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1、2012 级高三数学培优资料（ 10）教师版 泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用 泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式 的重点就在于使用一个n次多项式() npx, 去逼近一个已知的函数fx，而且这种 逼近有很好的性质：() npx与fx在x点具有相同的直到阶n的导数 31 . 所以泰勒 公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于 它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还 是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用. 运用泰勒公式，对不等式问题 进行分析、构造、转化、放缩
2、是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟 在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 泰勒公式知识：设函数fx在点 0 x处的某邻域内具有 1n阶导数，则对该邻域内 异于 0x的任意点x，在0x与x之间至少存在一点，使得： fx= 0 fx+ 0 fx 0 (x - x )+ 0fx 2! 0 2 (x - x )+ 0 n fx n! 0 n (x - x )+ n Rx， 其中 n Rx (1) (1) ! n f n 1 0) ( n xx称为余项，上式称为n阶泰勒公式； 若 0 x 0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式， 即fx= 0f+0 fx
3、+ 0 2 ! f 2 x+ 0 ! n f n n x+ 0( ) n x. 利用泰勒公式证明不等式： 若函数)( xf在含有 0 x的某区间有定义,并且有 直到)1( n阶的各阶导数, 又在点 0 x处有n阶的导数)( 0 )( xf n , 则有公式 )()( ! )( )( !2 )( )( !1 )( )()( )( 0 0 )( 2 0 0 0 0 0 xRxx n xf xx xf xx xf xfxf n n n 在上述公式中若0)( xR n ( 或0)( xR n ), 则可得 )( 0 0 )( 2 0 0 0 0 0 )( ! )( )( !2 )( )( !1 )(
4、)()( n n xx n xf xx xf xx xf xfxf 或 )( 0 0 )( 2 0 0 0 0 0 )( ! )( )( !2 )( )( ! 1 )( )()( n n xx n xf xx xf xx xf xfxf 1、 证明 : ).11(, 32 )1ln( 32 x xx xx 证明设)11)1ln()(xxxf （则)( xf在0x处有带有拉格朗日 余项三阶泰勒公式 )11( )1(432 )1ln( 4 432 xxx xx 0 )1(4 4 4 x 32 )1ln( 32 xx xx 由以上证明可知, 用泰勒公式证明不等式, 首先构造函数, 选取适当的点 0
5、x在 0 x 处展开 ,然后判断余项)( xR n 的正负 , 从而证明不等式. 对于欲证不等式中含有初等函数、三角函数、 超越函数与幂函数结合的证明问题， 要充分利用泰勒公式在 00x 时的麦克劳林展开式，选取适当的基本函数麦克劳林的 的展开式，对题目进行分析、取材、构造利用. 2、 证明不等式： 3 1 6 xxsin x. 2、不等式左边是三次二项式的初等函数，右边是三角函数， 两边无明显的大小关系。 这时我们可用sin x在 00x的二阶麦克劳林公式表示出来，然后进行比较判断两者 的大小关系。证明 31 ()sin 6 fxxxx,(0 )0f, 21 ()co s1 2 fxxx,(
6、0 )0f, ()sinfxxx,(0 )0f,()co s1fxx,()cos1f当 3n时，()fx的泰勒展式为： 33 1 ()000(1cos)() 3! fxxxo x ()fx 33 1 (1co s)() 6 xxox0 (x0, x,0 1) 所以x0, ， 有 3 1 6 xxsin x. 在含有无理函数与幂函数结合的不等式证明问题中，它们之间没有明显的大小关 系。如果用常规方法（放缩法、比较法，代换法等），我们很难比较它们之间的大小 关系，但这时用泰勒公式却能轻易解答. 3、 证明不等式： 2 1 28 xx 1x， （x0）. 对于此题，若我们对不等式两边同时平方，虽可以
7、去掉根号，但x的次数却提高 了2次，这还是难以比较他们之间的大小关系，但若用泰勒公式却可以轻易解答. 证明设()1fxx，则(0 )1f, 1 2 1 ()(1) 2 fxx, 1 (0 ) 2 f, 3 2 1 ()(1) 4 fxx, 1 ( 0 ) 4 f, 5 2 3 ()(1) 8 fxx 代入 0 x=0 的二阶泰勒公式，有1x=1+ 2 x - 2 8 x + 5 3 3 1 (1) 1 6 xx (01) x0, 5 3 1 (1) 16 x 3 x0 所以 2 1 28 xx 1x（x0）. 在不等式的证明问题中，若题目中出现了一阶导数、二阶导数、初等函数、三角 函数或超越函
8、数等与幂函数结合时，可优先考虑泰勒公式在 0 x=0 时的麦克劳林表达 式。当然能做好此类题的前提条件是要对一些基本函数的麦克劳林表达式熟悉. 微分)( Lagrange中值定理 : 若)( xf满足以下条件: (1) )( xf在闭区间,ba内连续 (2) )( xf在开区间),(ba上可导 则 ab afbf fba )()( )(),( 4、 若)()(1,0 11 yxpyyxyxpypxy pppp 则 分 析因 为,0xy则 原 不 等 式 等 价 于 11p pp p px yx yx py )1( p. 令 p txf)(, 则我们容易联想到Lagrange中值定理 yx yf
9、xf yxf )()( )( . 证明设 p ttf)(, 显然,)(xytf在满足Lagrange中值定理的条件 则 , )()( )(),( yx yfxf fxy 即 yx yx p pp p 1 111 ,),( ppp pxppyxyxy )()( 11 yxpyyxyxpy pppp 5、已知函数 x x xxf 1 )1ln()(，的极小值求)()1(xf； a b baba1lnln,0,2求证：）若（ 2 )1( )(),1)()1(5 x x xfxf，的定义域为（函数、 .0)0()(0fxfx取得极小值时，函数易得当 (2)0( 1 ln, 1 )1ln(11x x x
10、 x x x xx可得时，）知，当由（ )0( 1 1lnx x x即, 因为 b a babalnlnln,0, 所以 a b b a 1ln。故得证（也可用Lagrange中值定理来证） 6、已知函数 的最大值；求函数xxfxgxxf)1()()1(,ln)( 22 )(2 )()(02 ba aba afbfba时，求证：）当（ 解：xxxxfxg)1ln()1()(),1( x x x x xg 1 1 1 1 )(0)(,0,0)(,01xgxxgx时当当 0.)(0为取得最大值，且最大值时，故当xgx )0(1ln),0(1ln),1()1ln(12xxxxxxxxx得）知）由（
11、b ab b a b a b a x1ln, 得令 0 )( )( )( )(2)()(2 22 2 22 22 22 bab baab bab ababbaab ba aba b ab 2222 )(2 )()(. )(2 ba aba afbf ba aba b ab 故所以 评注：本题得到不等式)1()1ln(xxx与不等式)1)(1ln( 1 xx x x 构成经典不等式，即)1()1ln( 1 xxx x x . 7、已知2ln)() 2 (2)()(0,0,ln)(ab ba gbgagbaxxxg求证：设 解析：) 2 ln( 2 2lnln) 2 (2)()( baba bba
12、a ba gbgag ba b b ba a a 2 ln 2 ln由经典不等式),01()1ln(xxxx且 及0 2 1,0 2 ,0 b ba a ab ba得 因此, 2 ) 2 1ln( 2 ln 2 ln a ab a ab a ba ba a , 2 ) 2 1ln( 2 ln 2 ln a ab b ba b ba ba b 故0 22 ) 2 () 2 ( 2 ln 2 ln abba b ba b a ab a ba b b ba a a 又 2ln 2 ln)( 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln, 2 2 ab ba b ab ba b b b ba a ba b
13、b ba a a b ba ba a 综上所述，得2ln)() 2 (2)()(0ab ba gbgag .)()1.(1ln)(8的最大值求、已知xfxxxf ),2( )1(2 )12)(1(ln 3 3ln 2 2ln 2 * 2 2 2 2 2 2 Nnn n nn n n 求证： (1) 略（ 2）)0( 1 1 ln )0(01ln1x xx x xxx，）知由（ 所以 2222 2 3 2 2 2 1 1 3 1 1 2 1 1 ln 3 3ln 2 2ln nn n ) )1( 1 43 1 32 1 ()1() 1 3 1 2 1 ()1( 222 nn n n n )1(2
14、 )12)(1( ) 1 1 2 1 ()1( n nn n n ),2( * Nnn 9、求证：)() 2 1 1() 8 1 1)( 4 1 1)( 2 1 1( * 2222 Nne n 要证明原不等式，就要 证明 1) 2 1 1() 4 1 1)( 2 1 1ln( 222n 即1) 2 1 1ln() 4 1 1ln() 2 1 1ln( 222n 构造函数)0()()(,1 ,0,)1ln()( 2 fxfxfxxxxf递减，故易得 则有xx)1ln( 2 。故有 nn 2 1 8 1 4 1 2 1 ) 2 1 1ln() 4 1 1ln() 2 1 1ln( 222 得证,1
15、 2 1 1 ) 2 1 1( 2 1 n 。 10、)1ln()( 2 xxxf. 3 )(0)1(xxfx时，求证：当; )1(2 1 4 51 3 1 2 1 1) 1 ()2( 33 1 3 * nnnk fNn n k 时，求证：当 解： )1( )1(3 )(,)1ln()()()1( 23 323 x xx xhxxxxxfxh则令 易得 3 )(,0)0()(),0()(xxfhxhxh所以上单调递减，在 （2） 3 * 1 ) 1 (1, 1 ,1 ,0( 1 , kk f k x k Nk）得由（取所以设 故 333 1 1 3 1 2 1 1) 1 ( nk f n k ，不等式成立右时，左当对于右半边证明如下：11n )1( 1 )1( 1 2 1 )1( 111 2 223 nnnnnnnnn n时，因为当 所以 )1( 1 )1( 1 43 1 32 1 32 1 21 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 333 nnnnn )1(2 1 4 5 nn