高考数学一轮复习知识点与练习随机事件的概率.pdf

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1、专注专业口碑极致 - 1 - 1 概率和频率 (1)在相同的条件S 下重复 n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数nA 为事件 A 出现的频数，称事件A 出现的比例fn(A)n A n 为事件 A 出现的频率 (2)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在某个常数附 近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随 机事件 A 的概率，记作P(A) 2 事件的关系与运算 定义符号表示 包含关系 如果事件A 发生，则事件 B 一定发生， 这时称事件 B 包含事件A(或称事件A 包含于事

2、件B) B? A(或 A? B) 相等关系若 B? A 且 A? B AB 并事件 (和事件 ) 若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生， 称此事件为事件A 与事件 B 的并事件 (或和事件 ) AB(或 AB) 交事件 (积事件 ) 若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生， 则称此事件为事件A 与事件 B 的交事件 (或积事件 ) AB(或 AB) 互斥事件 若 A B 为不可能事件(AB ?)， 则称事件 A 与事 件 B 互斥 AB? 对立事件 若 A B 为不可能事件， AB 为必然事件， 那么称 事件 A 与事件 B 互为对立事件 P(A)P(B) 1 3.概率的几个

3、基本性质 专注专业口碑极致 - 2 - (1)概率的取值范围：0P(A)1. (2)必然事件的概率P(E)1. (3)不可能事件的概率P(F)0. (4)概率的加法公式 如果事件A 与事件 B 互斥，则P(AB)P(A)P(B) (5)对立事件的概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则P(A)1P(B) 【知识拓展】 互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要 求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情 况，而互斥事件未必是对立事件 【思考辨析】 判断下面结论是否正

4、确(请在括号中打“”或“”) (1)事件发生频率与概率是相同的() (2)随机事件和随机试验是一回事() (3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值() (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生() (5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件() (6)两互斥事件的概率和为1.() 1一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是_ 至多有一次中靶两次都中靶 只有一次中靶两次都不中靶 2从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在 160,175( 单位： cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率

5、为 _ 3 (2015 湖北改编 )我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254 粒内夹谷28 粒，则这批米内夹谷约为_石 专注专业口碑极致 - 3 - 4给出下列三个命题，其中正确的命题有_个 有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100 件，必有10 件是次品；做7 次抛硬币的试验， 结果 3 次出现正面，因此正面出现的概率是 3 7；随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 5 (教材改编 )袋中装有9 个白球， 2 个红球，从中任取3 个球，则恰有1 个红球和全是白球；至 少有 1 个红球和全是白球；至

6、少有1 个红球和至少有2 个白球；至少有1 个白球和至少有1 个红 球在上述事件中，是对立事件的为_ 题型一事件关系的判断 例 1某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A 为“只订甲报纸”，事件B 为“至少订一种报 纸”，事件C 为“至多订一种报纸”，事件D 为“不订甲报纸”，事件E 为“一种报纸也不订”判 断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件 思维升华对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必 然事件这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几 个试验结果，从而判定所给事件的关系 判断下列各对

7、事件是不是互斥事件或对立事件：某小组有3 名男生和2 名女生，从中任 选 2 名同学去参加演讲比赛，其中 恰有 1 名男生和恰有2 名男生； 至少有1 名男生和至少有1 名女生； 至少有1 名男生和全是女生 题型二随机事件的频率与概率 例 2(2015 北京 )某超市随机选取1 000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整 理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买. 专注专业口碑极致 - 4 - 商品 顾客人数 甲乙丙丁 100 217 200 300 85 98 (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3 种商品的概率； (3)

8、如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 思维升华(1)概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率 是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概 率的估计值(2)随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验， 事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行 了抽样检测，检查结果如下表所示： 抽取球数n 501002005001 0002 000 优等品数m 4592194470

9、9541 902 优等品频率 m n (1)计算表中乒乓球优等品的频率； (2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位) 题型三互斥事件、对立事件的概率 命题点 1互斥事件的概率 例 3袋中有12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是 1 3，得 专注专业口碑极致 - 5 - 到黑球或黄球的概率是 5 12，得到黄球或绿球的概率也是 5 12 ，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多 少？ 命题点 2对立事件的概率 例 4某商场有奖销售中，购满 100 元商品得1张奖券， 多购多得 .1 000 张奖券为一个开奖单位，设

10、特 等奖 1 个，一等奖10 个，二等奖50 个设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、 C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1 张奖券的中奖概率； (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 思维升华求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一 些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)1 P(A)求 解当题目涉及“至多 ”“ 至少 ”型问题时，多考虑间接法 国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某 队员射击一次命中710 环的概率如下表所示： 命

11、中环数10 环9 环8 环7 环 概率0.320.280.180.12 求该射击队员射击一次： (1)射中 9 环或 10 环的概率； (2)命中不足8 环的概率 21用正难则反思想求互斥事件的概率 典例(14 分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购 专注专业口碑极致 - 6 - 物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量1 至 4 件5 至 8 件9 至 12 件13 至 16 件17 件及以上 顾客数 (人)x 3025y 10 结算时间 (分钟 /人)11.522.53 已知这 100 位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (

12、1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率(将频率视为概率) 思维点拨若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反 ” 思想求解 温馨提醒(1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义 (2)正确判定事件间的关系，善于将A 转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式 易错提示(1)对统计表的信息不理解，错求x，y，难以用样本平均数估计总体 (2)不能正确地把事件A 转化为几个互斥事件的和或对立事件，导致计算错误 方法与技巧 1 对于给定的随机事件A，由

13、于事件A 发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此 可以用频率fn(A)来估计概率 P(A) 2从集合角度理解互斥事件和对立事件 从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事 件 A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集 失误与防范 1正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事 件不一定是对立事件，“互斥 ”是“对立 ” 的必要不充分条件 2需准确理解题意，特别留心“至多 , ”“至少 , ”“不少于 , ”等语句的含义 A 组专项基础训练 (

14、时间： 45 分钟 ) 1下列命题： 将一枚硬币抛两次，设事件 M：“两次出现正面”，事件 N：“只有一次出现反面”， 专注专业口碑极致 - 7 - 则事件 M 与 N 互为对立事件；若事件A 与 B 互为对立事件，则事件A 与 B 为互斥事件；若事件 A 与 B 为互斥事件，则事件A 与 B 互为对立事件；若事件A 与 B 互为对立事件，则事件AB 为必 然事件，其中，真命题是_ 2围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2 粒都是黑子的概率为 1 7，都是白子的概率是 12 35，则 从中任意取出2 粒恰好是同一色的概率是_ 3从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A 抽到一等品 ，事件 B

15、抽到二等品 ，事件 C 抽到 三等品 ，且已知P(A) 0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为 _ 4 从存放的号码分别为1,2,3， , ， 10 的卡片的盒子中，有放回地取100 次，每次取一张卡片并记下 号码，统计结果如下： 卡片号码12345678910 取到次数138576131810119 则取到号码为奇数的卡片的频率是_ 5对一批产品的长度(单位：毫米 )进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图根据标准，产 品长度在区间20,25)上的为一等品， 在区间 15,20) 和25,30) 上的为二等品， 在区间 10,15)和30,35)

16、上的 为三等品用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为_ 6在 200 件产品中，有192 件一级品， 8 件二级品，则下列事件： 在这 200 件产品中任意选出9 件，全部是一级品； 在这 200 件产品中任意选出9 件，全部是二级品； 在这 200 件产品中任意选出9 件，不全是二级品 其中 _是必然事件；_是不可能事件；_是随机事件 专注专业口碑极致 - 8 - 7已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两 次命中的概率：先由计算器产生0 到 9 之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4 表示命中， 5,6,7,8,9

17、,0 表 示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下20 组随机数： 907966191925271932812458569683 431257393027556488730113537989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_ 8若随机事件A，B 互斥， A，B 发生的概率均不等于0，且 P(A)2 a，P(B) 4a5，则实数 a 的 取值范围是 _ 9(2014 陕西 )某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结 果统计如下： 赔付金额 (元)01 0002 0003 0004 000 车辆数 (辆)50013

18、0100150120 (1)若每辆车的投保金额均为2 800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率； (2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000 元的样本车辆中，车主是新司机的占 20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000 元的概率 10从某学校的800 名男生中随机抽取50 名测量其身高， 被测学生身高全部介于155 cm 和 195 cm 之 间，将测量结果按如下方式分组：第一组155,160)，第二组 160,165)， ，第八组 190,195 ，如图是 按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4. 专注专

19、业口碑极致 - 9 - (1)求第七组的频率； (2)估计该校的800 名男生的身高的中位数以及身高在180 cm 以上 (含 180 cm)的人数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件 E | xy|5 ，事件 F|xy|15，求 P(EF) B 组专项能力提升 (时间： 25 分钟 ) 11在一次随机试验中，彼此互斥的事件A， B，C，D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确 的是 _ AB 与 C 是互斥事件，也是对立事件； BC 与 D 是互斥事件，也是对立事件； AC 与 BD 是互斥事件，但不是对立事件

20、； A 与 BCD 是互斥事件，也是对立事件 12.如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5 次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平 均成绩超过乙的平均成绩的概率为_ 13 若 A， B互为对立事件， 其概率分别为P(A) 4 x， P(B) 1 y， 且 x0， y0， 则 xy 的最小值为 _ 14.如图， A 地到火车站共有两条路径L1和 L2，现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的人进行调查， 调查结果如下： 所用时间 /分钟102020303040405050 60 专注专业口碑极致 - 10 - 选择 L1的人数612181212 选择 L2的人数0416164 (1

21、)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径L1和 L2所用时间落在上表中各时间段内的频率； (3)现甲、乙两人分别有40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到 火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径 15(2015 陕西 )随机抽取一个年份，对西安市该年4 月份的天气情况进行统计，结果如下： 日期123456789101112131415 天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴 日期161718192021222324252627282930 天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨 (1)在 4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率； (2)西安市某学校拟从4 月份的一个晴天开始举行连续2 天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率