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1、专注专业口碑极致 - 1 - 1 离散型随机变量的概率分布 (1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量；所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机 变量 (2)一般地， 若离散型随机变量X 可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X 取每一个值 xi(i1,2， n)的概率 P(Xxi)pi，则称表 X x1x2xixn P p1p2pipn 为离散型随机变量X 的概率分布表，具有如下性质： pi_0，i1,2， n； p1p2 pi pn_1_. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和 2 两点分布 如果随机变量X 的概率分布表为 X 01 P 1p p
2、 其中 0p1，则称离散型随机变量X 服从两点分布 3 超几何分布 一般地，设有N 件产品，其中有M(MN)件次品从中任取n (nN)件产品，用X 表示取出的n 件产 品中次品的件数，那么 P(Xr) C r MC nr NM C n N (r0,1,2， l) 即 专注专业口碑极致 - 2 - X 01l P C 0 MC n0 NM C n N C 1 MC n1 NM C n N C l MC nl NM C n N 其中 lmin(M，n)，且 nN，MN，n，M，NN *. 如果一个随机变量X 的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布 【思考辨析】 判断下面结论是否正
3、确(请在括号中打“”或“”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量() (2)离散型随机变量的概率分布描述了由这个随机变量所刻画的随机现象() (3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X 服从两点分布() (4)从 4名男演员和3 名女演员中选出4 名，其中女演员的人数X 服从超几何分布() (5)离散型随机变量的概率分布中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.() (6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的() 1袋中有3 个白球、 5 个黑球，从中任取2 个，可以作为随机变量的是_ 至少取到1 个白球； 至多取到1 个白球； 取到白球的个数； 取
4、到的球的个数 2(教材改编 )从标有 110 的 10 支竹签中任取2 支，设所得 2 支竹签上的数字之和为X，那么随机变 量 X 可能取得的值有_个 3随机变量X 的概率分布如下： X 101 P a b c 其中 a，b，c 成等差数列，则P(|X|1)_. 4随机变量X 等可能取值1,2,3， n，如果 P(X4)0.3，则 n_. 5(教材改编 )一盒中有12 个乒乓球，其中9 个新的、 3 个旧的，从盒中任取3 个球来用，用完后装回 盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P(X4)的值为 _ 专注专业口碑极致 - 3 - 题型一离散型随机变量的概率分布的性质 例 1设随机变量X
5、 的概率分布为P(X k 5)ak(k1,2,3,4,5) (1)求 a； (2)求 P(X 3 5)； (3)求 P( 1 10X 7 10) 思维升华(1)利用概率分布中各概率之和为1 可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均 为非负数 (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据概率分布， 将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可， 其依据是互斥事件的概率加法公式 设离散型随机变量X 的概率分布为 X 01234 P 0.20.10.10.3m 求： (1)2X1 的概率分布； (2)|X1|的概率分布 题型二离散型随机变量概率分布的求法 专注专业口碑极致 - 4 - 命题点 1与
6、排列组合有关的概率分布的求法 例 2(2015 重庆改编 )端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有10 个粽子，其中豆沙粽2 个， 肉粽 3 个，白粽5 个，这三种粽子的外观完全相同从中任意选取3 个 (1)求三种粽子各取到1 个的概率； (2)设 X 表示取到的豆沙粽的个数，求X 的概率分布 命题点 2与互斥事件有关的概率分布的求法 例 3某商店试销某种商品20 天，获得如下数据： 日销售量 (件)0123 频数1595 试销结束后 (假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3 件，当天营业结 束后检查存货，若发现存量少于2 件，则当天进货补充至3 件，否则不进货，将
7、频率视为概率 (1)求当天商店不进货的概率； (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的概率分布 命题点 3与独立事件 (或独立重复试验)有关的概率分布的求法 例 4(2014 安徽改编 )甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5 局仍未出 专注专业口碑极致 - 5 - 现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为 2 3，乙获胜的概率为 1 3，各局比赛结 果相互独立 (1)求甲在 4 局以内 (含 4 局)赢得比赛的概率； (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的概率分布 思维升华求离散型随机变量X 的概率分布的步骤：理解 X 的意义，写
8、出X 可能取的全部值；求 X 取每个值的概率；写出 X 的概率分布 求离散型随机变量的概率分布的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原 理、古典概型等知识 (1)4 支圆珠笔标价分别为10 元、 20 元、 30 元、 40 元 从中任取一支，求其标价X 的概率分布； 从中任取两支，若以Y表示取到的圆珠笔的最高标价，求Y 的概率分布 (2)(2015安徽改编 )已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一 件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3 件正品时检测结束 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； 已知每
9、检测一件产品需要费用100 元，设 X 表示直到检测出2 件次品或者检测出3件正品时所需要 专注专业口碑极致 - 6 - 的检测费用 (单位：元 )，求 X 的概率分布 题型三超几何分布 例 5一袋中装有10 个大小相同的黑球和白球已知从袋中任意摸出2 个球，至少得到1 个白球的概 率是 7 9. (1)求白球的个数； (2)从袋中任意摸出3 个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X 的概率分布 思维升华超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数超几何分布的 特征是： 考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考查某类个体数X 的 概率分布超几何分布主要用于
10、抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型 (2015 天津改编 )为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参 加现有来自甲协会的运动员3 名，其中种子选手2 名；乙协会的运动员5 名，其中种子选手3 名从 这 8 名运动员中随机选择4 人参加比赛 (1)设 A 为事件“选出的4 人中恰有2 名种子选手，且这2 名种子选手来自同一个协会”，求事件A 专注专业口碑极致 - 7 - 发生的概率； (2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量X 的概率分布 17随机变量取值不全致误 典例(14 分)盒子中有大小相同的球10 个，其中标号为1 的球 3 个
11、，标号为2 的球 4 个，标号为 5 的 球 3 个 第一次从盒子中任取1 个球， 放回后第二次再任取1 个球 (假设取到每个球的可能性都相同) 记 第一次与第二次取得球的标号之和为 .求随机变量 的可能取值及其概率分布 温馨提醒(1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应用概率公式 (2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面 (3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1. 方法与技巧 1 对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率， 对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量
12、X的取值范围以及取这些值的概率 专注专业口碑极致 - 8 - 2求离散型随机变量的概率分布，首先要根据具体情况确定X 的取值情况， 然后利用排列、组合与概 率知识求出X 取各个值的概率 失误与防范 掌握离散型随机变量的概率分布，须注意： (1)概率分布的结构为两行，第一行为随机变量X 所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X 的值 的事件发生的概率看每一列，实际上是上为“事件 ”，下为 “事件发生的概率”，只不过 “事件 ” 是用一个反映其结果的实数表示的每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率 (2)要会根据概率分布的两个性质来检验求得的概率分布的正误 A 组专项基础训练 (时间： 4
13、0 分钟 ) 1一只袋内装有m 个白球， nm 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取 出了 X 个白球，下列概率等于 nm A 2 m A 3 n 的是 _ 2随机变量 的所有可能的取值为1,2,3，10，且 P( k)ak(k1,2， ，10)，则 a 值为 _ 3 随机变量 X的概率分布规律为P(Xn) a n n1 (n1,2,3,4)， 其中 a是常数，则 P(1 2X 5 2)的值为 _ 4从装有3 个白球， 4 个红球的箱子中，随机取出了3 个球，则恰好是2 个白球， 1 个红球的概率是 _ 5设离散型随机变量X 的概率分布为 X 01234 P 0.20.1
14、0.10.3m 若随机变量Y |X2|，则 P(Y2)_. 6甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3 个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍 得 0 分，抢到题并回答正确的得1 分，抢到题但回答错误的扣1 分(即得 1分 )；若 X 是甲队在该轮比 赛获胜时的得分(分数高者胜 )，则 X 的所有可能取值是_ 7袋中有 4 只红球 3 只黑球，从袋中任取4 只球，取到1 只红球得1 分，取到 1 只黑球得3 分，设得 专注专业口碑极致 - 9 - 分为随机变量 ，则 P( 6)_. 8某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300 元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如 下： 奖盒
15、中放有除颜色外完全相同的1 个红球， 1 个黄球， 1 个白球和1 个黑球顾客不放回地每次摸出1 个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止规定摸到红球奖励10 元，摸 到白球或黄球奖励5 元，摸到黑球不奖励 (1)求 1名顾客摸球3 次停止摸奖的概率； (2)记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的概率分布 B 组专项能力提升 (时间： 30 分钟 ) 9从装有 3 个红球、 2 个白球的袋中随机取出2 个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布 为_ 10.已知随机变量 只能取三个值： x1， x2， x3， 其概率依次成等差数列， 则公差 d
16、 的取值范围是_ 11在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记 下它的颜色，则这两次取出白球数的概率分布为 _ 12盒内有大小相同的9个球，其中2 个红色球， 3 个白色球， 4 个黑色球规定取出1 个红色球得1 分，取出1 个白色球得0 分，取出1 个黑色球得 1 分现从盒内任取3 个球 (1)求取出的3 个球中至少有1 个红球的概率； 专注专业口碑极致 - 10 - (2)求取出的3 个球得分之和恰为1 分的概率； (3)设 为取出的3 个球中白色球的个数，求 的概率分布 13.已知甲箱中只放有x 个红球与 y 个白球 (x，y0，且 xy6)，乙箱中只放有2 个红球、 1 个白球与 1 个黑球 (球除颜色外，无其他区别)若从甲箱中任取2 个球，从乙箱中任取1 个球 (1)记取出的3 个球的颜色全不相同的概率为P，求当 P 取得最大值时x，y 的值； (2)当 x2 时，求取出的3 个球中红球个数 的概率分布