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1、考前强化练8解答题综合练A1.(2019安徽黄山高三质检,文17)已知在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bc=1,a2-bc=(b-c)2.(1)求sin B+sin C的最大值;(2)若cos Bcos C=14,求b+c.2.某校组织的古典诗词大赛中,高一一班、二班各有9名学生参加,得分情况如茎叶图所示:成绩70,7980,8990,100奖次三二一加分123该活动规定:学生成绩、获奖等次与班级量化管理加分情况如上表.(1)在一班获奖的学生中随机抽取2人,求能够为班级量化管理加4分的概率;(2)已知一班和二班学生的平均成绩相同,求x的值,并比较哪个班的成绩更稳定.3.(
2、2019安徽定远中学高三预测卷,文18)如图1,在边长为4的正方形ABCD中,E是AD的中点,F是CD的中点,现将DEF沿EF翻折成如图2所示的五棱锥P-ABCFE.(1)求证:AC平面PEF;(2)求五棱锥P-ABCFE的体积最大时PAC的面积.4.(2019广东东莞高三冲刺模拟,文19)工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测,一共抽取了48件产品,并得到如下统计表.该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关,具体见下表.质量指标Y9.4,9.8)9.8,10.2)10.2,10.6频数82416一年内所需维护次数201(1)以每个区间的中点值作为每组指
3、标的代表,用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值(保留两位小数);(2)用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品,再从6件产品中随机抽取2件产品,求这2件产品的指标Y都在9.8,10.2内的概率;(3)已知该厂产品的维护费用为300元/次,工厂现推出一项服务:若消费者在购买该厂产品时每件多加100元,该产品即可一年内免费维护一次.将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用.假设这48件产品每件都购买该服务,或者每件都不购买该服务,就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用,并以此为决策依据,判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务?5.(2019陕西汉中高三全真模
4、拟,理18)如图,四边形ABCD为矩形,平面ABEF平面ABCD,EFAB,BAF=90,AD=2,AB=AF=1,点P在线段DF上.(1)求证:AF平面ABCD;(2)若二面角D-AP-C的余弦值为63,求PF的长度.6.(2019河北邢台二中高三二模,文21)已知函数f(x)=x2+(a+1)x+1ex.(1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线与x轴平行,求a的值;(2)若f(x)在x=-1处取得极大值,求a的取值范围;(3)当a=2时,若函数g(x)=mf(x)-1有3个零点,求m的取值范围.(只需写出结论)7.已知直线l的参数方程为x=tcos,y=-2+tsin(t为参数,
5、02),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=2,且l与C交于不同的两点P1,P2.(1)求的取值范围;(2)若=3,求线段P1P2中点P0的极坐标(0,00),a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C,bc=k2sin Bsin C.k=233.a=233sin 3=23332=1.所以由b2+c2-a2=2bccos A,得(b+c)2-2bc-1=bc,(b+c)2=4.b+c=2.2.解 (1)一班获奖的学生共6位,随机抽取2人的情况有(77,82),(77,83),(77,86),(77,93),(77,9x),(82,83),(82,8
6、6),(82,93),(82,9x),(83,86),(83,93),(83,9x),(86,93),(86,9x),(93,9x),共15种情况.能够为班级量化管理加4分的情况有(77,93),(77,9x),(82,83),(82,86),(83,86),共5种情况.能够为班级量化管理加4分的概率为515=13.(2)由已知19(93+9x+82+83+86+77+67+68+69)=19(90+94+97+84+72+76+76+63+68),解得x=5,一班成绩的方差s12=19(132+152+22+32+62+32+132+122+112)=8869,二班成绩的方差s22=19(1
7、02+142+172+42+82+42+42+172+122)=1 1309s12,故一班更稳定.3.(1)证明 在图1中,连接AC.又E,F分别为AD,CD中点,所以EFAC.即图2中有EFAC.又EF平面PEF,AC平面PEF,所以AC平面PEF.(2)解 在翻折的过程中,当平面PEF平面ABCFE时,五棱锥P-ABCFE的体积最大.在图1中,取EF的中点M,DE的中点N.由正方形ABCD的性质知,MNDF,MNAD,MN=NE=1,AE=DF=2,AM=AN2+MN2=32+12=10.在图2中,取EF的中点H,分别连接PH,AH,取AC中点O,连接PO.由正方形ABCD的性质知,PHE
8、F.又平面PEF平面ABCFE,所以PH平面ABCFE,则PHAH.由AB=4,有PF=AE=PE=2,EH=PH=HF=2,AC=42,PA=PH2+AH2=(2)2+(10)2=23.同理可知PC=23.又O为AC中点,所以OPAC.所以OP=AP2-OA2=(23)2-(22)2=2.所以SPAC=12OPAC=12242=42.4.解 (1)指标Y的平均值=9.6848+102448+10.4164810.07.(2)由分层抽样法知,先抽取的6件产品中,指标Y在9.8,10.2)内的有3件,记为A1、A2、A3;指标Y在(10.2,10.6内的有2件,记为B1、B2;指标Y在9.4,9
9、.8)内的有1件,记为C.从6件产品中随机抽取2件产品,共有基本事件15个,分别为:(A1,A2)、(A1,A3)、(A1,B1)、(A1,B2)、(A1,C)、(A2,A3)、(A2,B1)、(A2,B2)、(A2,C)、(A3,B1)、(A3,B2)、(A3,C)、(B1,B2)、(B1,C)、(B2,C).其中,指标Y都在9.8,10.2内的基本事件有3个:(A1,A2)、(A1,A3)、(A2,A3).所以由古典概型可知,2件产品的指标Y都在9.8,10.2内的概率为P=315=15.(3)不妨设每件产品的售价为x元,假设这48件样品每件都不购买该服务,则购买支出为48x元.其中有16
10、件产品一年内的维护费用为300元/件,有8件产品一年内的维护费用为600元/件,此时平均每件产品的消费费用为=148(48x+16300+8600)=x+200元.假设这48件产品每件产品都购买该项服务,则购买支出为48(x+100)元,一年内只有8件产品要花费维护,需支出8300=2 400元,平均每件产品的消费费用=14848(x+100)+8300=x+150(元).所以该服务值得消费者购买.5.(1)证明 BAF=90,ABAF.又平面ABEF平面ABCD,平面ABEF平面ABCD=AB,AF平面ABEF,AF平面ABCD.(2)解 以A为原点,以AB,AD,AF为x,y,z轴的正方向
11、建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),F(0,0,1),FD=(0,2,-1),AC=(1,2,0),AB=(1,0,0).由题知,AB平面ADF,AB=(1,0,0)为平面ADF的一个法向量.设FP=FD(01),则P(0,2,1-),AP=(0,2,1-).设平面APC的一个法向量为m=(x,y,z),则mAP=0,mAC=0,2y+(1-)z=0,x+2y=0,令y=1,可得m=-2,1,2-1,|cos|=|mAB|m|AB|=214+1+(2-1)2=63,解得=13或=-1(舍去负值),PF=53.6.解 (1)函数
12、f(x)的定义域为(-,+).f(x)=x2+(a+3)x+a+2ex.因为曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线与x轴平行,所以f(0)=(a+2)ex=0,解得a=-2.此时f(0)=10,所以a的值为-2.(2)因为f(x)=x2+(a+3)x+a+2ex=(x+1)x+(a+2)ex.若a-1,则当x(-,-1)时,x+10,x+(a+2)x+10;当x(-1,-(a+2)时,x+10,x+(a+2)0,所以f(x)0,x+(a+2)x+10,所以f(x)0.所以-1不是f(x)的极大值点.综上可知,a的取值范围为(-,-1).(3)当a=2时,g(x)=mf(x)-1=m(x2+
13、3x+1)ex-1(xR),g(x)=m(2x+3)ex+m(x2+3x+1)ex=m(x2+5x+4)ex=m(x+1)(x+4)ex.当m=0时,函数g(x)=mf(x)-1=-1,不可能有3个零点;当m0,得-4x-1,则g(x)在区间(-4,-1)上单调递增;令g(x)0,解得x-1,则g(x)在区间(-,-4)和(-1,+)上单调递减;由于当x-4时,x2+3x+10恒成立,m0,则当x-4时,g(x)=m(x2+3x+1)ex-10恒成立,所以函数g(x)=mf(x)-1最多只有两个零点,即m0时,令g(x)=m(x+1)(x+4)ex=0,解得x1=-4,x2=-1.令g(x)0
14、,得x-1,则g(x)在区间(-,-4)和(-1,+)上单调递增;令g(x)0,解得-4x0,g(-1)e45.综上所述,m的取值范围为e45,+.7.解 (1)曲线C的极坐标方程为=2,曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2,将x=tcos,y=-2+tsin代入x2+y2=2,得t2-4tsin +2=0,由=16sin2-80,得|sin |22,又02,的取值范围为4,3454,74.(2)当=3时,直线l的参数方程为x=12t,y=-2+32t,消去参数t,得直线l的普通方程为3x-y-2=0,设P0(0,0),则0=|-2|(3)2+1=1,把x=cos ,y=sin 代入l的普通方
15、程,得l的极坐标方程为3cos -sin -2=0,当0=1时,得3cos 0-sin 0-2=0,即得sin0-3=-1.由02,得0-3=32,0=116,即P0的极坐标为1,116.8.解 (1)当a=1时,函数f(x)=|2x-1|-|x+3|,当x-3时,f(x)=1-2x+(x+3)=4-x,此时f(x)min=f(-3)=7,当-3xf12=-312-2=-72,当x12时,f(x)=2x-1-(x+3)=x-4,此时f(x)min=f12=12-4=-72,综上,f(x)的最小值为-72.(2)当x0,3时,f(x)4恒成立,可化为|2x-a|x+7,即-x-72x-ax+7恒成立,得x-7a3x+7恒成立,由x0,3,得3x+77,x-7-4,-4a7,即a的取值范围为-4,7.