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1、主元法破解极值点偏移问题 2016 年全国 I 卷的第 21 题是一道导数应用问题，呈现的形式非常简洁，考查了函数的双零点的 问题，也是典型的极值点偏移的问题, 是考生实力与潜力的综合演练场虽然大多学生理解其题意， 但对于极值点偏移的本质理解的深度欠佳，面对此类问题大多感到“似懂非懂”或“云里雾里” 所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元”，将问题化归为该主元的函数、方 程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想的应用作为一线的教育教学工作者，笔者尝试用主 元法破解函数的极值点偏移问题，理性的对此类进行剖析、探究，旨在为今后的高考命题和高考复 习教学提供一点参考. 一、试题再现及解
2、析 （一）题目 （2016 年全国 I 卷）已知函数 2 21 x fxxea x有两个零点 (1)求a的取值范围； (2)设 12 ,x x是fx的两个零点，证明： 12 2xx 本题第（ 1）小题含有参数的函数fx有两个零点，自然想到研究其单调性，结合零点存在性 定理求得a的取值范围是0,第（ 2）小题是典型的极值点偏移的问题，如何证明呢？ （二）官方解析 (2)不妨设 12 xx，由（1）知， 122 ,1 ,1,2,1xxx，fx在,1上 单调递减， 所以 12 2xx等价于 12 2fxfx，即 22 2fxfx 由于 2 2 2 222 21 x fxx ea x，而 2 2 22
3、2 21 x fxxea x， 所以 22 2 2222 22 xx fxfxx exe 令 2 2 xx g xxexe，则 2 1 xx gxxee ， 所以当1x时，0gx，而10g， 故当1x时，10g xg从而 22 20g xfx，故 12 2xx 二、对解析的分析 本问待证是两个变量的不等式，官方解析的变形是 12 2xx，借助于函数的特性及其单调性， 构造以 2 x为主元的函数由于两个变量的地位相同，当然也可调整主元变形为 21 2xx，同理构 造以 1 x为主元的函数来处理此法与官方解析正是极值点偏移问题的处理的通法 不妨设 12 xx，由（ 1）知， 121 ,1 ,1,2
4、1,xxx，fx在1,上单 调递增，所以 12 2xx等价于 21 2fxfx，即 11 20fxfx 令 2 221 xx u xfxfxxex ex，则 2 10 xx uxxee， 所以10u xu，即21fxfxx， 所以 121 2fxfxfx； 所以 21 2xx，即 12 2xx. 三、例谈主元法破解极值点偏移问题 对文献 1的四道例题，笔者都能运用主元法顺利破解，验证主元法破解极值点偏移问题的可行 性 例 1 （2014 年江苏省南通市二模第20 题）设函数 x fxeaxa，其图象与x轴交于 1,0 A x， 2,0 B x两点，且 12 xx (1) 求a的取值范围； (2
5、) 证明： 12 0fx x（fx为函数fx的导函数）； 解： (1) 2, ae，且 12 0lnxax，fx在0,ln a上单调递减，在ln,a上 单调递增； (2) 要证明 12 0fx x，只需证 12 0 2 xx f ，即 12 ln 2 xx ffa ， 因为 x fxea单调递增，所以只需证 12 ln 2 xx a，亦即 21 2lnxax， 只要证明 211 2lnfxfxfax即可； 令2lnlng xfxfaxxa，则 2 2ln20 x x a gxfxfaxea e ， 所以g x在0,ln a上单调递减，ln0g xga，得证 例 2 （2010 年天津理科21
6、题）已知函数( ) x fxxexR. (1) 求函数( )f x的单调区间和极值；(2)( 略) (3) 如果 12 xx，且 12 ()()f xf x，证明 12 2xx 解： (1) ( )f x在,1上是增函数，在1,上是减函数， 1 ( )(1)f xf e 极小值 ； (3) 证明：( )1 x fxex， 12 ()()f xf x，亦即 12 12 xx xex e，且 12 1xx， 欲证明 12 2xx，即 21 2xx，只需证 21 20fxfx，即 11 20fxfx 令21g xfxfxx，则 2 2 xx g xxex e， 因为 2 10 xx gxxee，所以
7、g x在,1上单调递增， 故10g xg，得证 例 3 （2011 年辽宁理科21 题）已知函数 2 ( )ln(2)f xxaxa x （1）讨论( )f x的单调性； （2）设0a，证明：当 1 0x a 时， 11 fxfx aa ； （ 3）若函数( )yf x的图象与x轴交于,A B两点，线段AB中点的横坐标为 0 x，证明： 0 ()0fx 解： （ 1）若0a，( )fx在0,上单调增加；若0a，( )f x在 1 0, a 上单调递增，在 1 , a 上单调递减； （2） （略） （3）由（ 1）可得0a， 1 ( )22fxaxa x 在0,上单调递减， 1 ()0f a ，
8、 不妨设 1212 (,0),(,0),0A xB xxx，则 12 1 0xx a ， 欲证明 0 ()0fx，即0 1 ()()fxf a ，只需证明 12 0 1 2 xx x a ，即 12 2 xx a ， 只需证明 212 2 fxfxfx a 由（ 2）得 2222 21111 fxfxfxfx aaaaa ，得证 例 4 （2013 年湖南文科第21 题）已知函数 2 1 1 x x fxe x . (1) 求fx的单调区间； (2) 证明 : 当 1212 fxfxxx时， 12 0xx. 解： (1) fx在,0上单调递增，在0,上单调递减； (2) 由(1) 知当1x时，
9、0fx 不妨设 12 xx，因为 12 fxfx，即 1212 22 12 11 11 xx xx ee xx ，则 12 01xx， 要证明 12 0xx，即 12 0xx，只需证明 12 fxfx，即 22 fxfx 而 22 ()()f xfx等价于 2 2 22 (1)10 x x ex， 令 2 ( )(1)10 x g xx ex x，则 2 ( )(1 2 )1 x gxx e， 令 2 ( )(12 )1 x h xx e，则 2 ( )40 x h xxe， 所以( )h x单调递减，( )00h xh，即0gx，所以g x单调递减， 所以00g xg，得证 对文献 3的例
10、1，朱老师提供了3 种方法，笔者也可运用主元法顺利破解，请看以下解析，岂 不更为简捷？ 例 5 函数 434 3 fxxx与直线 1 3 ya a 交于 12 (, ),(, )A x a B x a， 证明： 12 2xx. 解：函数 43 4 3 fxxx， 2 41fxxx，则fx在,1上单调递减， 在1,上 单调递增，且 4 00 3 ff ； （1）若 12 4 01,1 3 xx ，要证明 12 2xx，即 12 021xx，只需证明 12 2fxfx，即 22 2fxfx 令21g xfxfxx，则 316 1 3 g xx在1,上单调递增， 故10g xg； （2）若 12 4
11、 0, 3 xx，同理可证 12 2xx，得证 四、通法提炼 一般地，主元法破解极值点偏移问题思路是： 第一步：根据 1212 fxfxxx建立等量关系，并结合fx的单调性，确定 12 ,x x的取 值范围； 第二步：不妨设 12 xx， 将待证不等式进行变形，进而结合原函数或导函数的单调性等价转化如 例 1、例 3 中的待证是导函数的值的不等式，因此应用导函数的单调性等价转化，例2、例 4 中的待 证是应用原函数的单调性等价转化； 第三步：构造关于 1 x（或 2 x）的一元函数21,2 iiT xfxfaxi ，应用导数研究 其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明 五、通性通法的感
12、悟 极值点偏移问题在高考中几乎年年可见，深受高考命题专家的青睐，年年岁岁意相似，岁岁年 年题不同，属于高考高频题型对于此类问题的研究，多位方家已经作了探讨 文1 从高等数学的视角阐述了问题的背景，指明并提炼出极值点偏移问题的解题策略：若fx 的极值点为 0 x，则根据对称性构造一元差函数 00 F xfxxfxx，巧借F x的单调 性以及00F，借助于 12002 fxfxfxxx与 002 fxxx 02 2fxx， 比较 2 x与 01 2xx的大小，即比较 0 x与 21 2 xx 的大小有了这种解题策略，我们师生就克服了解题 的盲目性，细细咀嚼不得不为其绝妙的想法喝彩，但是，此解法并不
13、利于学生思维的提升，比较突 兀，有“模式化”的曲高和寡之嫌疑，显然不是自然的想法，“想说爱你不容易”教师的自然想 法却让学生屡屡想不到、想不通、 学不会，加重其自卑感；顺应学生的思维，才能对接学生的认知， 贴近学生“最近发展区”，化用于无痕，活用于无间，妙用于无限，神用于无形，走有限之路，饮 不竭之泉 文2 结合文 1 的四个例题验证了转化为对数平均的求解的可行性，提炼出极值点偏移问题的 又一解题策略：根据 12 fxfx建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函 数，利用对数平均不等式链求解这种解题策略，师生都感到运算量繁杂，有一定的技巧要求，而 且对数平均数的不等式链也有超纲的
14、嫌疑，在解答过程中存在能否直接运用的疑问 4 ，“想你，但， 我不会爱你！” 其实，解决极值点偏移问题的上两种方法，实质上都是把双变量的等式或不等式转化为一元变 量问题求解，途径都是构造一元函数，因此，主元法才是破解极值点偏移问题的通法，亲切自然， 美感灵气这一点也可以从官方答案得到印证对于官方提供的参考答案，是命题专家经过反复考 量的，承载着新课程改革的理念和导向，渗透着创新精神和实践能力的培养，体现着高考改革的发 展趋向，同时也蕴含着命题者解题的思维历程，蕴含着其问题的本质我们多一份敬畏，将参考答 案激活，用“冰冷的美丽”促进学生“火热的思考”，多一份收获. 六、质疑 文1 中提到“利用极值点对折， 构造一元差函数 00 F xfxxfxx的解题策略”是 极值点偏移问题的本质之所在文2 中又称“极值点偏移问题的另一本质回归对数平均”到底 哪一种方法是极值点偏移问题的本质？极值点偏移问题的本质可否有多种？某一种解题策略是否为 此类问题的本质又如何判断？有待于方家探讨