11+tan 2,把tan =2代入,求得sin 2-cos 2=35,故选A.6.已知tan4-=43,则sin24+=()A.725B.925C.1625D.2425答案B解析由题意得tan4-=1-tan1+tan=43,解得tan =-17.而sin24+=1-cos2(4+)2=1+sin22=12+sincossin
11、2+cos2=12+tan1+tan2=925,选B.7.(2019江西上高二中高三七模)已知tan+4=12,且-20,|0,00,0,|2的部分图象如图所示,其中A(2,3)(点A为图象的一个最高点),B-52,0,则函数f(x)=.答案3sin3x-6解析依题意,M=3,34T=2+52=92,故T=6,故=2T=3,将点A(2,3)代入可得23+=2+2k(kZ),故=-6+2k(kZ),|0)两个相邻的极值点,则=()A.2B.32C.1D.12答案A解析由题意,得f(x)=sin x的周期T=2=234-4=,解得=2,故选A.2.(2018全国8)已知函数f(x)=2cos2x-
12、sin2x+2,则()A.f(x)的最小正周期为,最大值为3B.f(x)的最小正周期为,最大值为4C.f(x)的最小正周期为2,最大值为3D.f(x)的最小正周期为2,最大值为4答案B解析因为f(x)=2cos2x-(1-cos2x)+2=3cos2x+1=31+cos2x2+1=32cos 2x+52,所以函数f(x)的最小正周期为22=,当cos 2x=1时,f(x)max=4.3.(2018全国6)函数f(x)=tanx1+tan2x的最小正周期为()A.4B.2C.D.2答案C解析f(x)=tanx1+tan2x=sinxcosx1+sin2xcos2x=sinxcosxcos2x+s
13、in2x=12sin 2x,f(x)的最小正周期是,故选C.4.(2018全国10)若f(x)=cos x-sin x在0,a是减函数,则a的最大值是()A.4B.2C.34D.答案C解析f(x)=cos x-sin x=222cosx-22sinx=2cosx+4,(方法1)作图如图所示.易知amax=34.(方法2)f(x)在2kx+42k+,kZ上为减函数,2k-4x2k+34,kZ,令k=0可知x-4,34,amax=34.5.(2017天津7)设函数f(x)=2sin(x+),xR,其中0,|2,118-58142,所以231.所以排除C,D.当=23时,f58=2sin5823+=
14、2sin512+=2,所以sin512+=1.所以512+=2+2k,即=12+2k(kZ).因为|0,由函数图象可知,其周期为T=254-14=2,所以2=2,解得=.所以f(x)=cos(x+).由图象可知,当x=1214+54=34时,f(x)取得最小值,即f34=cos34+=-1,解得34+=2k+(kZ),解得=2k+4(kZ).令k=0,得=4,所以f(x)=cosx+4.令2kx+42k+(kZ),解得2k-14x2k+34(kZ).所以函数f(x)=cosx+4的单调递减区间为2k-14,2k+34(kZ).结合选项知选D.典题演练提能刷高分1.已知函数f(x)=sin2x-
15、32(xR),下列说法错误的是()A.函数f(x)的最小正周期是B.函数f(x)是偶函数C.函数f(x)图象关于点4,0对称D.函数f(x)在0,2上是增函数答案D解析函数f(x)=sin2x-32=cos 2x,故函数是偶函数,最小正周期为,当x=4时,f4=0.故函数f(x)图象关于点4,0对称,函数f(x)在0,2上是减函数,因为函数的减区间为k,2+k,kZ,故D不正确.2.若x0,则函数f(x)=cos x-sin x的增区间为()A.0,4B.4,C.0,34D.34,答案D解析由题意得f(x)=-sin x+cos x=-(sin x-cos x)=-2sinx-4,令2k+2x
16、-42k+32,kZ,所以2k+34x2k+74,kZ.令k=0得34x74,因为x0,所以函数f(x)的增区间是34,故选D.3.已知函数f(x)=cos(x+)(0)在x=3时取得最小值,则f(x)在0,上的单调递增区间是()A.3,B.3,23C.0,23D.23,答案A解析函数f(x)=cos(x+)(0)在x=3时取得最小值,cos3+=-1,3+=+2k,kZ.00)的图象的相邻两条对称轴之间的距离是2,则该函数的一个单调增区间为()A.-3,6B.-512,12C.6,23D.-3,23答案A解析由已知得函数f(x)=2sinx+6,则2=22,解得=2,所以f(x)=2sin2
17、x+6,令-2+2k2x+62+2k(kZ),解得-3+kx3+k,当k=0时,有-3,6-3,3.故选A.5.如图所示,函数y=3tan2x+6的部分图象与坐标轴分别交于点D,E,F,则DEF的面积等于()A.4B.2C.D.2答案A解析在y=3tan2x+6中,令x=0,得y=3tan 6=1,故OD=1;又函数y=3tan2x+6的最小正周期为T=2,所以EF=2.SDEF=12EFOD=1221=4.选A.6.(2019安徽蚌埠高三质检三)已知函数f(x)=2sin(x+)0,|0,|0,T=2|=2.又因为函数f(x)的图象向左平移3个单位长度后,得到函数g(x)的图象,所以g(x)
18、=2sin2x+23+,由函数g(x)为偶函数,可得23+=k+2kZ,而|0,0)的图象经过两点A0,22,B4,0,f(x)在0,4内有且只有两个最值点,且最大值点大于最小值点,则f(x)=()A.sin3x+4B.sin5x+34C.sin7x+4D.sin9x+34答案D解析根据题意画出函数f(x)的大致图象如下,因为f(0)=sin =22,由图可知,=34+2k(kZ).又因为0,所以=34.所以f(x)=sinx+34.因为f4=sin4+34=0,由图可知,4+34=+2k,kZ,解得=1+8k,kZ.又因为2=T8.所以当k=1时,=9,所以f(x)=sin9x+34.故选D
19、.8.(2019湖南株洲高三二模)若函数f(x)=cos2x-4-ax0,98恰有三个不同的零点x1,x2,x3,则x1+x2+x3的取值范围是()A.54,118B.94,72C.54,118D.94,72答案A解析由题意得方程cos2x-4=a,x0,98有三个不同的实数根,令y=cos2x-4,x0,98,画出函数y=cos2x-4的大致图象,如图所示.由图象得,当22a1时,方程cos2x-4=a恰好有三个根.令2x-4=k,kZ,得x=8+k2,kZ.当k=0时,x=8;当k=1时,x=58.不妨设x1x2x3,由题意得点(x1,0),(x2,0)关于直线x=8对称,所以x1+x2=
20、4.又结合图象可得x398,所以54x1+x2+x30,0,|)是奇函数,且f(x)的最小正周期为,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g4=2,则f38=()A.-2B.-2C.2D.2答案C解析已知函数为奇函数,且|0)个单位后图象关于点3,0中心对称,则的值可能为()A.6B.34C.712D.23答案B解析由题意可得:f(x)=23sin(-x)sinx+2+2sin2x-1=3sin 2x-cos 2x=2sin2x-6,将函数f(x)图象向左平移个单位后,得到y=2sin2x-6+2,又平移后图象关于点3,0中心对称,
21、所以23-6+2=k,kZ,因此=-4+k2,kZ.又因为0,所以-4+k20,kZ,即k12,kZ.观察4个选项知,当k=2时,=34.故选B.8.设0,函数y=2cosx+5的图象向右平移5个单位长度后与函数y=2sinx+5图象重合,则的最小值是()A.12B.32C.52D.72答案C解析函数y=2cosx+5的图象向右平移5个单位长度后,得到y=2cosx-5+5与函数y=2sinx+5=2sinx-310+2=2cosx-310图象重合,则-5+5=-310+2k,kZ,解得=52-10k,kZ,当k=0时,=52,故选C.9.将函数g(x)=sin 2x的图象向右平移个单位,得到
22、函数f(x)的图象,若函数f(x)在4,2上单调递增,则的值不可能为()A.3B.25C.58D.54答案C解析将函数g(x)=sin 2x的图象向右平移个单位,得到函数f(x)=sin 2(x-)=sin(2x-2)的图象,当x4,2时,2x-22-2,-2,若=3时,2x-23-6,3-2,2,即函数f(x)在4,2上单调递增;若=25时,2x-45-310,5-2,2,即函数f(x)在4,2上单调递增;若=58时,2x-54-34,-4,即函数f(x)在4,2上先减后增.故选C.10.将函数y=2sin x+cos x的图象向右平移个单位长度,得到函数y=2sin x-cos x的图象,则sin 的值为()A.32B.35C.12D.45答案D解析由题意得y=2sin x+cos x=5sin(x+1),cos 1=25,sin 1=15,图象向右平移个单位长度,得f(x)=5sin(x+1-),而y=2sin x-cos x=5sin(x-2),cos 2=25,sin 2=15,所以2=1+2k,kZ,y=2sin x-cos x=5sin(x-1),所以5sin(x+1-)=5sin(x-1),所以=21+2k,kZ,sin =sin 21=2sin 1cos 1=45,选D.