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1、第 1 页（共 7 页） 2016 年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （16 概率、随机变量及其分布） 一、选择题 二、填空 1. （ 2016 四川理）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验 成功，则在2 次试验中成功次数X 的均值是. 【答案】 3 2 考点：离散型随机变量的均值 【名师点睛】本题考查随机变量的均值（期望），根据期望公式，首先求出随机变量的所有可能取值 12 , n x xx，再求得对应的概率(1,2, ) i P in，则均值为 1 n ii i x P 三、解答题 1. （2016 北京理） A、B、C 三个班共有100 名学生，为
2、调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获 得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）； A 班 6 6.5 7 7.5 8 B 班 6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （1）试估计 C 班的学生人数； （2）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙， 假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （3）再从 A、B、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位： 小时） ，这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样
3、本的平均数记 1 ， 表格中数据的平均数记为 0 ， 试判断 0和1的大小，（结论不要求证明） 【答案】（1）40； （2） 3 8 ； （ 3） 10. 【解析】 第 2 页（共 7 页） 试题分析：（）根据图表判断C 班人数，由分层抽样的抽样比计算C 班的学生人数； （）根据题意列出“ 该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长” 的所有事件，由独立事件概率公式求概 率. （）根据平均数公式进行判断即可. 考点： 1.分层抽样； 2.独立事件的概率；3.平均数 【名师点睛】求复杂的互斥事件的概率的方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互 斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接
4、法，先求此事件的对立事件的概率，再 用公式)(1)(APAP，即运用逆向思维的方法(正难则反 )求解，应用此公式时，一定要分清事件 的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏.特别是对于含“ 至多 ”“至少 ” 等字眼的题目，用第二种 方法往往显得比较简便. 2（2016 全国 理 ）某公司计划购买2 台机器 ,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购 进机器时 ,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元 .在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此 搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换 的易损零件数,得
5、下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器 更换的易损零件数发生的概率,记X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2 台机 器的同时购买的易损零件数. （I）求X的分布列； （II）若要求()0.5P Xn,确定n的最小值； 第 3 页（共 7 页） （III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n与20n之中选其一 ,应选用哪个？ 【答案】（I）见解析（ II）19（III ）19n 【解析】 试题分析：（I）先确定 X的取值分别为16,17,18,18,20,21,22,再用相互独立事件概率模型求概率,然后 写出分布列；（ II）通
6、过频率大小进行比较；（ III ）分别求出n=9,n=20 的期望 ,根据19n时所需费用 的期望值小于20n时所需费用的期望值,应选19n. 所以X的分布列为 X16 17 18 19 20 21 22 P04.016.024.024.02.008.004.0 （）由（）知44.0)18(XP,68.0)19(XP,故n的最小值为19. （）记Y表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 当19n时,08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019EY 404004.0)500320019(. 当20n时, 04.0)500220020(08.0)50
7、020020(88.020020EY4080. 可知当19n时所需费用的期望值小于20n时所需费用的期望值,故应选19n. 考点：概率与统计、随机变量的分布列 【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是 太大大 ,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题. 3.（2016 全国理） 某险种的基本保费为a（单位：元） ，继续购买该险种的投保人称为续保人， 第 4 页（共 7 页） 续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 上年度出险次数0 1 2 3 4 5 保费0.85a a 1.25a1.5a1.75a2a 设该险种
8、一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数0 1 2 3 4 5 概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 （）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； （）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60% 的概率； （）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值 【答案】（） 0.55 ； （） ； （） 1.23 . 【解析】试题分析： （）根据互斥事件的概率公式求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； （）一续保人本年度的保费高于基本保费，当且仅当一年内出险次数大于3，由条件概率公式求 解； （）记续保人本年度的保费为X，求X的分布列，
9、再根据期望公式求解. 试题解析：（） 设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一 年内出险次数大于1，故( )0.20.20.10.050.55.P A （）设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60% ” ，则事件B发生当且仅当一年 内出险次数大于3，故()0.10.050.15.P B 又()( )P ABP B，故 ()( )0.153 (|). ( )( )0.5511 P ABP B P B A P AP A 因此所求概率为 3 . 11 考点：条件概率，随机变量的分布列、期望. 【名师点睛】条件概率的求法： (1) 定义法：先求P(A)和
10、 P(AB)，再由 P(B|A) P AB P A ，求 P(B|A)； (2)基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含 第 5 页（共 7 页） 的基本事件数n(A)，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n(AB)，得 P(B|A) n AB n A . 求离散型随机变量均值的步骤：(1)理解随机变量X 的意义， 写出 X 可能取得的全部值；(2)求 X的每 个值的概率；(3)写出 X 的分布列； (4)由均值定义求出E(X) 4. （2016 山东理） 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在 一轮活
11、动中，如果两人都猜对，则“星队”得3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1 分；如 果两人都没猜对，则“星队”得0分 . 已知甲每轮猜对的概率是 3 4 ，乙每轮猜对的概率是 2 3 ；每轮 活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响. 假设“星队”参加两轮活动，求： （I ） “星队”至少猜对3 个成语的概率； （） “星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX. 【答案】（） 2 3 （）分布列见解析， 23 6 EX 【解析】 试题分析：（）找出“星队”至少猜对3 个成语所包含的基本事件，由独立事件的概率公式和互斥 事件的概率加法公式求解；（）由题意，随机变量X的可能取值为0,
12、1,2,3,4, 6.由事件的独立性 与互斥性，得到X的分布列，根据期望公式求解. 试题解析： () 记事件 A:“甲第一轮猜对” ，记事件B： “乙第一轮猜对” ， 记事件 C： “甲第二轮猜对” ，记事件D： “乙第二轮猜对” ， 记事件 E： “ 星队至少猜对3 个成语” . 由题意，.EABCDABCDABCDABCDABCD 由事件的独立性与互斥性， P EP ABCDP ABCDP ABCDP ABCDP ABCD P A P B P C P DP A P B P C P DP A P B P C P D P A P B PP A P B P C P DC P D 32321232
13、3132 =2 434343434343 2 . 3 , 所以“星队”至少猜对3 个成语的概率为 2 3 . ( )由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得 11111 0 4343144 P X , 第 6 页（共 7 页） 31111211105 12 4343434314472 P X , 313131121231121225 2 4343434343434343144 P X , 321111321 3 4343434312 P X , 考点： 1.独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；2. 随机变量的分布列和数学期望. 【名师点睛】本题
14、主要考查独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、随机变量的分布列和 数学期望 .解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用独立事件的 概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本题较难，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求 解能力等 . 5. （2016 天津理） 某小组共10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人 数分别为3,3,4,.现从这 10 人中随机选出2 人作为该组代表参加座谈会. （I ）设A为事件“选出的2 人参加义工活动次数之和为4” ，求事件A发生的概率； （II ）设X为选出的2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随
15、机变量X的分布列和数学期望. 【答案】（） 1 3 （）详见解析 试题解析：解：( )由已知，有 第 7 页（共 7 页） 112 344 2 10 1 , 3 C CC P A C 所以，事件A发生的概率为 1 3 . ()随机变量X的所有可能取值为0,1,2. 222 334 2 10 0 CCC P X C 4 15 ， 1111 3334 2 10 7 1 15 C CC C P X C ， 11 34 2 10 4 2 15 C C P X C . 所以，随机变量X分布列为 X012 P 4 15 7 15 4 15 随机变量X的数学期望 474 0121 151515 E X. 考点：概率，概率分布与数学期望 【名师点睛】求均值、方差的方法 1已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义( 公式 ) 求解； 2已知随机变量 的均值、方差，求 的线性函数ab的均值、方差和标准差，可 直接用 的均值、方差的性质求解； 3如能分析所给随机变量是服从常用的分布( 如两点分布、二项分布等) ，可直接利用它们的均 值、方差公式求解