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1、第 1 页（共 21 页） 一.填空题 1 （3 分）已知全集 U=R ，集合 P= x| 4x1| 1 ，则?UP= 2（3 分） 设函数的反函数为 f 1 （x） ， 则 f 1 （x） 的值域为 3 （3 分）向量=（3，4）在向量=（1，1）方向上的投影为 4 （3 分）已知，则 tan = 5（3 分） 若抛物线 x2=ay的焦点与双曲线的焦点重合，则 a= 6 （3 分）若三阶行列式中第 1 行第 2 列的元素 3 的代数余 子式的值是 15，则| n+mi| （其中 i 是虚数单位， m、nR）的值是 7 （3 分） （文）设 x， y 满足约束条件，则 z=3x+y 的最小值为
2、 8 （3 分）五位同学排成一排，其中甲、乙必须在一起，而丙、丁不能在一起的 排法有种 9 （3 分）在半径为 R的球内有一内接正三棱锥，其底面上的三个顶点恰好都在 同一个大圆上， 一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点返 回，则经过的最短路程是 10 （3分）已知双曲线的右焦点为 F，过点 F且平行于双曲线的一条 渐近线的直线与双曲线交于点P，M 在直线PF 上，且满足，则 = 11 （3 分） 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是 我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“ 盖” 的术：置如其周，令相承 也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由
3、圆锥的底面周长L 与高 h， 第 2 页（共 21 页） 计算其体积 V 的近似公式 VL 2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取3，那么近似公式VL2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取 为 12 （3 分）已知函数y=f（x）是定义域为R 的偶函数，当x0 时，f（x） = ， ， ，若关于 x 的方程 f（x） 2+af（x）+ =0，aR有且仅有 8 个不同实数根，则实数a 的取值范围是 二.选择题 13 （3分）如图所示，为了测量某湖泊两侧A、B之间的距离，李同学首先选定 了与 A、B不共线的一点 C ，然后给出了三种测量方案（已知角A、B、C所对边 分别记作 a、b、c）
4、 ：测量 A、C、b；测量 a、b、C；测量 a、b、A；则一 定能确定 A、B 距离的方案个数为（） A3 B2 C 1 D0 14 （3 分）若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的 常数项是（） A180 B120 C 90 D45 15（3分） 已知 A、 B、 C是单位圆上三个互不相同的点 若， 则的 最小值是（） A0 BC D 16 （3 分）定义在 R上的函数 f（x）满足：对任意 ， R，总有 f（ + ） f（ ）+f（ ） =2015，则下列说法正确的是（） Af（x）+1 是奇函数Bf（x）1 是奇函数 Cf（x）+2015 是奇函数Df（x）2015 是奇函
5、数 第 3 页（共 21 页） 三.解答题 17设在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB=AC=AA 1=2， BAC=90 ，E ，F依次为 C1C ， BC的中点 （1）求异面直线 A1B、EF所成角 的大小（用反三角函数值表示） ； （2）求点 B1到平面 AEF的距离 18已知函数 （1）求方程 f（x）=0的解集 （2）当， ，求函数 y=f（x）的值域 19 已知 Sn为数列 an 的前 n 项和， ， ， （1）求证： 为等差数列； （2）若 bn=，问是否存在n0，对于任意k（kN*） ，不等式 bkbn0 成立 20已知焦点在 x轴上的双曲线 C的两条渐近线过坐标原点， 且
6、两条渐近线与以 点，为圆心， 1 为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线 y=x 对称 （）求双曲线 C的方程； （）设直线 y=mx+1 与双曲线 C的左支交于 A，B 两点，另一直线 l 经过 M（ 2，0）及 AB的中点，求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围； （）若 Q 是双曲线 C 上的任一点， F1F2为双曲线 C的左，右两个焦点，从F1 引F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点 N 的轨迹方程 21设 h（x）=x+， ，其中 m 是不等于零的常数 第 4 页（共 21 页） （1）m=1时，直接写出 h（x）的值域； （2）求 h（x）的单调递增区间；
7、（3）已知函数 f（x） ，x a，b ，定义：f1（x）=min f（t）| atx，x a， b ，f2（x）=maxf（t）| atx，x a，b ，其中， minf（x）| xD 表示函 数 f（x）在 D上的最小值， maxf（x）| xD表示函数 f（x）在 D上的最大值 例 如：f（x）=cosx ，x 0， ，则 f1（x）=cosx ，x 0， ，f2（x）=1，x 0， 当 m=1 时，| h1（x）h2（x）| n 恒成立，求 n 的取值范围 第 5 页（共 21 页） 2017-2018 学年上海市青浦高中高三（上）开学数学试卷 参考答案与试题解析 一.填空题 1 （3
8、 分）已知全集 U=R ，集合 P= x| 4x1| 1 ，则?UP=， 【分析】 根据题意，解 | 4x1| 1 可得集合 P，由补集的定义计算即可得答案 【解答】 解：根据题意， P= x| 4x1| 1 =x| x 或 x0 =（， 0 ， +） ， 又由全集 U=R ， 则?UP=（0， ） ； 故答案为：（0， ） 【点评】 本题考查集合的补集计算，关键是掌握集合补集的定义与性质 2 （3 分）设函数的反函数为f 1（x） ，则 f1（x）的值域为 （0，2 【分析】 反函数 y=f （1） （x）值域分别是函数y=f（x）的定义域 【解答】 解：因为 f 1（x）的值域为函数 的定
9、义域， 所以 ， 解得 0x2， 即 f 1（x）的值域为 （0，2 故答案是：（0，2 【点评】本题考查了反函数，反函数y=f （1） （x）的定义域、值域分别是函数y=f （x）的值域、定义域 3 （3 分）向量=（3，4）在向量=（1，1）方向上的投影为 【分析】 由向量在向量方向上的投影定义，结合平面向量的数量积公式，知 第 6 页（共 21 页） 向量 在向量方向上的投影为 | cos ，代入计算即可 【解答】 解：向量 ， =（1，1） ； 向量在向量方向上的投影为 | cos= | =； 故答案为： 【点评】 本题考查了平面向量在另一向量上的投影问题，是基础题 4 （3 分）已知
10、，则 tan = 【分析】 由题意利用同角三角函数的基本关系，求得tan 的值 【解答】 解：=，则 tan= ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题 5（3 分） 若抛物线 x2=ay的焦点与双曲线的焦点重合，则 a=8 【分析】根据题意，求出双曲线的焦点坐标，分析抛物线的焦点坐标，结合题意 即可得=2，解可得 a 的值，即可得答案 【解答】 解：根据题意，双曲线的方程为， 其焦点在 y 轴上，则 c=2， 则其焦点坐标为（ 0，2） ， 抛物线 x2=ay的焦点坐标为（ 0， ） ， 若抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，则有=2， 解可得 a=8， 故
11、答案为： 8 【点评】 本题考查双曲线、抛物线的标准方程，关键是求出双曲线的焦点坐标 第 7 页（共 21 页） 6 （3 分）若三阶行列式中第 1 行第 2 列的元素 3 的代数余 子式的值是 15，则| n+mi| （其中 i 是虚数单位， m、nR）的值是2 【分析】 表示出三阶行列式的第1 行第 2 列元素的代数余子式， 确定出 m2+n2=4， 再求| n+mi| 【 解 答 】解 ： 三 阶 行 列 式 的 第1 行 第 2 列 元素 的 代 数余 子 式 M12= =14（m 2+n2）=15， m2+n2=4， | n+mi| =2 故答案为： 2 【点评】此题考查了三阶行列式
12、的第1 行第 2 列元素的代数余子式， 熟练掌握代 数余子式的定义是解本题的关键 7 （3 分） （文）设 x，y 满足约束条件，则 z=3x+y 的最小值为8 【分析】由约束条件左侧可行域， 化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得 到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件左侧可行域如图， 联立，解得 A（2，2） ， 化目标函数 z=3x+y 为 y=3x+z， 由图可知，当直线 y=3x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最小值为 3 2+2=8 故答案为： 8 第 8 页（共 21 页） 【点评】 本题考查简单的线性规划， 考
13、查了数形结合的解题思想方法， 是中档题 8 （3 分）五位同学排成一排，其中甲、乙必须在一起，而丙、丁不能在一起的 排法有24种 【分析】 根据题意，先使用捆绑法，将甲乙看成一个“ 元素” ，再将丙、丁单独排 列，进而将若甲、乙与第5 个元素分类讨论，分析丙丁之间的不同情况，由乘法 原理，计算可得答案 【解答】 解：根据题意，先将甲乙看成一个“ 元素” ，有 2 种不同的排法， 将丙、丁单独排列，也有2 种不同的排法， 若甲、乙与第 5 个元素只有一个在丙丁之间，则有2C21=4 种情况， 若甲、乙与第 5 个元素都在丙丁之间，有2 种不同的排法， 则不同的排法共有22（2+4）=24种情况；
14、 故答案为： 24 【点评】本题考查排列、组合的综合运用，涉及相邻与不能相邻的特殊要求，注 意处理这几种情况的特殊方法 9 （3 分）在半径为 R的球内有一内接正三棱锥，其底面上的三个顶点恰好都在 同一个大圆上， 一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点返 回，则经过的最短路程是 【分析】球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，因此 第 9 页（共 21 页） 最短的路径分别是经过的各段弧长的和，利用内接正三棱锥， 它的底面三个顶点 恰好同在一个大圆上， 一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余 三点后返回，经过的最短路程为：一个半圆一个圆即可解决 【
15、解答】解：由题意可知，球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的 劣弧的弧长， 内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的 一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回， 则经过的最短路程为：一个半圆一个圆， 即：= 故 答案为： 【点评】本题考查球的内接多面体， 球面距离，考查空间想象能力， 是基础题解 答的关键是从整体上考虑球面距离的计算 10 （3分）已知双曲线的右焦点为 F，过点 F且平行于双曲线的一条 渐近线的直线与双曲线交于点P，M 在直线 PF上，且满足 ，则= 【分析】 求得双曲线的 a，b，c，可得 F（，0） ，渐近线方程为y=2x，设过 点 F
16、且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x） ， 代入双曲线的方程可得P的坐标，由两直线垂直的条件可得直线OM 的方程，联 立直线 y=2（x） ，求得 M 的坐标，由向量共线的坐标表示，计算即可得到 所求值 【解答】 解：双曲线的 a=1，b=2，c=， 可得 F（，0） ，渐近线方程为 y=2x， 设过点 F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x） ， 第 10 页（共 21 页） 代入双曲线的方程，可得x=， 可得 P（，） ， 由直线 OM：y= x 和直线 y=2（x） ，可得 M（，） ， 即有= 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的方程和性质， 主要是渐近线方程和双曲线的方程的运 用
17、，考查向量的共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题 11 （3 分） 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是 我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“ 盖” 的术：置如其周，令相承 也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高 h， 计算其体积 V 的近似公式 VL 2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取 3， 那么近似公式 VL 2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为 【分析】 用L表示出圆锥的底面半径， 得出圆锥的体积关于 L和h的式子 V=， 令 =，解出 的近似值 【解答】 解：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的底面周长L=2r
18、， r=， V= 令=，得 = 故答案为： 【点评】 本题考查了圆锥的体积公式，属于基础题 12 （3 分）已知函数y=f（x）是定义域为R 的偶函数，当x0 时，f（x） 第 11 页（共 21 页） = ， ， ，若关于 x 的方程 f（x） 2+af（x）+ =0，aR有且仅有 8 个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ，） 【分析】求出 f （x） 的单调性，以及极值和值域，可得要使关于 x 的方程 f （x） 2+af （x）+=0，aR，有且仅有 8 个不同实数根，转化为t2+at+=0 的两根均在 （1， ） ，由二次方程实根的分布，列出不等式组，解得即可 【解答】 解：当 0x2 时，y= x 2 递减，当 x2 时，y=（ ） x 递增， 由于函数 y=f（x）是定义域为 R的偶函数， 则 f（x）在（， 2）和（ 0，2）上递减，在（ 2，0）和（ 2，+）上递 增， 当 x=0时，函数取得极大值0； 当 x=2 时，取得极小值 1 当 0x2 时，y= x 2 1，0 当 x2 时，y=（ ）x 1， ） 要使关于 x 的方程 f（x） 2+af（x）+ =0，aR ， 有且仅有 8 个不同实数根， 设 t=f（x） ，则 t2+at+=0的两根均在（ 1， ） 则有 ，即为 或 ， 解得 a 即有实数 a 的取值范围是（，） 故答案为：（ ，）