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1、1 章末检测 一、选择题 1.由 11 2,1322,13 532,135 742，, ，得到 13, (2n1)n2用的是 () A.归纳推理B.演绎推理 C.类比推理D.特殊推理 答案A 2.在 ABC 中， E、F 分别为 AB、AC 的中点，则有EF BC，这个问题的大前提为() A.三角形的中位线平行于第三边 B.三角形的中位线等于第三边的一半 C.EF 为中位线 D.EFBC 答案A 解析这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF 为 ABC 的中位线；结论：EFBC. 3.用反证法证明命题“23是无理数”时，假设正确的是() A.假设2是有理数B.假
2、设3是有理数 C.假设2或3是有理数D.假设23是有理数 答案D 解析应对结论进行否定，则23不是无理数，即23是有理数 . 4.若 A 是 ABC 的一个内角，cos A 1 2，则 A 的取值范围是 () A. 0， 6 B. 0， 3 C. 6， 2 D. 3， 2 答案B 解析 A 是ABC 的一个内角， A(0，)，又 cos A 1 2，且 ycos A 在(0，) 上是减函 数， 0A 3. 5.已知 f(x1) 2f x f x 2，f(1)1(xN *)，猜想 f(x)的表达式为 ( ) A. 4 2 x2B. 2 x1 2 C. 1 x1 D. 2 2x1 答案B 解析当
3、x 1时， f(2) 2f 1 f 1 2 2 3 2 21， 当 x2 时， f(3) 2f 2 f 2 2 2 4 2 31， 当 x3 时， f(4) 2f 3 f 3 2 2 5 2 41， 故可猜想f(x) 2 x1，故选 B. 6.设有两个命题： 关于 x 的不等式 x 22ax40 对一切 xR 恒成立； 函数 f(x) (52a)x是减函数 . 若命题中有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是() A.( ， 2 B.(， 2) C.2， ) D.(2,2) 答案A 解析若 为真，则 4a2160.即 2a2；若 为真，则52a1，即 a 2.当 真 假时，无解；当假 真时
4、， a2. 7.在 R 上定义运算：xy x 2y.若关于 x 的不等式 (xa)(x1a)0 的解集是集合 x| 2x 2，xR的子集，则实数a的取值范围是() A. 2,2 B.1,2 C.1,2) D.2,1 答案D 解析由定义知 (x a)(x1a) xa 2 x1a xa 1a x xa x 1a ，不等式为 xa x 1a 0， xa x 1a 0 的解集为 x|a x a 1 ，也就是x| 2x2 的子集， a 2， 1a2， 解得 2a1. 8.对“ a，b， c是不全相等的正数”，给出下列判断： (ab)2(bc)2(ca)20； ab 与 bc 及 ac 中至少有一个成立；
5、 ac， bc，a b 不能同时成立 . 其中判断正确的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 3 答案B 解析若 (ab) 2(bc)2(ca)20，则 ab c，与“a，b，c 是不全相等的正数 ”矛盾， 故正确 .a b与 bc 及 a c 中最多只能有一个成立，故不正确 .由于 “a，b，c 是不全相 等的正数 ”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故不正确 . 9.数列 an满足 a1 1 2，an 11 1 an，则 a2 015 等于 () A. 1 2 B.1 C.2 D.3 答案B 解析 a1 1 2，an 1 1 1 an， a21 1 a1 1，a 31
6、 1 a22， a 41 1 a3 1 2， a51 1 a4 1，a61 1 a52， an3k an(nN*，kN *) a2 015 a23671 a2 1. 10.定义在 R 上的函数f(x)满足 f(x) f(x4)， 且 f(x)在(2， )上为增函数 .已知 x1x20， 则 x12，2f(4x1)， 从而 f(x2)f(4x1)f(x1)， f(x1)f(x2)2， f(8) 5 2，f(16)3，f(32) 7 2，推测 当 n2 时，有 _. 4 答案f(2n) 2n 2 (n2) 解析观测 f(n)中 n 的规律为2k(k1,2，, )， 不等式右侧分别为 2k 2 ，k
7、1,2，, ， f(2n) 2 n 2 (n2). 13.用数学归纳法证明：1 1 12 1 123, 1 123 , n 2n n1时，由 nk 到 nk 1 左边需要添加的项是_. 答案 2 k 1 k 2 解析由 n k到 n k1 时，左边需要添加的项是 1 123, k1 2 k1k2 . 14.设 S，V 分别表示表面积和体积，如ABC 的面积用SABC表示，三棱锥 OABC 的体积 用 VOABC表示，对于命题：如果O 是线段 AB 上一点，则 |OB | OA |OA | OB 0.将它类比到 平面的情形时， 应该有： 若 O 是 ABC 内一点， 有 SOBC OA SOCA
8、 OB SOBA OC 0.将它 类比到空间的情形时，应该有：若O 是三棱锥ABCD 内一点，则有_. 答案VOBCD OA VOACD OB VOABD OC VOABC OD 0 三、解答题 15.设 a，b，c 三数依次成等比数列，而x，y 分别为 a，b和 b，c 的等差中项，试证： a x c y 2. 证明依题意， a，b， c依次成等比数列，即 a b b c . 由比例性质有 a a b b bc，又由题设 x ab 2 ，y bc 2 ， 因而 a x c y 2a ab 2c bc 2b bc 2c b c 2 bc b c 2. 16.证明：对于任意实数x，y，都有 x
9、4y41 2xy(xy) 2. 证明要证 x4y4 1 2xy(xy) 2， 只需证 2(x4y4)xy(xy)2， 即证 2(x4 y4)x3y xy32x2y2. 只需 x4y4x3yxy3与 x4y42x2y2同时成立即可. 又知 x 4y42x2y2(x2 y2)20 显然成立， 即 x4 y4 2x2y2成立， 5 只需再证x 4y4x3y xy3 即可 . 而 x 4 y4 x3yxy3(xy)(x3y3)， xy 与 x3y3同号， (xy)(x3y3)0，即 x4y4x3yxy3成立， 对于任意实数x，y，都有 x4y4 1 2xy(xy) 2. 17.如图， 在直三棱柱ABC
10、 A1B1C1中， E， F 分别为 A1B， A1C 的中点，点 D 在 B1C1上， A1DB1C. 求证： (1)EF平面 ABC； (2)平面 A1FD 平面 BB1C1C. 证明(1)因为 E，F 分别为A1B，A1C 的中点，所以 EFBC, 又 EF?平面 ABC，BC? 平面 ABC，所以 EF平面 ABC. (2)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱， 所以 BB1 平面 A1B1C1，BB1 A1D， 又 A1D B1C， 所以 A1D平面 BB1C1C， 又 A1D? 平面 A1FD ， 所以平面A1FD 平面 BB1C1C. 18.已知 ABC 中， ABC126. 求证： a b ab abc. 证明要证 a b ab abc， 只需证 a 2abacabb2， 即证 a(ac)b2. 由正弦定理，只需证sin A(sin Asin C)sin2B. ABC126， A 9，B 2 9 ，C 6 9 ， 即 sin 9(sin 9sin 6 9) sin 22 9 ， 6 即 sin 9(sin 9sin 3 9) sin 22 9 ， 即 sin 9 2sin 2 9 cos 9sin 22 9 ， 即 2sin 9cos 9sin 2 9 ，显然成立 . a b ab a bc成立 .